সাবসেট যোগ বনাম সাবসেট পণ্য (শক্তিশালী বনাম। দুর্বল এনপি কঠোরতা)

আমি আশা করছিলাম যে কেউ কেউ আমাকে ব্যাখ্যা করতে সক্ষম হবেন কেন সাবসেট পণ্য সমস্যাটি হ'ল এনপি-হার্ড, যখন সাবসেটের সমষ্টি সমস্যা দুর্বলভাবে এনপি-হার্ড।

সাবসেটের যোগফল: দেওয়া এবং , a মতো একটি উপসেট আছে কি ? $X = \{x_1,...,x_n\}$ $T$ $X'$ $\sum_{i\in X'}x_i = T$

সাবসেট প্রোডাক্ট: দেওয়া এবং , সেখানে কি মতো একটি উপসেট রয়েছে । $X = \{x_1,...,x_n\}$ $T$ $X'$ $\prod_{i\in X'}x_i = T$

আমি সবসময়ই ভাবতাম যে দুটি সমস্যা সমতুল্য - এসএস-এর একটি উদাহরণ এসপি-র উদাহরণ হিসাবে এক্সপেনটিশনের মাধ্যমে এবং এসপি-র একটি উদাহরণ লোগারিদমের মাধ্যমে এসএসে রূপান্তরিত হতে পারে। এটি আমাকে এই সিদ্ধান্তে উপনীত করেছিল যে তারা দুজনেই এনপি-হার্ডের একই শ্রেণির - অর্থাৎ তারা দুজনই দুর্বলভাবে এনপি-হার্ড ছিলেন।

আরও, এটি প্রদর্শিত হয় যে একই পুনরাবৃত্তি খুব অল্প পরিবর্তনের সাথে ডাইনামিক প্রোগ্রামিং ব্যবহার করে উভয় সমস্যার সমাধান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে (এসপিতে বিভাগের সাথে এসএসে বিয়োগফলকে প্রতিস্থাপন করে)।

বার্নার্ড মোরেটের "থিওরি অফ গণনা" এর অধ্যায় 8 পড়ার আগ পর্যন্ত এটি ছিল (বইটি নেই তাদের কাছে এটি এক্স 3 সি-এর মাধ্যমে সাবসেট পণ্যগুলির কঠোরতার প্রমাণ রয়েছে - একটি দৃ strongly় এনপি-হার্ড সমস্যা)।

আমি হ্রাসটি বুঝতে পারি, তবে আমার পূর্ববর্তী উপসংহারে (দুটি সমস্যার সমতুল্যতা) কী ছিল তা বুঝতে পারি না।

আপডেট : দেখা যাচ্ছে যে সাবসেট পণ্যটি কেবল দুর্বলভাবে এনপি-সম্পূর্ণ (লক্ষ্য পণ্যটি ) তে । গ্যারি এবং জনসন 1981 সালে তাদের এনপি-সম্পূর্ণতা কলামে এটি প্রকাশ করেছিলেন , তবে আমার ধারণা এটি তাদের বইতে পূর্বের দাবির চেয়ে কম দৃশ্যমান ছিল। $\Omega (n)$

— RDN
সূত্র

সম্ভবত আপনি কীভাবে আপনার গতিশীল প্রোগ্রামিং অ্যালগরিদম বাস্তবায়ন করবেন তা কল্পনা করা ভাল good তারপরে, আপনি খুঁজে পেয়েছেন কি ভুল ছিল।

— ইয়োশিও ওকামোতো 12

@ মোহাম্মদআল-তুর্কিস্তানি: এটি এই কলামের

— আরডিএন

উত্তর:

সাবসেট যোগফল এবং সাবসেট পণ্যের সমতুল্যতার সমস্যা সম্পর্কে সাবসেট পণ্য সম্পর্কিত একটি প্রযুক্তি রয়েছে। X এর = টি এর গুণফল আসলে পিউসডোপলিনোমিয়াল যদি টি ক্ষতিকারক না হয়! সুতরাং সাবসেট প্রোডাক্টের এনপি হার্ড হওয়ার প্রমাণগুলি (প্রযুক্তিগত কারণে !!!) বেশ সঠিক নয়!

তবে একটি প্রতিশ্রুতি দেওয়া হয়েছে যে টি টি বড়! এর অর্থ হ'ল সাবসেট সামমের জন্য স্যুইডোপলিনোমিয়াল অ্যালগরিদম প্রযোজ্য নয়! লোগারিদমগুলি ছোট হলেও দশমিক স্থানগুলি গীতসংহিতা ডায়নামিক প্রোগ্রামিংকে গণ্ডগোল করে!

আশা করি এটা কাজে লাগবে

Zelah

— জেলাহ 02
সূত্র

দেখা যাচ্ছে যে হ্রাসগুলি হ্রাসের বিষয়ে আপনি সঠিক ছিলেন (অর্থাত্ তারা দাবি করেন যে তারা শক্তিশালী এনপি-সম্পূর্ণতা দেখায়, যখন তারা তা করে না)। ধন্যবাদ!

— আরডিএন

প্রথমত, exponentiation ব্যবহার এস এস থেকে এসপি কাজ (তুলনায় বেস বেস 2 ব্যবহার বরং যেতে ), কিন্তু হাতাহাতি জড়িত সংখ্যার আকার আপ করুন। দুর্বল এনপি-কঠোরতার অর্থ হ'ল যদি সংখ্যাগুলি ছোট হয় (বা আরও স্পষ্টভাবে, অ্যানারিতে চিহ্নিত করা হয়), সমস্যাটি আর কঠিন নয়। অতএব, ক্ষয়ক্ষতি ব্যবহার করে এসপি-র সহজ উদাহরণগুলির জন্য এসপি-র তাত্পর্যপূর্ণ আকারের উদাহরণ তৈরি করে, যেখানে সংখ্যাগুলি অখণ্ডে লেখা থাকে। $e$

দ্বিতীয়ত, এসপি থেকে এসএসে যেতে লগারিদম ব্যবহার করা কার্যকর হয় না, কারণ লগারিদমগুলি সাধারণত অ-পূর্ণসংখ্যার মান তৈরি করে। এসএস এবং এসপি সংখ্যার সংখ্যার সাহায্যে সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং লোগারিদমগুলি প্রায়শই ট্রান্সইডেন্টাল মানগুলির ফলস্বরূপ হয়, যা গণিত উপস্থাপন করা বা করা শক্ত hard

<edit>

কে পূর্ণসংখ্যা হিসাবে ধরা যাক , , তারপরে যুক্তিযুক্ত এবং যদি কেবল এর 2 এর শক্তি হয় এবং অন্যথায় ট্রান্সসেন্টেন্টাল হয়। প্রথমত, যদি $A$ $A > 0$ $\log_2 A$ $A$ অশূন্য পূর্ণসংখ্যার জন্যএবং, তারপর $\log_2 A = \frac{p}{q}$ $p$ $q$ ,। সুতরাং আমরা যে আছেপ্রধানমন্ত্রী পচানি দ্বারা। তবুও, সুতরাং একটিদেওয়াআমরাপ্রমাণকরতেএবংবেছে নিতে পারিযুক্তিযুক্ত। $A = 2^{\frac{p}{q}}$ $A^q = 2^p$ $A = 2^r$ $A^{rq} = 2^p$ $A$ $q=1$ $p=r$ $\log_2 A$

আমাদের কেবল এটি দেখাতে হবে যে কখনও অন্যথায় ক্ষুদ্র হয় না। এটি গেলফন্ড-স্নাইডার উপপাদ্য থেকে অনুসরণ করা হয়েছে , সমতুল্য সূত্রের জন্য (উইকি পৃষ্ঠায় পাওয়া যাবে) "যদি এবং ননজারো বীজগণিত সংখ্যা হয়, এবং আমরা কোনও শূন্য লোগারিদম গ্রহণ করি , তবে পারেন মূলদ বা তুরীয় হয়। " উপপাদ্যের কথোপকথন গ্রহণ করে এবং এবং তাই সেট করে যাচাই করা সহজ easy $\log_2 A$ $\alpha$ $\gamma$ $\alpha$ $(\log \gamma)/(\log \alpha) = \log_\alpha \gamma$ $\alpha^\beta = \gamma$ । $\beta = \log_\alpha \gamma$

</edit>

শেষ অবধি, এসপি থেকে এসএস থেকে ডায়নামিক প্রোগ্রামিং অ্যালগরিদম চেষ্টা করার পরে কী ঘটে তা বিবেচনা করুন। যেহেতু আমরা অঙ্কের চেয়ে পণ্যগুলি ব্যবহার করি, জড়িত সংখ্যাগুলি প্রচুর পরিমাণে উড়ে যায় এবং নির্বিচারে যথাযথ গণিতটি হঠাৎ করে চলমান সময়ের একটি কারণ হয়ে ওঠে। এ কারণেই সংখ্যাগুলি অচল অবস্থায় থাকলেও অ্যালগরিদম এসপি ইনস্ট্যান্সগুলি দ্রুত সমাধান করতে পারে না।

— অ্যালেক্স টেন ব্রিংক
সূত্র

এটি কিছুটা আকর্ষণীয় বিশেষ ক্ষেত্রে নিয়ে যায়। কোন শ্রেণীর সংখ্যার জন্য লগটি যুক্তি হিসাবে প্রকাশযোগ্য এবং অসীম নির্ভুলতার প্রয়োজন নেই? এক্ষেত্রে সমস্যাগুলি প্রায় একে অপরের কাছে প্রায় সমতুল্য এবং হ্রাসযোগ্য হবে। এটি একটি "প্রাকৃতিক" প্রায় অ্যালগরিদমের দিকে নিয়ে যায় বলে মনে হয়।

— vzn

মহান উত্তরের জন্য ধন্যবাদ! আমার কেবল একটি ইস্যু আছে - লগ কেন নেওয়া অবৈধ (আমি সম্ভবত লগের দৈর্ঘ্যে পলির ক্ষেত্রে বাদে - ভিজেএন পয়েন্ট হিসাবে উল্লেখ করি) তবে আমি এসএস থেকে এসপিতে যাওয়ার বৈধতা সম্পর্কে এখনও নিশ্চিত নই ক্ষয়ক্ষতির মাধ্যমে। WRT, পুলিশ সুপার থেকে এস এস থেকে যাচ্ছে যেমন উল্লেখ করেছে (exponentiation মাধ্যমে) আমরা নিম্নলিখিত সমস্যা পাতিত না: ইনপুট ইনস্ট্যান্সের মধ্যে বিট সংখ্যা

হয়

এবং বিট সংখ্যা

এর উদাহরণ হ'ল

। এটি একটি ক্ষতিকারক ধাক্কা। তাহলে কি এখনও আইনী? যদি তা হয় তবে কেন?

I_{S S}

$I_{SS}$

O (n \log x)

$O(n\log x)$

I_{S P}

$I_{SP}$

O (n x)

$O(nx)$

— আরডিএন

@ ভিজেএন, আরডিএন: লগারিদম ট্রান্সসেন্টেন্টাল হলে আমি একটি বৈশিষ্ট্যে সম্পাদনা করেছি। হ্রাস সম্পর্কে উত্থাপদ সম্পর্কে, এটি আপনার 'আইনী' সংজ্ঞা সম্পর্কিত উপর নির্ভর করে: হ্রাস সঠিক , তবুও এর দক্ষতা বহুপদী নয়, এবং তাই এনপি-কঠোরতা সম্পর্কে কিছু বলেন না। সুতরাং এটি সঠিক পলি-টাইম হ্রাস নয়, তবে এটি একটি সঠিক হ্রাস (যোগ্যতা ছাড়াই) without

— অ্যালেক্স টেন ব্রিংক ২

এছাড়াও একটি বিশেষ কেস রয়েছে যেখানে সমস্ত সংখ্যা

, প্রতিটি

যুক্তিযুক্ত, যে কোনও

, কেবল

। আমি আনুমানিক অ্যালগরিদম সম্পর্কে ভাবছিলাম এমন একটি

খুঁজে পেতে পারে যে "বেস" এর মধ্যে মানগুলির রূপান্তরটি মূলগুলির "কাছাকাছি" হয়।

c^{n_{i}}

$c^{n_i}$

n_{i}

$n_i$

c

$c$

c = 2

$c=2$

c

$c$

— vzn

আক্ষরিক ব্যাখ্যাটি হ'ল সাবসেট প্রোডাক্ট সমস্যাটি এনপি-সম্পূর্ণ হ'ল দৃP়ভাবে এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যা থেকে হ্রাস করে যেমন 3-সেট দ্বারা সঠিক কভার। এই জাতীয় "শক্তিশালী" হ্রাসে ইনপুট পূর্ণসংখ্যাগুলি সাবসেট প্রোডাক্ট সমস্যার ফলস্বরূপ সংখ্যার পূর্ণসংখ্যার সংখ্যায় কিছু বহুবচনীয় ফাংশন দ্বারা আবদ্ধ হয়।

এই জাতীয় "শক্তিশালী" হ্রাস কোনও দৃ strongly়ভাবে এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যা থেকে সাবসেট সমষ্টি সমস্যার কাছে অসম্ভব, যদি না । ইনপুট পূর্ণসংখ্যা একটি বহুবচন দ্বারা আবদ্ধ হলে সাবসেট সামমের সমস্যা সমাধানের জন্য আমাদের বহু-সময়কালীন গতিশীল প্রোগ্রামিং অ্যালগরিদম রয়েছে। $P=NP$

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তানি
সূত্র

হ্যাঁ, আমি এটি বুঝতে পারি। আমার প্রশ্নটি ছিল যে আমি আগে যে উপসংহারটি করেছিলাম তা কেন ভুল ছিল (অর্থাত্ এসএস এবং এসপির সমতুল্যতা)।

— আরডিএন

@rdn পি = এনপি না থাকলে সেই অর্থে সমান নয়।

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তানি

হ্যাঁ, আমি এটি পেয়েছি তবে আমি জানতে চাই যে উভয় দিকেই আমার হ্রাসের ফলে কী ভুল হয়েছিল।

— আরডিএন

আপনি কি হ্রাসের রূপরেখা দিতে পারেন?

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তানি

I (S S) = ⟨ X, S ⟩

$I(SS)=\langle X, S \rangle$

I (S P) = ⟨ Y, P ⟩

$I(SP)=\langle Y, P \rangle$

I (S S)

$I(SS)$

I (S P)

$I(SP)$

P = e^{S}

$P = e^S$

Y_{i} = e^{X_{i}}

$Y_i = e^{X_i}$

S

$S$

P = e^{S}

$P = e^S$

I (S P)

$I(SP)$

I (S S)

$I(SS)$

S = l o g (P)

$S = log(P)$

X_{i} = \log (Y_{i})

$X_i = \log(Y_i)$

P

$P$

S = \log (P)

$S = \log(P)$