থামানো সমস্যার দৃষ্টান্তগুলি সমাধান করার জন্য ওরাকল সংখ্যার উপর নীচে আবদ্ধ

Question

আমি নিম্নলিখিত প্রশ্নের মুখোমুখি হয়েছি, যা একটি সহজ অনুশীলন (নীচে স্পয়লার)।

আমরাও তা প্রদত্ত হই বিরাম সমস্যা দৃষ্টান্ত (অর্থাত স্মৃতি ), এবং আমরা ঠিক যা তাদের উপর বন্ধ সিদ্ধান্ত নিতে হবে । অর্থাৎ আমরা আউটপুট প্রয়োজন । আমাদের থামার সমস্যার জন্য একটি ওরাকল দেওয়া হয়েছে, তবে আমাদের এটি ন্যূনতম বার ব্যবহার করতে হবে।$n$$M_1,...,M_n$$\epsilon$$\{i: M_i\text{ halts on }\epsilon\}$

এটি কল দিয়ে করা যেতে পারে তা দেখানো কঠিন নয় ।$\log (n+1)$

আমার প্রশ্নটি: আমরা কি নিম্ন সীমাটি প্রমাণ করতে পারি? সন্দেহ করার কারণ আছে যে এই ধরণের একটি আবদ্ধ খুঁজে পাওয়া খুব কঠিন হবে?

নিজেই প্রশ্নের উত্তর (স্পয়লার, মাউস হোভার):

টিএম এর ক্ষেত্রে বিবেচনা করুন । আমরা একটি টিএম করতে যা সমান্তরালভাবে হয়, এবং যদি তাদের কমপক্ষে বন্ধ হয়ে যায় (অন্যথায় এটি আটকে যায়)একইভাবে, আমরা একটি টিএম করতে পারি যা থেমে থাকে যদি তাদের কমপক্ষে একটি বন্ধ থাকে। এরপরে আমরা তে কল করতে । যদি এটি বন্ধ হয়ে যায়, তবে আমরা সমান্তরালভাবে মেশিনগুলি চালাতে পারি এবং একটিটি থামার জন্য অপেক্ষা করতে পারি। তারপরে আমরা শেষটিকে ওরাকল বলতে পারি। যদি ওরাকলটি "না" বলে, তবে আমরা তে । যদি এটি বন্ধ হয়ে যায়, তবে আমরা একটি থামার আগ পর্যন্ত মেশিনগুলি চালিত করি এবং এটিই কেবল থামে। যদি না থামায়, তবে তাদের থামবে না। এটি মেশিনে প্রসারিত করা সহজ।$3$$H_2$$M_1,M_2,M_3$$H_1$$H_2$$H_1$$H_1$$n$

এই প্রশ্নটি সম্পর্কে প্রথম পর্যবেক্ষণটি হ'ল তথ্য-তাত্ত্বিক সরঞ্জামগুলি ব্যবহার করা সমাধান করা অসম্ভব বলে মনে হচ্ছে, যেহেতু আমরা ওরাকল ছাড়াই মেশিনগুলি চালিয়ে তথ্য অর্জনের আমাদের ক্ষমতার উপর নির্ভরশীল।

Comments

@ কাভেহ - যেমন নিল ইয়ং লিখেছেন, আমাদের থামানো মেশিনগুলির সঠিক সেটটি গণনা করা দরকার।

— শাল

Answer 1

ফলাফল পাওয়া যাবে

• বেইগেল, আর। , গ্যাশার্ক, ডাব্লুআই, গিল, জে। এবং ওউজিংস, জে। টারস, সুপারটার্স এবং ভার্বোস সেট । অধিকার। এবং গণনা। 103 (1993), না। 1, 68-85।

প্রকৃতপক্ষে তাদের প্রমাণটি দেখায় যে আপনার সমস্যাটি কোনও সেট জন্য কম প্রশ্নের সাথে সমাধান করা যাবে না, সমস্যাটি নিজেই ছেড়ে দিন। কিছু জন্য আপনার সমস্যাটিকে মাঝে মাঝে বা (থামানো সমস্যার জন্য আপনার প্রিয় স্বরলিপিটির উপর নির্ভরশীল) হিসাবে চিহ্নিত করা হয়।$\log_2 n$$X$$C_n^K$$C_n^{HALT}$

এটি এবং অন্যান্য সম্পর্কিত ফলাফলের জন্য, আরও দেখুন:

• এই সমীক্ষা গ্যাসার্কের

• গ্যাশার্ক এবং মার্টিনের দ্বারা পুনরাবৃত্তি তত্ত্বের বাউন্ডেড ক্যুইরিস বইটি ।

Answer 2

সম্পাদনা করুন: যুক্তি হল যে আমি উত্তর দিয়েছেন ভুল ছিল না, কিন্তু এটি একটি বিট, বিভ্রান্তিকর যে এটি শুধুমাত্র দেখিয়েছেন যে উপরের ছিল আবদ্ধ জন্য আঁট হতে ছিল কিছু $n$ (যা আসলে তুচ্ছ, যেহেতু এটি কখন শক্ত হতে হবে $n=2$ এবং সীমাটি 1)।

এখানে আরও সুনির্দিষ্ট যুক্তি দেওয়া হল। এটি দেখায় যে যদি উপরের সীমানা হয়$\log_2 n$ যে কোনও নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে looseিলে .ালা হয় $n$তারপর, জন্য সব $n$ প্রয়োজনীয় ওরাকল কলগুলির সংখ্যা $O(1)$।

(অবশ্যই এটি না $O(1)$, তাই উপরের গণ্ডি কখনই আলগা হয় না! তবে আমি আসলে এখানে প্রমাণ করি না, এবং সমস্যার অন্য উত্তর দিয়েছি, এটি অনুধাবন করা উপযুক্ত বলে মনে হয় না))

সর্বাধিক আউটপুট গণনা করার সমস্যাটি বিবেচনা করুন :

দেওয়া হয়েছে একটি $n$-tuple $(M_1,\ldots,M_n)$ টুরিং মেশিনগুলির সর্বাধিক আউটপুট গণনা করুন (টিউরিং মেশিনগুলি যে থামে, যদি চালানো হয়) $\epsilon$)। যদি তাদের কোনওটি না থামায় তবে 0 ফিরে আসুন।

একটি কাজ হিসাবে $n$, এই ফাংশনটি গণনা করার জন্য সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে ওরেकल কলগুলির মধ্যে কোনটি নির্ধারণের জন্য প্রয়োজনীয় সংখ্যার সমান $n$প্রদত্ত মেশিন বন্ধ। (যদি আমি জানি যে কোন মেশিনগুলি থামে, আমি সহজেই সর্বোচ্চ আউটপুট গণনা করতে পারি Con বিপরীতক্রমে, যদি আমি সমস্যার বিবৃতিতে নির্মাণের পরে কোন মেশিনগুলি থামে তা জানতে চাই, আমি মেশিনগুলি নির্মাণ করতে পারি$\{M'_i\}$ $(i=1,2,\ldots,n)$ কোথায় $M'_i$ সমস্ত চালায় $n$ সমান্তরাল দেওয়া মেশিনগুলি, তারপরে বাধা এবং আউটপুট $i$ যদি $i$তাদের মধ্যে কখনও থেমে আছে। সর্বাধিক আউটপুট আমাকে যে সংখ্যাটি থামবে তা বলবে। সেখান থেকে আমি ঠিক কোনটি থামাতে পারি তা গণনা করতে পারি))

এখন, চলুন $n_0$ সবচেয়ে ছোট পূর্ণসংখ্যা হতে $n$ (যদি থাকে তবে) নিম্নলিখিতটি ধারণ করে:

ব্যবহার $C(n) = \max\{k \in \mathbb{Z} : 2^k < n\}$ ওরাকল কলগুলি, একজনের সর্বাধিক আউটপুট গণনা করতে পারে $n$প্রদত্ত মেশিন (এটি, উপরের সীমাটি শক্ত হয় না$n$।)

পরিষ্কারভাবে $n_0>1$, কারণ $C(1) = -1$। আসলে,$n_0>2$ তাছাড়া কারণ $C(2) = 0$, তবে এটির সর্বাধিক আউটপুট গণনা করা অনস্বীকার্য $2$প্রদত্ত মেশিনগুলি (কোনও ওরাকল কল ছাড়াই)। এখন আরও বড় বিবেচনা করুন$n$:

দাবি: যদি$n_0$ সীমাবদ্ধ, তারপর, যে কোনও $n$, কেউ এর সর্বোচ্চ আউটপুট গণনা করতে পারে can $n$ দেওয়া মেশিন $C(n_0)$ওরাকল কল। (মনে রাখবেন যে যদি$n_0$ সীমাবদ্ধ, তারপর $C(n_0) = O(1)$।)

প্রুফ। । আমরা এটি অন্তর্ভুক্ত দ্বারা প্রমাণ$n$। বেস মামলাগুলি হয়$n\le n_0$, যা সংজ্ঞা দ্বারা ধারণ করে $n_0$ এবং $C$।

দিন $Q_0$ যে কোনও দেওয়া টিএম হোন $n_0$ টুরিং মেশিন, শুধুমাত্র ব্যবহার করে সর্বাধিক আউটপুট গণনা করে $C(n_0)$ ওরাকল কল।

যে কোনও ঠিক করুন $n>n_0$। কোন দেওয়া$n$ মেশিন $M_1,\ldots, M_n$, নিম্নলিখিত হিসাবে সর্বোচ্চ আউটপুট গণনা করুন।

প্রথমটিতে ফোকাস করুন $M_1,\ldots,M_{n_0}$মেশিন। দৌড় বিবেচনা করুন$Q_0$ এই উপর $n_0$মেশিন। মনে রাখবেন যে$Q_0$ তোলে $C(n_0)$ ওরাকলকে কল করে, এবং কেবল আছে $n' = 2^{C(n_0)}$এই কলগুলিতে ওরাকল দ্বারা সম্ভাব্য প্রতিক্রিয়া। সংজ্ঞা অনুসারে নোট করুন$n' = 2^{C(n_0)} < n_0$। দিন$o_i$ ইঙ্গিত $i$সম্ভাব্য প্রতিক্রিয়া। প্রতিটির জন্য, প্রত্যেকটির জন্য$i=1,\ldots,n'$, একটি মেশিন নির্মাণ $M'_i$ যে অনুকরণ $Q_0$ নিম্নলিখিত হিসাবে এই মেশিনে:

টি এম $M'_i$ (ইনপুট এ $\epsilon$):

1. অনুকরণ $Q_0$ উপরে $n_0$ মেশিন $(M_1,\ldots,M_{n_0})$, তবে ওরাকলকে কল করার পরিবর্তে, ধরে নিই ওরাকল এর অনুযায়ী সাড়া ফেলেছে $o_i$।
2. এই সিমুলেশনটি থামতে পারে না (যেমন যদি $o_i$ ওরাকল আসলে ফিরে আসবে না)।
3. যদি সিমুলেশন বন্ধ হয়ে যায় তবে চলুন $h_i$ সর্বাধিক আউটপুট হতে হবে $Q_0$ বলে দেওয়া হবে।
4. সবই ডোভেল $n_0$ মেশিন $(M_1,\ldots,M_{n_0})$। যদি তাদের মধ্যে কখনও আউটপুট হয়$h_i$, থামুন এবং আউটপুট $h_i$।

এখন, প্রদত্ত ক্রম $n$ মেশিন, প্রথম প্রতিস্থাপন $n_0$ মেশিন $M_1,\ldots,M_{n_0}$ এই দ্বারা $n'< n_0$ মেশিন $M'_1,\ldots,M'_{n'}$। এর ক্রমটিতে পুনরাবৃত্তি করে গণনা করা মানটি ফেরৎ দিন$n-(n_0-n') < n$মেশিন। (দ্রষ্টব্য যে পুনরাবৃত্তি করার আগে ওরাকলটি ডাকা হয় না, যাতে বেস কেসগুলি পৌঁছানোর পরে কেবল ওরাকল বলা হয়।)

এখানে এই গণনাটি সঠিক। জন্য$i$ যেমন যে $o_i$ ওরাকল দ্বারা `` সঠিক '' প্রতিক্রিয়া $Q_0$ প্রশ্নগুলিতে, $M'_i$ থামবে এবং আসলটির সঠিক সর্বাধিক আউটপুট দেবে $n_0$মেশিন। সুতরাং, এর সর্বাধিক আউটপুট$n'$ মেশিন $(M'_1,\ldots,M'_{n'})$ এটি কমপক্ষে সর্বাধিক আউটপুট $n_0$ মেশিন $(M_1,\ldots,M_{n_0})$। অন্যদিকে, চতুর্থ ধাপে, না$M'_i$ এর আউটপুট দিতে পারে যা সর্বাধিক আউটপুটের চেয়ে বড় $(M_1,\ldots,M_{n_0})$। সুতরাং, এর সর্বাধিক আউটপুট$n'$ মেশিন $(M'_1,\ldots,M'_{n'})$ এর সর্বাধিক আউটপুট সমান $n_0$তারা প্রতিস্থাপন যে মেশিন। Qed