লাস ভেগাস অ্যালগোরিদম ব্যবহার করে বিপিপির সর্বাধিক পরিচিত সিমুলেশন কী?

$\mathsf{BPP}$ এবংদুটি প্রাথমিক সম্ভাব্য জটিলতা ক্লাস। $\mathsf{ZPP}$

$\mathsf{BPP}$ -সময়ের টিউরিং অ্যালগরিদম দ্বারা নির্ধারিত ভাষার শ্রেণি যেখানে কোনও ভুল উত্তর অ্যালগরিদমের সম্ভাবনা সীমাবদ্ধ থাকে, অর্থাৎ ত্রুটির সম্ভাবনা সর্বাধিক (উভয়ই হ্যাঁ এবং কোনও উদাহরণ নয়)। $\frac{1}{3}$

অন্যদিকে, অ্যালগরিদমগুলি সেই সম্ভাব্য অ্যালগরিদম হিসাবে দেখা যেতে পারে যা কখনই কোনও ভুল উত্তর দেয় না, যখনই তারা কোনও উত্তর দেয় তবে এটি সঠিক। তবে তাদের চলমান সময়টি বহুপদী দ্বারা আবদ্ধ হয় না, তারা প্রত্যাশিত বহুবর্ষে চলে। $\mathsf{ZPP}$

যাক শূন্য ত্রুটির সম্ভাবনা এবং প্রত্যাশিত চলমান-সময় সহ সম্ভাব্য আলগোরিদিমগুলি দ্বারা নির্ধারিত ভাষার শ্রেণি হওয়া যাক । এগুলিকে লাস ভেগাস অ্যালগোরিদম এবং হিসাবেও উল্লেখ করা হয় । $\mathsf{ZPTime}(f)$ $f$ $\mathsf{ZPP} = \mathsf{ZPTime}(n^{O(1)})$

আমার প্রশ্ন হ'ল লাস ভেগাস অ্যালগোরিদম ব্যবহার করে অ্যালগরিদমগুলির সিমুলেশনটি সবচেয়ে ভাল কী ? আমরা কি সাফল্য প্রত্যাশিত সময়ে তাদের অনুকরণ করতে পারি? তাত্পর্যপূর্ণ ব্রুট-ফোর্স সিমুলেশন যা কোনও তাত্পর্যপূর্ণ সময় লাগে তার থেকেও কি কোনও উন্নতি হয়? $\mathsf{BPP}$

আরও আনুষ্ঠানিকভাবে, আমরা কি জানি যে বা some কিছু ? $\mathsf{BPP} \subseteq \mathsf{ZPTime}(2^{O(n^{\epsilon})})$ $\mathsf{BPP} \subseteq \mathsf{ZPTime}(2^{n-n^{\epsilon}})$ $\epsilon>0$

— echuly
সূত্র

এন, ইনপুট দৈর্ঘ্য কি? কেন আমরা accept গ্রহণ করতে পারি ?

2^{n}

$2^n$

— ডমোটরপ

2^{p o l y (n) - n^{ϵ}}

$2^{\mathrm{poly}(n)-n^\epsilon}$ হিসাবে একই জিনিস ।

2^{p o l y (n)}

$2^{\mathrm{poly}(n)}$

— এমিল জেব্যাক

আমি প্রশ্নটি বেশ আকর্ষণীয় মনে করি। আমি এটিকে আরও পঠনযোগ্য এবং সুনির্দিষ্ট করার জন্য প্রশ্নটি সম্পাদনা করেছি। আরও সম্পাদনা করতে নির্দ্বিধায়। PS: আমি অনুমান করছি যে আপনি সম্ভবত একাউন্টে সিমুলেশন সময়ের জন্য একটি প্যারামিটার হিসাবে BPP অ্যালগরিদম দ্বারা ব্যবহৃত polynomially অনেক র্যান্ডম বিট নিয়ে যেতে চেয়েছিলেন কিন্তু এমিল পয়েন্ট আউট কি আপনি লিখেছিলেন দেয় । আপনি যদি চান যে আপনাকে বিপিপিকে নির্দিষ্ট শ্রেণীর বাউন্ড ত্রুটিযুক্ত সম্ভাব্য আলগোরিদিম দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে হবে যা অ্যালগরিদমের দ্বারা ব্যবহৃত এলোমেলো বিটের সংখ্যার জন্য একটি প্যারামিটার রয়েছে।

2^{p o l y (n)}

$2^{poly(n)}$

— কাভেহ

আপনি অনুরোধ করতে পারেন আমরা একটি BPP অ্যালগরিদম যা ব্যবহারসমূহ সিমুলেট করতে পারেন র্যান্ডম বিট নরপশু থেকে -জম সিমুলেশন সময়ে চলে।

r (n)

$r(n)$

Z P T i m e (2^{r (n) - n^{ϵ}} n^{O (1)})

$\mathsf{ZPTime}(2^{r(n)-n^\epsilon}n^{O(1)})$

2^{r (n)} n^{O (1)}

$2^{r(n)}n^{O(1)}$

— কাভেহ

উত্তর:

প্রথমত, মান্য যে যদি কিছু ধ্রুবক জন্য , তারপর । (ননডেস্টিরিস্টিক টাইম হায়ারার্কি দ্বারা প্রমাণ।) সুতরাং এই জাতীয় অন্তর্ভুক্তি প্রমাণ করা তাৎপর্যপূর্ণ হবে, এটি কেবলমাত্র এটি একটি উন্নত সিমুলেশন নয়, তবে দশকগুলিতে এলোমেলোভাবে সময় নিম্ন সীমাতে প্রথম অগ্রগতি অর্জন করবে। $\mathsf{BPP} \subseteq \mathsf{ZPTIME}[2^{n^{c}}]$ $c$ $\mathsf{BPP} \neq \mathsf{NEXP}$

এরপরে, $\mathsf{PromiseBPP}$ শ্রেণিটি বিবেচনা করুন , যার জন্য নিম্নলিখিত সমস্যাটি " -hard": $\mathsf{PromiseBPP}$

সার্কিট পড়তা সম্ভাব্যতা সমস্যা (CAPP): একটি সার্কিট দেওয়া , আউটপুট কবুলের সম্ভাবনা একটি মধ্যে থেকে যুত ফ্যাক্টর। $C$ $C$ $1/6$

ইম্পাগলিয়াজো, কাবনেটস এবং উইগডারসন ২০০২ এর ফলাফলগুলি বোঝায় যে সিএপিপি (যেখানে এর আকার ) এর জন্য একটি সময়ের শূন্য-ত্রুটির অ্যালগোরিদম । STOC'10, আমি এই বর্ধিত দেখানোর জন্য: প্রতিবার জন্য ত সঙ্গে ইনপুট বিট এবং আকার, এক CAPP nondeterministically গনা করতে পারেন (তাই হয়, শূন্য-ত্রুটি যথেষ্ট) এ $2^{n^{\varepsilon}}$ $n$ $C$ $\mathsf{NEXP} \not\subset \mathsf{P/poly}$ $C$ $k$ $n$ সময়, তারপরে । এটি হ'ল দ্বি-পার্শ্বযুক্ত ত্রুটিযুক্ত এলোমেলোতার সাথে অবশ্যই গণনাযোগ্য সমস্যা রয়েছে, যার জন্য শূন্য-ত্রুটি অ্যালগরিদমগুলি এমনকি হালকাভাবে বিস্তৃত অনুসন্ধানকে মারধর করে যা নিম্নতর সীমানাকে বোঝায়। আমি বিশ্বাস করি এটি নিম্ন সীমানা প্রমাণের জন্য একটি সম্ভাব্য পদ্ধতি হিসাবে ব্যাখ্যা করা উচিত; আপনার মাইলেজ পরিবর্তিত হতে পারে. $2^{k-\omega(\log k)}\mathrm{poly}(n)$ $\mathsf{NEXP} \not\subset \mathsf{P/poly}$

করুন যে এমনকি প্রমাণ করাও উন্মুক্ত এবং এটি প্রমাণ করে যে এটিও নিম্ন সীমানা বোঝায়: কাবনেটস এবং ইমপাগলিয়াজো 2004 দ্বারা, যদি বহুপদী পরিচয় পরীক্ষা (একটি সমস্যা) হয় মধ্যে সকলের জন্য , তাহলে আমরা পারেন স্থায়ী বা জন্য নিম্ন সীমা আছে $\mathsf{RP} \subseteq \mathsf{ZPTIME}[2^{n^{\varepsilon}}]$ $\mathsf{coRP}$ $\mathsf{ZPTIME}[2^{n^{\varepsilon}}]$ $\varepsilon > 0$ $\mathsf{NEXP}$ । সম্প্রতি (STOC'13 এ আসন্ন), আমি নিঃশর্তভাবে প্রমাণিত করেছি যে বা এর আকারের সার্কিট রয়েছে, কাবনেটসের "সহজ সাক্ষী" পদ্ধতিতে বিল্ডিং। এটি দুটি বিষয় বোঝায়: $\mathsf{BPP} \subseteq \mathsf{ioZPTIME}[2^{n^{\varepsilon}}]/n^{\varepsilon}$ $\mathsf{RTIME}[2^n]$ $n^c$

একটি নেই যে সব এমন , নিঃশর্তভাবে হয় - এই শ্রেষ্ঠ নিঃশর্ত derandomization সম্পর্কে এ যা আমরা এখনও জানি। $c$ $\varepsilon > 0$ $\mathsf{RP}$ $\mathsf{ioZPTIME}[2^{n^{\varepsilon}}]/n^c$ $\mathsf{RP/BPP}$ $\mathsf{ZPP}$
এর আকর্ষণীয় সুবেস এক্সনোশিয়াল সিমুলেশন পেতে শুরু করতে , আপনাকে কেবল " " ধরে নিতে হবে নির্দিষ্ট-বহু-আকারের সার্কিট নেই। $\mathsf{BPP}$ $\mathsf{RTIME}[2^n]$

— রায়ান উইলিয়ামস
সূত্র

আমার প্রতিক্রিয়াটিকে সুস্পষ্ট করার জন্য সময় দেওয়ার জন্য নিলকে ধন্যবাদ :)

— রায়ান উইলিয়ামস

আপনার যা দরকার তা "সব জন্য আপনার প্রথম বাক্যে কেন করুন: রায়ান, আমি মনে করি আমি একটি খুব মূঢ় প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করতে থাকি, কিন্তু এখানে আমি যেতে

"? আরপিটাইম (২ ^ (এন ^ সি)) এর বিপিপি সাবসিট আরটিএম (২ ^ (এন ^ সি)) এর কিছু সি ফিক্সড ইম্প্লি বিপিপি সাবসেটের জন্য নয়, তাই বিপিপি হয় NEXP এর সমান বা অন্যথায় এনটিটাইম (2 ^ (2n ^ c)) এনটিটাইমের একটি উপসেট (2 ^ (n of c))?

ϵ

$\epsilon$

— সাশো নিকোলভ

মোটেও বোকা নয় - প্রকৃতপক্ষে,

কিছু

জন্য যথেষ্ট পরিমাণে

, এটি উল্লেখ করার জন্য ধন্যবাদ। যদিও অন্যান্য ফলাফলগুলির জন্য সুব এক্সোনসিয়াল টাইম অ্যালগরিদমগুলি প্রয়োজনীয়।

B P P \subseteq N T I M E (2^{n^{c}})

$BPP \subseteq NTIME(2^{n^c})$

c

$c$

B P P \neq N E X P

$BPP \neq NEXP$

— রায়ান উইলিয়ামস

রায়ান: যদি আমি আপনার কাগজটি বুঝতে চাইতাম যে কোন বই / সার্কিট জটিলতার উপরের কাগজপত্রগুলি আপনার সাথে পরিচিত হওয়ার পরামর্শ দেয়?

— টি ....

হাই অরুল, ভাগ্যক্রমে বিল গ্যাশার্ক আমাকে কিছুক্ষণ আগে এই প্রশ্নটি জিজ্ঞাসা করেছিলেন এবং নীচের লিঙ্কগুলির ওয়েবপৃষ্ঠাটি লিখেছিলেন

— রায়ান উইলিয়ামস

এটি নির্ভর করে আপনি কোন অনুমানগুলি করতে প্রস্তুত।

নির্দিষ্ট কঠোরতা অনুমানের, যথা অধীনে , আপনি পেতে যে । এটি বিশেষত ইঙ্গিত দেয় যে , এবং সেইজন্য প্রতিটি ভাষা লাস ভেগাস মেশিন দ্বারা গৃহীত হয়েছে (ইম পিগ বিপিপি না থাকলে E এর সুব এক্সপেনশিয়াল সার্কিট না থাকে: এক্সওআর লেম্মাকে ডেরানডমাইজিং করা হয়), ইমপাগ্লিয়াজো দ্বারা এবং উইগডারসন)। $E \not\subseteq SIZE(2^{\varepsilon n})$ $P = BPP$ $BPP = ZPP$ $L \in BPP$

এছাড়াও আপনি একটি নাতিশীতোষ্ণ কঠোরতা ধৃষ্টতা করতে পারেন, যথা, যে , এবং পেতে যে ( "মধ্যে থিম 46 দেখতে একটি সন্ধানে সহজ সাক্ষ্যদানকারী: এক্সপোনেনশিয়াল সময় বনাম সম্ভাব্য বহুবর্ষ সময় "ইম্পাগলিয়াজো, কাবেনেটস এবং উইগডারসন দ্বারা)। $ZPE \not\subseteq \rm{io-DTIME}(2^{\varepsilon n})$ $BPP = ZPP$

— বা মীর
সূত্র

ড্যারানডমাইজেশনে যে কোনও অগ্রগতি বাদ দিলে আমার কাছে মনে হয় যেন লাস ভেগাস মেশিন যে কোনও ভুল না করে সে প্রয়োজনীয়তা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ, যাতে এ ক্ষেত্রে এলোমেলো হওয়ার কোনও লাভ নেই।

একটি বিপিপি ভাষার জন্য একটি উপযুক্ত অ্যালগরিদম দ্বারা সিদ্ধান্ত নেওয়া হয়েছে , যা ইনপুটগুলিতে এবং এলোমেলো স্ট্রিং এর এলোমেলো পছন্দগুলি উপস্থাপন করে, শূন্য-ত্রুটির মানদণ্ডটি বোঝায় যে নির্দিষ্ট জন্য লাস ভেগাস মেশিন আবশ্যক নিরূপণ যা দুই মামলার $L$ $A$ $x \in \{0,1\}^n$ $r \in \{0,1\}^{N(n)}$ হোল্ড আমরা সম্পর্কে আর কোনো তথ্য দেওয়া হয় তাহলে, তারপর এই মূলত একটি ওরাকল প্রতিশ্রুতি সমস্যা: একটি ওরাকল দেওয়াকম্পিউটিং, এবং অঙ্গীকার করা হয়েছে যে দেওয়াউৎপাদনের এক আউটপুটবিপরীত আউটপুট হিসাবে অনেক ইনপুট হিসাবে অন্তত জন্য দুইবারনির্ধারণ যা আউটপুট বেশি দেখা যায়।

\underset{r}{Pr} (A accepts (x, r)) ⩾ \frac{2}{3} or \underset{r}{Pr} (A accepts (x, r)) ⩽ \frac{1}{3}

$\Pr_r(\text{$A$ accepts $(x,r)$}) \geqslant \tfrac{2}{3} \quad\text{or}\quad \Pr_r(\text{$A$ accepts $(x,r)$}) \leqslant \tfrac{1}{3}$

A

$A$

A^{'}

$A'$

A^{'} (r) = A (x, r)

$A'(r) = A(x,r)$

A^{'}

$A'$

a \in {0, 1}

$a \in \{0,1\}$

1 - a

$1-a$

যদিও লাস ভেগাস মেশিনটি এলোমেলো কৌশল ব্যবহার করতে পারে, তবে যদি আমরা সত্যই কে ওরাকল হিসাবে বিবেচনা করতে বাধ্য করি তবে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে লাস ভেগাস মেশিনের জন্য উপলব্ধ একমাত্র কৌশলটি একটি অপেক্ষাকৃত পুঙ্খানুপুঙ্খ (যদিও সম্পূর্ণ নয়) জরিপ গ্রহণ করা এলোমেলো স্ট্রিং , প্রত্যেকের জন্য কী উত্তর দেওয়া হয় তা দেখতে। এটি কেবলমাত্র নিশ্চিত হতে পারে যে এটি বেশি খুঁজে পেয়েছে $A'$ $r$ স্বতন্ত্র স্ট্রিং যা সমস্ত একই আউটপুটকে জন্ম দেয়; অন্যথায়, ক্ষুদ্র (তবে শূন্য নয়) সম্ভাব্যতার সাথে এটি দুর্ভাগ্যজনক হতে পারে এবং সম্ভাব্য ফলাফলগুলির একটি অ-প্রতিনিধি নমুনা অর্জন করতে পারে। শূন্য ত্রুটি পেতে, এটি কমপক্ষে নমুনা দিতে হবে $2^{N(n)}\!/3$ $r$ ইনপুট । $2^{N(n)}\!/3$ $r$

কারণ লাস ভেগাস মেশিন অন্তত সম্ভব র্যান্ডম স্ট্রিং সমস্ত একটি ধ্রুবক ভগ্নাংশ পরিদর্শন আবশ্যক , এসিম্পটোটিকভাবে আমরা চেয়ে আমরা যদি বন্ধ কোন ভালো আছেন deterministically সব সম্ভব র্যান্ডম স্ট্রিং পরীক্ষিত। আমরা জোর-জবরদস্তির মাধ্যমে নির্বিচারে কী করতে পারি তার বাইরে, শূন্য-ত্রুটি সেটিংয়ে বিপিপি অ্যালগরিদমগুলি এলোমেলোভাবে অনুকরণে আমরা কোনও অ্যাসিম্পটিক সুবিধা পাই না। $r$

নোট করুন যে এই একই যুক্তিটি বিপিপি এবং জেডপিপি-এর মধ্যে একটি অরাকল বিভক্তিকে জন্ম দেয় , অর্থাত্ সেখানে একটি ওরাকল রয়েছে যে কারণ জেডপিপি অ্যালগরিদমটি তাত্পর্যপূর্ণ সময় নেয়, যখন একটি বিপিপি অ্যালগরিদম সম্পর্কে প্রশ্নটি সমাধান করতে পারে একটি একক ক্যোয়ারীতে ওরাকল এবং সীমাবদ্ধ ত্রুটির সাথে সফল। যাইহোক, আপনি ইতিমধ্যে সন্দেহ করেছিলেন এর চেয়ে বেশি কিছু আপনাকে জানায় না (যে সিমুলেশন ওভারহেড বহুপুত্রের চেয়েও খারাপ হতে পারে) বা অ্যাসিম্পটোটিকগুলি নিরীহ নির্জনবাদী সিমুলেশনের মতোই খারাপ। $A$

{Z P P}^{A} ⫋ {B P P}^{A}

$\mathsf{ZPP}^A \subsetneqq \mathsf{BPP}^A$

— নিল ডি বৌদ্রাপ
সূত্র

আমি ভুল হলে আমাকে সংশোধন করুন: ড্যারানডমাইজেশনকে অসম্ভব বলে মনে হচ্ছে আপনি কিছু স্বজ্ঞাত যুক্তি দিচ্ছেন, তবে আমরা জানি যে কিছু যুক্তিসঙ্গত অনুমানের অধীনে বিপিপি, জেডপিপি এবং পি সব একই জিনিস। যাতে অন্তর্দৃষ্টি অগত্যা কোনও ভাল হয় না

— সাশো নিকোলভ

একদমই না. Derandomization সম্ভবতঃ মধ্যে কিভাবে একটি অন্তর্দৃষ্টি ভান করতে হবে BPP দ্বারা পি , তাই নয় কি? আমি কেবল বর্ণনা করছি যে, যদি তিনি শর্তযুক্ত ফলাফল চান যা নিজেই অ্যালগরিদমের কাঠামোটি কাজে লাগায় না, তবে তিনি শূন্য-ত্রুটিযুক্ত এলোমেলোভাবে একটি ডিটারমিনিস্টিক সিমুলেশনও সম্পাদন করতে পারেন। নাকি এই ব্যাখ্যায় কিছু ভুল আছে?

— নিল দে বৌদ্রাপ

আমি মনে করি আপনি যা বলছেন তা হ'ল জিপিপি দ্বারা বিপিপির নির্বাক ব্রুট ফোর্স সিমুলেশন পি দ্বারা বিপিপির নির্বাক ব্রুট ফোর্স সিমুলেশন এর চেয়ে খুব বেশি দ্রুত নয় তবে এটি কী দেখানোর কথা তা আমি দেখতে পাচ্ছি না। আমার কাছে এটি 'সর্বাধিক মিলের সন্ধানের জন্য দ্রুততম অ্যালগরিদম কী' এমন জিজ্ঞাসা করার মতো এবং উত্তর হিসাবে ভালভাবে পাওয়া, ম্যাচের কাঠামোর কোনও অন্তর্দৃষ্টি ব্যর্থ করে দেওয়া, এটি ক্ষণস্থায়ী সময় like প্রশ্নটি জিজ্ঞাসা করছে যে বিপিপির কাঠামোর কিছু জ্ঞাত অন্তর্দৃষ্টি রয়েছে যা দক্ষ জেডপিপি সিমুলেশনকে সম্ভব করে তোলে

— সাশো নিকোলভ

@ সাশোনিকোলভ: এটি আসলে গভীর অন্তর্দৃষ্টি হওয়ার অর্থ নয়। প্রশ্নের শব্দাবলি থেকে মনে হয়েছিল আমাকে সিএসএসইতে স্থানান্তরের জন্য সীমান্তরেখা বলে মনে হচ্ছে। আমি এর যথাযথভাবে এর জবাব দেওয়ার সিদ্ধান্ত নিয়েছিলাম, বুদ্ধি দিয়ে: যতদূর আমরা জানি , লাস ভেগাস মেশিনের সবচেয়ে দক্ষ প্রত্যাশিত সময় যা একটি ভাষা L∈BPP গ্রহন করে, সেগুলি ডিস্ট্রিমেন্টিক মেশিনের চেয়ে বেশি ভাল নয় যা সম্ভাবনার উদ্দীপনা আবিষ্কার করে। উত্তরগুলি যেগুলি বলে যে এটি যদি কিছু শর্তাবলী দুর্দান্ত এবং তথ্যবহুল হয় তবে এটি কিছুটা বহুতল upperর্ধ্বমুখী হতে পারে , এবং আমি তাদের জন্য ভোট দিয়েছি; তবে আমি আসল প্রশ্নটি সম্বোধন করি।

— নিল দে বৌদ্রাপ

আমি মনে করি এটি একটি দুর্দান্ত উত্তর (সম্পাদনার পরে আরও পঠনযোগ্য)। আমাদের কাছে "P = ZPP ইঙ্গিত পি = বিপিপি" বা "জেডপিপি = বিপিপি পি = বিপিপি" এর মতো শর্তসাপেক্ষ ফলাফল নেই সুতরাং এটি এখনও সম্ভব যে আমরা জেপি অ্যালগরিদম দ্বারা বিপিপিকে ডিটারিমেটিক অ্যালগরিদমের চেয়ে দ্রুত অনুকরণ করতে পারি। তবে আপেক্ষিকরণের ফলাফলটি বোঝা যাচ্ছে যে এটি কোনও পুনরায় সংযুক্তি সিমুলেশন দ্বারা ঘটতে পারে না, আমি কি সঠিকভাবে বুঝতে পারি?

— কাভেহ