ক্রোমাটিক এবং ভেক্টর ক্রোম্যাটিক সংখ্যার মধ্যে ফাঁক দিয়ে ছোট গ্রাফ?

12

আমি একটি ছোট গ্রাফ খুঁজছি যার ভেক্টর ক্রোম্যাটিক সংখ্যা ক্রোমাটিক সংখ্যার চেয়ে ছোট, । $G$ $\chi_v(G)<\chi(G)$

( তে ভ্যাক্টর ক্রোম্যাটিক সংখ্যা থাকে যদি একটি অ্যাসাইনমেন্ট থাকে , যেখানে স্বজ্ঞাতভাবে পার্শ্ববর্তী কোণগুলির সাথে সম্পর্কিত ভেক্টরগুলি অনেক দূরে থাকে requirement । উদাহরণস্বরূপ, , একটি ত্রিভুজের প্রান্তটি যথেষ্ট) $G$ $q$ $x\colon V \rightarrow \mathbf R^d$ $\langle x(v), x(w)\rangle \leq -1/(q-1)$ $q=3$

একটি গ্রাফের ভেক্টর ক্রোম্যাটিক সংখ্যা ক্রোম্যাটিক সংখ্যার চেয়ে বড় নয়: । উদাহরণগুলি সহ গ্রাফগুলির পরিচিত । (কার্গার, মোতওয়ানি, সুদানের মূল কাগজ [জ্যাকএএম, ৪৫: ২66-২65৫] ( পান্ডুলিপি ) জেনারেলাইজড ক্যান্সার গ্রাফের পরামর্শ দেয়, আরও একটি সাম্প্রতিক কাগজ এলোমেলো ইউনিটের ভেক্টরগুলির উপর ভিত্তি করে একটি নির্মাণ ব্যবহার করেছে।) $\chi_v(G)\leq \chi(G)$ $\chi_v(G)=3$ $\chi(G)=n^\delta$

আমি একটি উদাহরণ আছে গ্রাফ সঙ্গে এবং (কম্পিউটার হিসাব উপর ভিত্তি করে)। এই গ্রাফটিতে 20 টি শীর্ষ এবং 90 টি প্রান্ত রয়েছে। $K$ $\chi_v(K)=4$ $\chi(K)=8$

এর চেয়েও ছোট উদাহরণ আছে? একটি লোভনীয় অ্যাভিনিউটি হ'ল চ্যাভটাল বা গ্রাটস্ক গ্রাফের একটি কংক্রিট ভেক্টর 3-কালারিং সরবরাহ করা হবে, যদি এই জাতীয় কোনও প্রাণী উপস্থিত থাকে।

( পূর্ণসংখ্যা দরকার না তবে এটি চমৎকার হবে। আপডেট: নীচে উল্লিখিত হিসাবে, নন-ইন্টিগ্রাল কেসটি সত্যই সহজ Thanks ধন্যবাদ)) $\chi_v$

আপডেট: গ্রাটজচ এবং চ্যাভাল al

আমি ভেক্টরকে চ্যাভালাল এবং গ্রাটজস্ক গ্রাফগুলিকে 3-রঙ করার বিষয়ে চিন্তাভাবনা করতে পারিনি।

গ্রাটশ গ্রাফটি নিম্নরূপে 3-বর্ণযুক্ত ভেক্টর হতে পারে: উত্তর মেরুতে ডিগ্রি ফাইভ নোড রাখুন। 5 ডিগ্রি -4 নোডগুলি সমানভাবে একই অক্ষাংশে স্থাপন করা হয়, উত্তর থেকে 77 77 ডিগ্রি প্রায়: পৃথিবীর উত্তর গোলার্ধে আঁকা একটি পেন্টাগ্রাম কল্পনা করুন। বাকি 5 টি নোড (3 ডিগ্রির) উত্তর থেকে 135 ডিগ্রি অবধি দক্ষিণ গোলার্ধে শেষ হয়। 5 টির মতো একই দ্রাঘিমাংশ রয়েছে। (আমার কাছে যখন একটি অঙ্কন থাকবে তখন আমি আপলোড করব, তবে টিকজেডে জিওডেসিক লাইনগুলি আঁকানো আমার চেয়ে বেশি কঠিন))

একটি এসডিপি সলভারের মতে, চ্যাভটাল একটি ভেক্টরকে 3-বর্ণের স্বীকৃতিও দেয় তবে আউটপুট 5 টি মাত্রায় ভেক্টরগুলির একটি গুচ্ছ যা আমার ব্যাখ্যা করতে অসুবিধা হয়।

(তৃতীয় প্রয়াস ব্যর্থ হয়েছে: ইউরির নির্মাণের দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়ে, 5-চক্রটি নিয়ে যান এবং অন্যান্য সকলের সাথে সংলগ্ন একটি শীর্ষ শীর্ষ শীর্ষ যুক্ত করুন This

— থোর হসফেল্ট
সূত্র

1

আপনি ভেক্টর ক্রোমাটিক সংখ্যার জন্য একটি লিঙ্ক বা একটি ডিফএন সরবরাহ করতে পারেন?

— সুরেশ ভেঙ্কট

4

χ_{v} (C_{5}) = \sqrt{5} < 3 = χ (C_{5})

$\chi_v(C_5) = \sqrt{5} < 3 = \chi(C_5)$ , যেখানে একটি 5 টি একটি চক্র। হ'ল ক্ষুদ্রতম গ্রাফ st ।

C_{5}

$C_5$

C_{5}

$C_5$

G

$G$

χ_{v} (G) \neq χ (G)

$\chi_v(G) \neq \chi(G)$

— ইয়ুরি

7

আমি আমার মন্তব্য একটি উত্তর। যদি আমাদের প্রয়োজন হয় না যে একটি পূর্ণসংখ্যা হয় তবে সবচেয়ে ছোট উদাহরণটি হ'ল (5 টি একটি চক্র): $\chi_v(G)$ $G=C_5$

χ_{v} (C_{5}) = \sqrt{5} < 3 = χ (C_{5}) . [Lovász]

$\chi_v(C_5) = \sqrt{5} < 3 = \chi(C_5) . \qquad\text{[Lovász]}$

এই উদাহরণটিকে এমন উদাহরণে রূপান্তর করা কঠিন নয় যেখানে পূর্ণসংখ্যা হয়। যাক দুই 5-চক্র ইউনিয়ন হতে এবং যা থেকে যে প্রান্তবিন্দু মধ্যে প্রতিটি প্রান্তবিন্দু সাথে সংযুক্ত করা হয় । আসুন । শেষ , কে এবং এর মিলন হতে দিন । তারপরে $\chi_v(G)$ $G_1$ $C_5^{(1)}$ $C_5^{(2)}$ $C_5^{(1)}$ $C_5^{(2)}$ $G_2=K_5$ $G$ $G_1$ $G_2$

\begin{aligned} χ (G) & = max (χ (G_{1}), χ (G_{2})) = χ (G_{1}) = 6. \\ χ_{v} (G) & = max (χ_{v} (G_{1}), χ_{v} (G_{2})) = max (2 \cdot \sqrt{5}, 5) = 5. \end{aligned}

$\begin{align*} \chi(G) &= \max(\chi(G_1), \chi(G_2)) = \chi(G_1) = 6.\\ \chi_v(G) &= \max(\chi_v(G_1), \chi_v(G_2)) = \max(2\cdot \sqrt{5}, 5) = 5. \end{align*}$

— ইউরি
সূত্র

3

এখানে এটি ইউনিট গোলকের গ্রাটজস্ক গ্রাফের এম্বেডিং: এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন এটি সুস্পষ্ট উপায়ে রঙ করা কোনও ভেক্টরের সাথে মিল ; উদাহরণস্বরূপ, উত্তর মেরুতে ভার্টেক্সটি ভেক্টর (0,0,1) দিয়ে বর্ণযুক্ত।

গ্রাটশ গ্রাফে 3 ধরণের নোড রয়েছে। একটি একক ডিগ্রি 5 নোড (উত্তরে) পাঁচ ডিগ্রি 4 নোড (উত্তর গোলার্ধে, N এর সমতুল্য, আপনি এর মধ্যে 3 টি তৈরি করতে পারেন)। পাঁচ ডিগ্রি 3 নোড (দক্ষিণ গোলার্ধে, এন এর সমতুল্য, আপনি এর মধ্যে 3 টি তৈরি করতে পারেন)।

এন সবুজ প্রান্তের সাথে দক্ষিণ গোলার্ধে এর পাঁচটি প্রতিবেশীর সাথে সংযুক্ত। (নোট করুন যে সবুজ প্রান্তটি দেখে মনে হচ্ছে এটি উত্তর গোলার্ধের 4 ডিগ্রি ডিগ্রি তে ঘটনা, তবে এটি এমবেডিংয়ের একটি প্রত্নতত্ত্ব act)

শীর্ষ থেকে দেখা যায়, আপনি সমতলে এমবেডিংয়ের অনুরূপ 4 ডিগ্রি নোড দ্বারা বর্ণিত পেন্টাগ্রামটি তৈরি করতে পারেন : $C_5$ এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন

অবশেষে, দক্ষিণ মেরুর উপরের থেকে একটি দৃশ্য: এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন

যদি আমার গণনাগুলি বিশ্বাস করা যায়, তবে সমস্ত প্রতিবেশী শিখরগুলি একে অপরের থেকে 120 ডিগ্রির বেশি হয়, সুতরাং এটি একটি বৈধ ভেক্টর 3-কালারিং গঠন করে। গ্রাটস্ক গ্রাফটি 4-ক্রোম্যাটিক। 11 টি শীর্ষ, 20 প্রান্ত। আমি এই উদাহরণটি সম্পর্কে বিশেষত খুশি কারণ ভেক্টর রঙ 3 মাত্রায় রয়েছে, আপনি এটি কল্পনা করতে পারেন। (এবং কেএমএস গ্রাফ কালারিং অ্যালগরিদমকে ব্যাখ্যা করতে এলোমেলো হাইপারপ্লেনগুলি আঁকুন))

— থোর হসফেল্ট
সূত্র