কারটিশিয়ান বন্ধ বিভাগে তীর এবং ঘনিষ্টর বস্তুর মধ্যে পার্থক্য কী?

একটি কার্টিজিয়ান বন্ধ শ্রেণী ( সিসিসি ), সেখানে তথাকথিত অস্তিত্ব সূচকীয় বস্তু , লিখিত । একটি সিসিসি মডেল হিসাবে বিবেচনা করা হয় যখন কেবল টাইপ -calculus মত একটি সূচকীয় বস্তুর ধরণ থেকে ফাংশন স্থান চরিত্রকে টাইপ । ত্রি বলে একটি তীর দ্বারা একটি সূচকীয় পদার্থ প্রবর্তন করা হয় এবং নামক একটি তীর দ্বারা নির্মূল করা হয় (যা দুর্ভাগ্যক্রমে) বলা হয় $B^A$ $\lambda$ $B^A$ $A$ $B$ $curry : (A \times B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow C^B)$ $apply : C^B \times B \rightarrow C$ $eval$ বিভাগ তত্ত্ব উপর বেশিরভাগ গ্রন্থে)। আমার প্রশ্নগুলি এখানে: ঘনিষ্ঠ বস্তু এবং তীর মধ্যে কোনও পার্থক্য রয়েছে ? $C^B$ $B \rightarrow C$

type-theory lambda-calculus ct.category-theory

— দিন
সূত্র

একটি বিভাগে এটি সূচকীয় বস্তু , তবে টাইপ তত্ত্বের ক্ষেত্রে এটি সূচকীয় ধরণের বলা যেতে পারে ।

— আন্দ্রেজ বাউর

এটি কোনও গবেষণা স্তরের প্রশ্ন নয়। সিএস-এক্সচেঞ্জ এ চলেছেন?

— Andrea Asperti

একটি অভ্যন্তরীণ এবং অন্যটি বাহ্যিক ।

একটি বিভাগ objects অবজেক্ট এবং মোর্ফিজম নিয়ে গঠিত। যখন আমরা লিখি তখন আমাদের অর্থ হ'ল একটি বস্তু থেকে অবজেক্ট অবধি একটি রূপচর্চা । আমরা থেকে সব morphisms সংগ্রহ করতে পারে থেকে একটি মধ্যে morphisms সেট , "Hom সেট" বলা। এই সেট হয় না একটি অবজেক্ট , বরং সেট বিষয়শ্রেণীতে একটি বস্তু। $\mathcal{C}$ $f : A \to B$ $f$ $A$ $B$ $A$ $B$ $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)$ $\mathcal{C}$

বিপরীতভাবে, একটি সূচকীয় মধ্যে একটি বস্তুর হয় । এটি " how" এর হোম-সেটগুলি কীভাবে চিন্তা করে "। সুতরাং, অবশ্যই structure এর অবজেক্টগুলির যে কোনও কাঠামোর সাথে সজ্জিত হতে হবে । $B^A$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$ $B^A$ $\mathcal{C}$

উদাহরণ হিসাবে, আসুন আমরা টপোলজিকাল স্পেসগুলির বিভাগটি বিবেচনা করি। তারপরে থেকে শুরু করে পর্যন্ত একটি অবিচ্ছিন্ন মানচিত্র এবং এই ধরণের সমস্ত অবিচ্ছিন্ন মানচিত্রের সেট। তবে , এটি উপস্থিত থাকলে এটি একটি টপোলজিকাল স্পেস! আপনি প্রমাণ করতে পারেন যে পয়েন্ট থেকে একটানা মানচিত্র (সঙ্গে bijective চিঠিপত্রে) থেকে । প্রকৃতপক্ষে, এটি সাধারণভাবে ধারণ করে: মরফিজমগুলি (যা " এর বৈশ্বিক বিন্দু ") আকারের সাথে দ্বিপাক্ষিক যোগাযোগের কারণ, কারণ $f : X \to Y$ $X$ $Y$ $\mathrm{Hom}_{\mathsf{Top}}(X,Y)$ $Y^X$ $Y^X$ $X$ $Y$ $1 \to B^A$ $B^A$ $A \to B$

H o m (1, B^{A}) ≅ H o m (1 \times A, B) ≅ H o m (A, B) .

$\mathrm{Hom}(1, B^A) \cong \mathrm{Hom}(1 \times A, B) \cong \mathrm{Hom}(A, B).$

কখনও কখনও আমরা লেখার বিষয়ে ঝাপটায় পাই $B^A$ বিপরীতে । বস্তুত, প্রায়ই এই দুটি প্রতিশব্দের ও বোঝার মত যে "উহু উপায় এখানে আমি অন্য স্বরলিপি বোঝানো দ্বারা, তাই এই উপায়ে অর্থ হতে পারে থেকে একটি morphism হয় থেকে ।" উদাহরণস্বরূপ, আপনি যখন কার্বিং মোর্ফিজম লিখেছিলেন আপনার সত্যিকার অর্থে লিখিত থাকা উচিত $A \to B$ $f : A \to B$ $f$ $A$ $B$

curry : (A \times B \to C) \to (A \to C^{B})

$\textit{curry}: (A \times B \to C) \to (A \to C^B)$

সুতরাং আমরা এখানে বিভ্রান্ত হওয়ার জন্য কাউকে সত্যিই দোষ দিতে পারি না। অভ্যন্তরীণ

অভ্যন্তরীণ অর্থে ব্যবহৃত হয়, এবং বাইরের বাহ্যিক ক্ষেত্রে।

curry : C^{A \times B} \to {(C^{B})}^{A} .

$\textit{curry}: C^{A \times B} \to {(C^B)}^A.$

\to

$\to$

যদি আমরা কেবল টাইপ করা -ক্যালকুলাসে কাজ করি তবে সবকিছুই অভ্যন্তরীণ, তাই বলার জন্য। আমাদের কাছে টাইপিংয়ের একটি মৌলিক রায় আছে " টাইপ ", হিসাবে লেখা হয় । কারণ এখানে একটি প্রকার, এবং প্রকারগুলি অবজেক্টগুলির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, তবে আমাদের স্পষ্টতই অভ্যন্তরীণ অর্থে কোনও ক্ষতিকারক এবং তীরকে আটকে রাখতে হবে । আমি তখন, যদি আমরা বুঝতে একটি টাইপিং রায় যেমন -calculus, সব $\lambda$ $t$ $B$ $t : B$ $B$ $B$

curry : (A \times B \to C) \to (A \to C^{B})

$\textit{curry}: (A \times B \to C) \to (A \to C^B)$

λ

$\lambda$ তীরগুলি অভ্যন্তরীণ, সুতরাং এটি

হিসাবে একই

আমি আশা করি এতক্ষণে এটি স্পষ্ট হয়ে গেছে যে লোকেরা

এবং

প্রতিশব্দ হিসাবে ব্যবহার করে ।

curry : ((C^{B})^{A})^{C^{A \times B}} .

$\textit{curry}: ((C^B)^A)^{C^{A \times B}}.$

B^{A}

$B^A$

A \to B

$A \to B$

— আন্দ্রেজ বাউয়ার
সূত্র

দুর্দান্ত উত্তরটির জন্য ধন্যবাদ, পুরোপুরি রহস্যটি দূর করে দিন।

— দিন

প্রকৃতপক্ষে! দুর্দান্ত ব্যাখ্যা!

— উদয় রেড্ডি

তাহলে কোনটি অভ্যন্তরীণ এবং কোনটি বাহ্যিক?

— সিএমসিডিগ্রাগনকাই