একটি সাবফ্যামিলি দিয়ে হিট সেট

Question

আসুন একটি সীমাবদ্ধ মহাবিশ্ব এর এলিমেন্ট সাবসেটের একটি পরিবার হোক । একটা পরিবার এর এর -element সাব-সেট নির্বাচন , সঙ্গে , একটি হয় - আঘাত-সেট এর প্রত্যেকের জন্য যদি অস্তিত্ব আছে অন্তত এক সেট যেমন যে ।$F$$d$$U$$H$$k$$U$$1 \le k < d$$(k,d)$$F$$V \in F$$W \in H$$W \subset V$

উপরের মত একটি সংগ্রহ দেওয়া , - হিটিং-সেট সমস্যা হ'ল জন্য একটি ক্ষুদ্রতম -হিটিং-সেট ।$F$$(k,d)$$(k,d)$$H$$F$

যখন আমাদের স্ট্যান্ডার্ড হিটিং-সেট সমস্যা আছে এবং এর জন্য পূর্ববর্তী প্রচুর ফলাফল রয়েছে। আমি এবং ( উদাহরণস্বরূপ ব্র্যাঙ্কোভিক এবং ফার্নাউ দেখুন ) এর ক্ষেত্রে প্যারামিটারাইজড বিশ্লেষণগুলি জানি ।$k = 1$$k = 1$$d \le 3$

জটিলতা বা -হিটিং-সেট সমস্যাটির সংকীর্ণতার কঠোরতা সম্পর্কিত কোনও ফলাফল কি কেউ জানেন :$(k,d)$

1. $k = 1$ এবং ?$d = 4$
2. $d = 4$ এবং ?$1 < k < d$
3. $1 \le k < d$ এবং নির্বিচারে?$d$

Answer 1

একটি ধ্রুবক জন্য $d$ দ্য $(k,d)$-হিটিং সেট সমস্যাটি আসলটির চেয়ে শক্ত নয় $d$হিট সেট (যেমন $k=1$) আনুমানিকতা এবং প্যারামাইট্রাইজড জটিলতা উভয় বিবেচনায়। থেকে একটি সহজ হ্রাস আছে$kd$-এইচএস থেকে $d$-HS। একটি উদাহরণ জন্য$(U,\mathcal{F},d,k)$ প্রথম সমস্যার একটি উদাহরণ আমরা পাই $(U',\mathcal{F'},d)$ দ্বিতীয়টি যার প্রতিটি উপাদান $e \in U'$ এর সাথে সম্পর্কিত $k$-সামেন্ট সাবলেট $U$, এবং প্রতিটি সেট $\mathcal{F'}$ একটি সেট অনুরূপ $\mathcal{F}$ একইভাবে (অর্থাত্ সমস্ত ম্যাপিং) $k$-সামেন্ট সাবলেট $U$ উপাদানগুলিতে $U'$)। থেকে$k$ নতুন উদাহরণের আকারটি একটি ধ্রুবক হ'ল প্রথম উদাহরণের আকারের একটি বহুপদী ফাংশন ($O(n^k)$)। প্রথম সমস্যার জন্য একটি হিটিং সেট দ্বিতীয় সমস্যার জন্য একই কার্ডিনালিটির একটি হিটিং সেটটির সাথে সামঞ্জস্য করে এবং বিপরীতভাবে, তাই হ্রাসটি প্রায় সংরক্ষণ করা হয়।