দ্রুত বিস্তৃত গাছগুলির সংখ্যা গণনা করুন

যাক $t(G)$ একটি গ্রাফে spanning গাছের সংখ্যা বোঝাতে $G$ সঙ্গে $n$ ছেদচিহ্ন। একটা অ্যালগরিদম যে নির্ণয় $t(G)$ মধ্যে $O(n^3)$ গাণিতিক অপারেশন। এই অ্যালগরিদমটি হ'ল গণনা $\frac{1}{n^2} \det(J + Q)$ , যেখানে $Q$ হলএর Laplacian $G$ এবং $J$ হ'ল ম্যাট্রিক্স সম্পূর্ণ $1$ এরসমষ্টি নিয়ে গঠিত। এই অ্যালগরিদমের আরও তথ্যের জন্যবিগস - বীজগণিত গ্রাফিক তত্ত্ববাএই গণিত এসইপ্রশ্নটি দেখুন।

আমি অবাক হই যে $t(G)$ দ্রুত গননা করার কোনও উপায় আছে কিনা । (হ্যাঁ, কম্পিউটিং নির্ধারকের জন্য $O(n^3)$ অ্যালগরিদমগুলির চেয়ে দ্রুত আছে তবে আমি কিছু নতুন পদ্ধতির প্রতি আগ্রহী))

এটি গ্রাফের বিশেষ পরিবারগুলি বিবেচনা করতে আগ্রহী (পরিকল্পনাকারী, সম্ভবত?)।

উদাহরণস্বরূপ, circulant গ্রাফ জন্য, $t(G)$ মধ্যে নির্ণিত করা যেতে পারে $O(n \lg n)$ পরিচয় মাধ্যমে গাণিতিক অপারেশন $t(G) = \frac{1}{n} \lambda_1 \dotsm \lambda_{n-1}$ , যেখানে $\lambda_i$ ল্যাপ্লাসিয়ান ম্যাট্রিক্সের এর ননজারো $G$ , যা সার্কুল্যান্ট গ্রাফগুলির জন্য দ্রুত গণনা করা যায়। (প্রথম সারিকে বহুপদী হিসাবে উপস্থাপন করুন এবং তারপরে এটি unityক্যের $n$ তম শিকড়গুলিতে গণনা করুন - এই পদক্ষেপটি ডিস্ক্রিট ফিউরিয়ার রূপান্তর ব্যবহার করে এবং $O(n \lg n)$ পাটিগণিত ক্রিয়াকলাপে করা যেতে পারে ))

আপনাকে অনেক ধন্যবাদ!

— Finsky
সূত্র

সের্গেই, আমি আপনার প্রশ্নটি পরিষ্কার করার জন্য সম্পাদনা করার চেষ্টা করেছি। দয়া করে পরীক্ষা করুন যে আমি আপনার প্রশ্নটি সঠিকভাবে বুঝতে পেরেছি এবং কোনও ত্রুটি পরিচয় করিয়ে দিই নি।

— টাইসন উইলিয়ামস 21

জন্য abelian গ্রুপ Cayley গ্রাফ: এখানে গ্রাফ পরিবার যেখানে খোঁজার জটিলতা দ্রুত সম্পন্ন করা যেতে পারে আরও একটি সাধারণ উদাহরণ

G

$G$ জেনারেটর সেট সঙ্গে

S

$S$ , যেমন যে

S^{- 1} = S

$S^{-1} = S$ । আমরা জানি যে এ জাতীয় ম্যাট্রিক্সের ইগেনভ্যালুগুলি

\sum_{h \in S} χ (h)

$\sum_{h \in S} \chi (h)$ ,, যেখানে

χ

$\chi$ গ্রুপের বিভিন্ন চরিত্র। সমস্ত অক্ষর সন্ধান করা সহজ (আরও তথ্যের জন্য এই কাগজটির সাথে পরামর্শ করুন ) এই অক্ষরগুলি গণনা করা হচ্ছে

n

$n$ ডাইমেনশনাল এফএফটি (এফএফটি-তে Cormen এট অধ্যায় দেখুন), অর্থাৎ

করা যেতে পারে

O (n \lg n)

$O(n \lg n)$ ।

— ফিনস্কি

কেলে গ্রাফ সম্পর্কিত আরও তথ্যের জন্য এই বইটি দেখুন ।

— ফিনস্কি

সাধারণ ম্যাট্রিক্সের চেয়ে ল্যাপ্লেসিয়ার সাথে লিনিয়ার বীজগণিত করা প্রায়শই সহজ is আমি প্রাসঙ্গিক হতে পারে যদি এটি প্রাসঙ্গিক হতে পারে।

— গিল কালাই

আপনি কী দয়া করে আরও সুনির্দিষ্ট হতে পারেন, যদি সম্ভব হয় তবে কিছু উদাহরণ প্রদান করতে পারেন, এমনকি যদি এটি আলোচনার সাথে বিষয়ের সাথে সরাসরি সম্পর্কিত না হয়। ধন্যবাদ.

— ফিনস্কি

এটি জানা যায় যে বেঁধে দেওয়া গাছপালার এর জন্য টুট্টার বহুপদী পাটিগণিত ক্রিয়াকলাপগুলি ব্যবহার করে যে কোনও এ মূল্যায়ন করা যেতে পারে । যদি সংযুক্ত থাকে তবে । $G$ $T(G;x,y)$ $(x,y)$ $O(n)$ $G$ $t(G)=T(G;1,1)$

— রাদু কার্টিকাপেন
সূত্র