স্যাম্পলিংয়ের জটিলতা (প্রায়) বুলিয়ান ফাংশনের ফুরিয়ার রূপান্তর

Question

কোয়ান্টাম কম্পিউটারগুলি করতে পারে এমন একটি জিনিস (সম্ভবত এমনকি বিপিপি + লগ-গভীরতার কোয়ান্টাম সার্কিট সহ) বুলিয়ানটির ফুরিয়ার রূপান্তর আনুমানিক-নমুনা করা পি মধ্যে -valued ফাংশন$\pm 1$

এখানে এবং নীচে যখন আমি ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের নমুনা নেওয়ার কথা বলি তখন । (প্রয়োজনে প্রায় এবং প্রায় সাধারণ হয়)।$|\hat f(x)|^2$

আমরা কি জটিলতার ক্লাসটি বর্ণনা করতে পারি, যেটিকে আমরা পি-ফোরিয়ার স্যাম্পলিং, পি এর আনুমানিক নমুনা বুলিয়ান ফাংশন বলতে পারি? এই শ্রেণীর জন্য সম্পূর্ণ যা সমস্যা আছে?

বুলিয়ান ফাংশনগুলির একাদশ শ্রেণি দেওয়া যা গণনা সংক্রান্ত জটিলতা সম্পর্কে বলা যেতে পারে, যা আমরা এক্সের ফাংশনগুলির ফুরিয়ার রূপান্তরকে স্যাম্পলিংয়ের স্যাম্পলিং-এক্স হিসাবে উল্লেখ করতে পারি ((আমি মনে করি যে এক্স যদি বিকিউপি হয় তবে এক্স-স্যাম্পলিংগ হয়) এখনও কোয়ান্টাম কম্পিউটারের ক্ষমতার মধ্যে)

এক্স-এর উদাহরণ কী কী যেখানে স্যাম্পলিং-এক্স পি-তে রয়েছে? আকর্ষণীয় উদাহরণ রয়েছে যেখানে স্যাম্পলিং-এক্স এনপি-হার্ড?

এই সমস্যার বেশ কয়েকটি রূপ রয়েছে যা আকর্ষণীয়ও হতে পারে। ফুরিয়ার সাইডে, আনুমানিক-নমুনার পরিবর্তে আমরা আনুমানিক নমুনা দ্বারা সক্ষম কোনও সিদ্ধান্ত সমস্যার (সম্ভাব্যতাগতভাবে) বিষয়ে কথা বলতে পারি। প্রাথমিক দিকে, আমরা সম্ভাব্যতা বিতরণের দশম শ্রেণি দিয়ে শুরু করতে পারি এবং এক্স এর মধ্যে ডি ডিস্ট্রিবিউশন ডি নমুনার প্রায় এবং প্রায় (নমুনাযুক্ত) ফুরিয়ার রূপান্তরকে নমুনা দেওয়ার ক্ষমতাটির মধ্যে কী সম্পর্ক রয়েছে তা জিজ্ঞাসা করতে পারি।

সংক্ষেপে, এই প্রশ্নটি সম্পর্কে কী জানা যায়।

আপডেট: মার্টিন শোয়ার্জ উল্লেখ করেছেন যে সমস্ত ফিউরিয়ার সহগগুলি যদি কেবলমাত্র বহু সংখ্যক এন্ট্রিগুলিতে কেন্দ্রীভূত হয় তবে বিপিপিতে এই বৃহত সহগগুলি আনুমানিকভাবে সম্ভব (এবং এইভাবে প্রায় নমুনাতেও পাওয়া যায়) এটি গোল্ডরিচ-লেভিনে ফিরে যায়, এবং কুশিলিভিটস-মনসুর ফিউরির সাইডকে প্রায় নমুনা দেওয়ার জন্য সম্ভাব্য বহুবর্ষীয় অ্যালগরিদম রয়েছে এমন ফাংশনগুলির কি আকর্ষণীয় শ্রেণি রয়েছে, যেখানে ফুরিয়ার সহগগুলি বহুগুণে বহু সহগের চেয়ে বেশি ছড়িয়ে পড়ে?

পরে যুক্ত করা হয়েছে: কয়েকটি কংক্রিট সমস্যা উল্লেখ করি।

1) পি তে বুলিয়ান ফাংশনগুলির ফুরিয়ার রূপান্তরকে সুনির্দিষ্ট করে তোলা কতটা কঠিন?

ক) স্কট অ্যারনসন নীচে একটি মন্তব্যে উল্লেখ করেছেন এমন একটি প্রশ্ন হ'ল এটি বিপিপিতে নেই। বা লাইন ধরে দুর্বল কিছু যে এই কাজটি যদি বিপিপিতে হয় তবে কিছুটা ধস নামছে। (স্কট অনুমান যে এই ক্ষেত্রে।)

খ) আরেকটি প্রশ্ন দেখাতে হবে যে কিছু কোয়ান্টাম-ভিত্তিক জটিলতা শ্রেণীর ক্ষেত্রে এই কাজটি শক্ত। উদাহরণস্বরূপ, আপনি এই কাজটি সম্পাদন করতে পারলে আপনি লগ-গভীরতার কোয়ান্টাম কম্পিউটারগুলির সাহায্যে বা বিপিপির সাহায্যে সিদ্ধান্তের সমস্যার সমাধান করতে পারেন show

২) বুলিয়ান ফাংশনগুলির শ্রেণিগুলি কী কী যা প্রায় চারটি রূপান্তরকারীকে তাদের নমুনা তৈরি করা হয় পি। যা আমরা জানি যা হ'ল ফুরিয়ার সহগগুলি বহুগুণে বহুগুণে মনোনিবেশ করা হয় তবে এটি খুব সীমাবদ্ধ বলে মনে হয়।

3) পিএইচ-তে কিছু জটিল শ্রেণি শ্রেণি রয়েছে যে কোনও এক্স-মেশিন প্রায় প্রতিটি এক্স-মেশিন গুণতে পারে এমন প্রতিটি ফাংশনের ফুরিয়ার রূপান্তরকে নমুনা করতে পারে।

৪) আমি হেক্সাগোনাল গ্রিডে এন দ্বারা পারকোলেশনের জন্য ক্রসিং ইভেন্টটির ফুরিয়ার রূপান্তরকে নমুনা দেওয়ার সমস্যায় বিশেষভাবে আগ্রহী ছিলাম।

Comments

গিল, যদি এটি আপনার আগ্রহের বিষয় হয়: অ্যালেক্স আরকিপাভ এবং আমি বোসনস্যাম্পলিংয়ের উপর কাজ শুরু করার আগে, "মূল" জিনিসটি আমি প্রমাণ করতে চেয়েছিলাম সেটি হল আনুমানিক ফুরিয়ার স্যাম্পলিং সমস্যা - যেমন, আপনি যে সমস্যাটি বর্ণনা করেছেন - ঠিক তা নয় বহুবৃত্তীয় শ্রেণিবিন্যাসের পতন না হওয়া পর্যন্ত বিপিপিতে। দুর্ভাগ্যক্রমে, আমি এটি প্রমাণ করতে বা এমনকি তার পক্ষে ভাল প্রমাণ পেতে সক্ষম হয়ে উঠিনি, যা আমাদেরকে বোসনগুলির দিকে মনোনিবেশ করতে এবং "দৃ #়ভাবে # পি-সম্পূর্ণ" স্থায়ী করতে প্ররোচিত করেছিল। যাইহোক, আমি এখন আমার অনুমানটি পুনরায় বলতে চাই যে আনুমানিক ফুরিয়ার স্যাম্পলিং শক্ত, কেবল এই ধারণা করে যে পিএইচ অসীম। :-)

— স্কট অ্যারনসন

ধন্যবাদ, স্কট, এটি খুব আকর্ষণীয়। আমি প্রশ্নের পরবর্তী সম্পাদনায় কয়েকজনকে সাথে আপনার অনুমানের উল্লেখ করব।

— গিল কালাই

বিটিডাব্লু, স্কট, স্থায়ীদের মাধ্যমে তর্ক নয় যা দেখায় যে বিপিপিতে বোসনসম্পলিং পিএইচ এর পতন বোঝায় ফুরিয়ার নমুনা জন্যও কাজ করে?

— গিল কালাই

গিল: হ্যাঁ, সঠিক নমুনা অ্যালগরিদমগুলির জন্য, ঠিক একই যুক্তিটি অতিক্রম করে। তবে আনুমানিক স্যাম্পলিং অ্যালগরিদমগুলির জন্য, আমি নিশ্চিত নই: একজনকে বিশ্বাস করা দরকার যে ফুরিয়ার সহগের আনুমানিক গণনা # পি-সম্পূর্ণ হওয়া উচিত ঠিক ঠিক যেমন অর্কিপভ এবং আমি অনুমান করেছিলেন যে একটি আইড গাউসীয় ম্যাট্রিক্সের স্থায়ীত্বের কাছাকাছি হওয়া উচিত # গড়ে পি-সম্পূর্ণ।

— স্কট অ্যারনসন

Answer 1

Kushilevitz-মনসুর , তত্ত্ব প্রতিষ্ঠা শেখার আলগোরিদিম যে যখনই চ ( এক্স ) প্রায় বিক্ষিপ্ত, অর্থাত্ শুধুমাত্র আছে হে ( পি ণ ঠ Y ( এন ) ) -many বৃহৎ ফুরিয়ার পরম মান কোফিসিয়েন্টস Ω ( 1 / পি ণ ঠ Y ( এন ) ) , তাহলে আমরা তাদের অবস্থানে খুঁজে পেতে এবং তাদের জটিল মান অনুমান করতে পারে বি পি পি । অবশ্যই আপনি সেই তালিকা থেকে দক্ষতার সাথে নমুনাও নিতে পারেন। সম্পর্ন নিভূল হতে পারে,$\hat{f}(x)$$O(poly(n))$$\Omega(1/poly(n))$$\sf{BPP}$Kushilevitz-মনসুর শুধুমাত্র উপর ফুরিয়ার রূপান্তর কথা বলেছেন সাধারণ সসীম Abelian গ্রুপ উপর FTS, কিন্তু সাধারণীকরণ (যেমন দেখুন Akavia থিসিস ) বলা হয়।$\mathbb{Z}_2$

কোয়ান্টাম কম্পিউটিংয়ের ক্ষেত্রে এটি প্রয়োগ হিসাবে, কেউ দেখিয়ে দিতে পারেন যে হডামারড-টফোলি-হাদামারদ গেটের ব্লকগুলিতে কাঠামোযুক্ত কোয়ান্টাম সার্কিটগুলির আউটপুট অবস্থা দক্ষতার সাথে প্রায় প্রতিশ্রুতি দেওয়া যেতে পারে যে গণনার ভিত্তিতে লেখা আউটপুট রাজ্যটি প্রায় বিচ্ছিন্ন হয় (দেখুন দেখুন) আমার কিউআইপি'2010 পোস্টার এখানে এবং প্রাক-মুদ্রণ এখানে )। যদি স্পারসিটি অনুমানটি বাদ দেওয়া হয় তবে আমরা সাইমনের অ্যালগরিদম (বা শোরস) সিমুলেটের সমস্যার জন্য কোয়েরিটিকে নীচের দিকে আবদ্ধ করে তুলতে পারি, যা ঠিক সেই কাঠামোরই হয় $\Omega(2^{n/2})$

Comments

ধন্যবাদ, মার্টিন! আমার ধারণা, এটি AC ^ 0 ফাংশনের এমনকি ফুরিয়েট রূপান্তর থেকে নমুনা করা কতটা শক্ত তা জানা নেই? (গভীরতা -২ এর ক্ষেত্রে মনসুরের একটি অনুমান দৃ as়ভাবে জানিয়েছে যে এটি বহুবর্ষীয় (এলোমেলোভাবে))

— গিল কালাই