তাত্ত্বিক সিএস কখন স্বজ্ঞাত প্রমাণের বিষয়ে যত্নশীল হয়?

Question

আমি যা বুঝি (যা খুব অল্প, তাই দয়া করে যেখানে আমি ভুল করছি আমাকে সংশোধন করুন!), প্রোগ্রামিং ভাষার তত্ত্বটি প্রায়শই "স্বজ্ঞাত" প্রমাণগুলির সাথে সম্পর্কিত concerned আমার নিজস্ব ব্যাখ্যায়, পদ্ধতির জন্য আমাদের যুক্তি এবং সম্ভাব্যতার উপর গণনার ফলাফলগুলি গুরুত্ব সহকারে নেওয়া উচিত । অনুমানগুলি থেকে পরিণতিগুলি তৈরির জন্য অ্যালগরিদম না থাকলে প্রমাণ উপস্থিত থাকতে পারে না । উদাহরণস্বরূপ, আমরা বাদ পড়া মাঝের নীতিটি একটি অ محীম হিসাবে প্রত্যাখ্যান করতে পারি, কারণ এটি কোনও অবজেক্টকে প্রদর্শন করে, যা হয় বা ¬ এক্স , বিনা কাঠামোগত।$X$$\lnot X$

উপরের দর্শন আমাদের অজ্ঞানগুলির চেয়ে স্বজ্ঞাততাবাদী বৈধ প্রমাণকে পছন্দ করতে পারে। তবে, তাত্ত্বিক সিএসের অন্যান্য ক্ষেত্রে কাগজগুলিতে প্রকৃতপক্ষে স্বজ্ঞাত যুক্তি ব্যবহার সম্পর্কে আমি কোনও উদ্বেগ দেখিনি। আমরা শাস্ত্রীয় যুক্তি ব্যবহার করে আমাদের ফলাফল প্রমাণ করতে পেরে খুশি বলে মনে করি। উদাহরণস্বরূপ, কেউ একটি অ্যালগরিদম সঠিক কিনা তা প্রমাণ করার জন্য বাদ দেওয়া মাঝের নীতিটি ব্যবহার করে কল্পনা করতে পারেন। অন্য কথায়, আমরা আমাদের ফলাফলগুলিতে গণনামূলকভাবে সীমাবদ্ধ মহাবিশ্ব সম্পর্কে গুরুত্ব সহকারে যত্ন নিই এবং এই ফলাফলগুলির প্রমাণ হিসাবে আমাদের অগত্যা নয়।

১. তাত্ত্বিক সিএসের গবেষকরা কি স্বজ্ঞাতপক্ষে বৈধ প্রমাণগুলি লেখার বিষয়ে উদ্বিগ্ন? আমি সহজেই তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞানের এমন একটি সাবফিল্ড কল্পনা করতে পারি যা বুঝতে চেষ্টা করে যে কখন টিসিএস ফলাফল, বিশেষত অ্যালগরিদমিক বিষয়গুলি অন্তর্নিজ্ঞাত যুক্তি ধরে রাখে (বা আরও আকর্ষণীয়ভাবে, যখন তারা না দেয়)। তবে আমি এখনও কাউকে দেখতে পাচ্ছি না।

২. তাদের উচিত এমন কোন দার্শনিক যুক্তি রয়েছে কি? দেখে মনে হচ্ছে যেন কেউ দাবি করতে পারে যে কম্পিউটার সায়েন্সের ফলাফলগুলি সম্ভব হলে স্বজ্ঞাতভাবে প্রমাণিত হওয়া উচিত এবং আমাদের ফলাফলগুলি যেমন পিইএম প্রয়োজন তা জানা উচিত । কেউ কি এ জাতীয় যুক্তি দেওয়ার চেষ্টা করেছেন? অথবা সম্ভবত একটি isক্যমত্য আছে যে এই প্রশ্নটি খুব গুরুত্বপূর্ণ নয়?

৩. একটি পার্শ্ব প্রশ্ন হিসাবে, আমি আসলে এই ক্ষেত্রে গুরুত্বপূর্ণ যেখানেগুলির উদাহরণগুলি জানতে আগ্রহী: এখানে কি টিসিএসের গুরুত্বপূর্ণ ফলাফলগুলি শাস্ত্রীয় যুক্তি ধারণ করার জন্য পরিচিত তবে স্বজ্ঞাত যুক্তিতে নয়? বা স্বজ্ঞাত যুক্তি না ধরে সন্দেহ করা হচ্ছে।

প্রশ্নের স্নিগ্ধতার জন্য ক্ষমা চাই! এটির জন্য বিশেষজ্ঞদের কাছ থেকে শুনার পরে পুনরায় রেকর্ডিং বা পুনরায় ব্যাখ্যা প্রয়োজন হতে পারে।

Comments

এই প্রশ্নের একটি দিক গবেষণা করা হয়েছে 'মৃত্যুর দিকে'। Intuitionistic প্রমাণের প্রোগ্রামের মধ্যে সংযোগের জন্য নাম কারি-হাওয়ার্ড চিঠিপত্রের । সংক্ষেপে, প্রোগ্রাম = স্বজ্ঞাত প্রমাণ, প্রকার = প্রস্তাব, দ্বিগুণ প্রত্যাখ্যান == লাফিয়ে।

— মার্টিন বার্গার

টিসিএসের একটি গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল স্বজ্ঞাত যুক্তি না রাখার জন্য পরিচিত তবে শাস্ত্রীয় যুক্তি অনুসারে: প্রতিটি প্রোগ্রাম হয় সমাপ্ত হয়, বা সময় সীমাহীন পরিমাণে চালায়। :)

— কোডি

@ মার্টিনবার্গার - হ্যাঁ, তবে আমার প্রশ্নটি অন্যভাবে বর্ণনা করার জন্য, আমরা আসলে কী যত্ন নিই যে আমাদের লেখা প্রমাণগুলি অন্তর্দৃষ্টিবিদ কিনা , বা আমরা কেবল এই জাতীয় প্রমাণগুলি বিমূর্তভাবে অধ্যয়ন করতে আগ্রহী ?

— usul

@ কোডি, ওরফে মার্কভের মূলনীতি । + usul, আমি মনে করি আপনার মনে যা আছে তা অন্তর্নিজ্ঞাত যুক্তি নয় বরং গঠনমূলক গণিত । আপনি একাই স্বজ্ঞাত যুক্তিবাদে খুব বেশি কিছু করতে পারবেন না এবং আমার কাছে মনে হয় যে আপনার অন্তর্দৃষ্টিবাদের জোর এটি গঠনমূলক গণিত থেকে আলাদা না করেই আসে।

— কাভেহ

@ ইউসুল হ্যাঁ, আমরা যত্ন নিই, কারণ কারি-হাওয়ার্ডের চিঠিপত্রের অনুসারে, স্বজ্ঞাত প্রমাণগুলি হ'ল 'দুর্দান্ত' প্রোগ্রামিং ভাষাগুলিতে প্রোগ্রাম (যেমন কোনও মজাদার নিয়ন্ত্রণের গঠন নয়), তবে সত্যিকারের শাস্ত্রীয় প্রমাণগুলি আরও জটিল ভাষায় প্রোগ্রাম programs

— মার্টিন বার্গার

Answer 1

আমি মন্তব্যগুলিতে যেমন বলেছি, স্বজ্ঞাত যুক্তি মূল বিষয় নয়। আরও গুরুত্বপূর্ণ বিষয়টি একটি গঠনমূলক প্রমাণ রয়েছে। আমি মনে করি মার্টিন-ল্যাফের টাইপ তত্ত্বটি অন্তর্নিজ্ঞাত যুক্তির চেয়ে প্রোগ্রামিং ল্যাঙ্গুয়েজ তত্ত্বের সাথে অনেক বেশি প্রাসঙ্গিক এবং এমন বিশেষজ্ঞরা আছেন যে যুক্তি দিয়েছিলেন যে মার্টিন-লফের কাজটি গঠনমূলক গণিতে সাধারণ আগ্রহের পুনরুজ্জীবনের মূল কারণ।

গঠনমূলকতার গণ্যতার ব্যাখ্যাটি একটি সম্ভাব্য দৃষ্টিকোণ, তবে এটি একমাত্র নয়। আমরা যখন কাঠামোগত প্রমাণগুলির সাথে গঠনমূলক প্রমাণগুলি তুলনা করতে চাই তখন আমাদের এখানে সাবধান হওয়া উচিত। যদিও উভয়ই একই চিহ্ন ব্যবহার করতে পারে তবে এই চিহ্নগুলির দ্বারা তারা কী বোঝায় তা ভিন্ন।

এটি সর্বদা মনে রাখা ভাল যে শাস্ত্রীয় প্রমাণগুলি অন্তর্দৃষ্টি সংক্রান্ত প্রমাণগুলিতে অনুবাদ করা যায়। অন্য কথায়, এক অর্থে ধ্রুপদী যুক্তি হ'ল স্বজ্ঞাত যুক্তির একটি উপ-সিস্টেম। সুতরাং আপনি উপলব্ধি করতে পারেন (গণনাযোগ্য ফাংশন ব্যবহার করে বলুন) এক অর্থে শাস্ত্রীয় প্রমাণগুলি। অন্যদিকে, আমরা ধ্রুপদী বিন্যাসে গাণিতিক ব্যবস্থা হিসাবে গঠনমূলক গণিতকে ভাবতে পারি।

শেষে, আনুষ্ঠানিকতা, ধ্রুপদী বা গঠনমূলক, আমাদের বক্তব্য প্রকাশের জন্য সরঞ্জাম। একটি ধ্রুপদী উপপাদ্য গ্রহণ করা এবং এই দৃষ্টিকোণ ছাড়াই এটি গঠনমূলকভাবে প্রমাণ করার চেষ্টা করা IMHO তেমন বোঝা যায় না। যখন আমি বলি ধ্রুপদী আমি গড় ভিন্ন কিছু কি থেকে আমি বলতে একজন ∨ বি গঠনমূলক আলোচনা করুন। "" "এর আসল অর্থ কী হওয়া উচিত তা নিয়ে আপনি বিতর্ক করতে পারেন $A \lor B$$A \lor B$$\lor$ " কিন্তু আমি মনে করি যে আকর্ষণীয় যদি আমরা আলোচনা নেই কি আমরা প্রথম স্থানে প্রকাশ করতে চান না। আমরা কি বোঝাতে চাইছি (অন্তত) তাদের মধ্যে একটি রয়েছে এবং আমরা জানি কোনটি? বা আমরা কেবল তাদের মধ্যে একটি ধারণ বোঝায়?

এখন, এই দৃষ্টিকোণের সাথে আমরা যদি মতো কোনও বিবৃতি প্রমাণ করতে চাই এবং আমরা এটিকে x থেকে কিছু y সন্তুষ্টকারী φ ( x , y ) এর সাথে একটি ম্যাপিংয়ের সাথে সম্পর্কিত করতে চাই তবে আরও ভাল উপায় এক্সপ্রেস গঠনমূলক উপায় হতে পারে। অন্যদিকে, আমরা যদি কেবলমাত্র y এর অস্তিত্ব সম্পর্কে চিন্তা করি এবং সেগুলি কীভাবে সন্ধান করব সে বিষয়ে যত্ন না করি তবে শাস্ত্রীয় উপায়টি সম্ভবত আরও অর্থবোধ করবে। আপনি যখন বিবৃতিটি গঠনমূলকভাবে প্রমাণ করেন, আপনি এক্স থেকে y খুঁজে বের করার জন্যও স্পষ্টভাবে একটি অ্যালগরিদম তৈরি করছেন$\forall x \ \exists y \ \varphi(x,y)$$x$$y$$\varphi(x,y)$$y$$y$$x$। আপনি আরও জটিল সূত্রের সাথে স্পষ্টভাবে একই কাজটি করতে পারেন যেমন "অ্যালগরিদম এমন সমস্ত সম্পত্তি রয়েছে যা সমস্ত x , φ ( x , A ( x ) ) এর জন্য " যেখানে $A$$x$$\varphi(x,A(x))$$A$ কে কিছু স্পষ্টভাবে দেওয়া অ্যালগরিদম। যদি এটি স্পষ্ট না হয় তবে কেন কেউ এটি প্রকাশের জন্য গঠনমূলক উপায়টিকে পছন্দ করতে পারে তবে প্রোগ্রামিং ভাষাগুলিকে সাদৃশ্য হিসাবে ভাবুন: আপনি x86 সংসদীয় ভাষায় ক্রুশকলের এমএসটি অ্যালগরিদমের জন্য একটি প্রোগ্রাম লিখতে পারেন যেখানে আপনাকে প্রচুর পার্শ্ব সমস্যাগুলির যত্ন নিতে হবে বা আপনি পাইথনে একটি প্রোগ্রাম লিখতে পারেন।

এখন আমরা অনুশীলনে স্বজ্ঞাত যুক্তি ব্যবহার করি না কেন? এর বেশ কয়েকটি কারণ রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, আমাদের বেশিরভাগ লোক সেই মাইন্ড সেটিং নিয়ে প্রশিক্ষিত হয় না। এছাড়াও কোনও বিবৃতিটির শাস্ত্রীয় প্রমাণ খুঁজে পাওয়া তার গঠনমূলক প্রমাণ খুঁজে পাওয়ার চেয়ে অনেক সহজ হতে পারে। অথবা আমরা নিম্ন-স্তরের বিশদগুলি সম্পর্কে যত্নশীল হতে পারি যা লুকানো এবং গঠনমূলক সেটিংয়ে অ্যাক্সেসযোগ্য নয় ( লিনিয়ার যুক্তিও দেখুন )। অথবা আমরা কেবল গঠনমূলক প্রমাণ সহ অতিরিক্ত জিনিসগুলি পেতে আগ্রহী হতে পারি। এবং যদিও প্রমাণগুলি থেকে প্রোগ্রামগুলি আহরণের সরঞ্জাম রয়েছে তবে এই সরঞ্জামগুলিতে সাধারণত খুব বিস্তৃত প্রমাণের প্রয়োজন হয় এবং সাধারণ তাত্ত্বিকের পক্ষে যথেষ্ট ব্যবহারকারী-বান্ধব হয়নি। সংক্ষেপে, খুব অল্প উপকারের জন্য খুব বেশি ব্যথা।

$\Pi^0_2$$PA$$PA$$PA$

আমি মনে করি যে ডগলাস এস ব্রিজ তার কম্পিউটারের তত্ত্বের বইয়ের ভূমিকাতে যুক্তি দিয়েছিলেন যে আমাদের ফলাফলগুলি গঠনমূলকভাবে প্রমাণ করা উচিত। তিনি একটি উদাহরণ দিয়েছেন যা আইআইআরসি মূলত:

ধরে নিন যে আপনি একটি বড় সফ্টওয়্যার সংস্থার জন্য কাজ করছেন এবং আপনার ম্যানেজার একটি সমস্যা সমাধানের জন্য আপনাকে একটি প্রোগ্রাম জিজ্ঞাসা করবে। দুটি প্রোগ্রাম সহ ফিরে আসা এবং আপনার ম্যানেজারকে এই দুটি দুটির মধ্যে একটিরও সঠিকভাবে সমাধানের বিষয়টি গ্রহণযোগ্য হবে তবে আমি জানি না কোনটি?

শেষ অবধি, আমাদের মনে রাখা উচিত যদিও আমরা শাস্ত্রীয় এবং স্বজ্ঞাত যুক্তিবিদ্যার জন্য একই চিহ্ন ব্যবহার করি তবে এই চিহ্নগুলির পৃথক অর্থ রয়েছে এবং যেটি ব্যবহার করতে হবে তার উপর নির্ভর করে আমরা কী প্রকাশ করতে চাই।

আপনার শেষ প্রশ্নের জন্য, আমি মনে করি রবার্টসন – সিউমোর উপপাদ্যটি একটি উপপাদকের উদাহরণ হতে পারে যা আমরা জানি এটি শ্রেণিবদ্ধভাবে সত্য তবে এর কোনও গঠনমূলক প্রমাণ আমাদের কাছে নেই। আরো দেখুন

• অ-গঠনমূলক অ্যালগরিদম অস্তিত্বের প্রমাণ আছে?

Comments

"তত্ত্ব এ" কী এবং এর অভ্যন্তরীণ প্রমাণগুলির সম্পর্কে কেন বিশেষভাবে যত্ন নেওয়া উচিত?

— স্টেলা বিডারম্যান

@StellaBiderman: blog.computationalcomplexity.org/2003/03/...

— Kaveh

Answer 2

গণনার জন্য স্বজ্ঞাত যুক্তি হ'ল এটি সম্পর্কে ভাবা মূল্যবান, কারণ প্রায়শই লোকেরা প্রযুক্তিগত বিবরণে হারিয়ে যায় এবং সমস্যার সারমর্মটি উপলব্ধি করতে ব্যর্থ হয়।

খুব সহজভাবে, শাস্ত্রীয় যুক্তি হ'ল নিখুঁত তথ্যের একটি যুক্তি: সিস্টেমের মধ্যে সমস্ত বিবৃতি নির্বিঘ্নে সত্য বা মিথ্যা হিসাবে পরিচিত বা জ্ঞাত বলে ধরে নেওয়া হয়।

অন্যদিকে স্বজ্ঞাত যুক্তিবাদে অজানা এবং অজানা সত্যের মূল্যবোধগুলির সাথে বিবৃতি দেওয়ার সুযোগ রয়েছে। এটি গণনার জন্য অপরিহার্য, যেহেতু, সাধারণ ক্ষেত্রে সমাপ্তির অগ্রহণযোগ্যতার জন্য ধন্যবাদ, কিছু বিবৃতিগুলির সত্য মূল্য কী হবে তা সর্বদা নিশ্চিত হবে না, বা সত্যের মূল্য কোনও নির্দিষ্ট বিবৃতিতে কখনই নির্ধারিত হতে পারে কিনা তা নিশ্চিত হওয়া যায় না ।

$\neg\neg P \implies P$

আমার মতে, এই "অর্থবোধক" কারণগুলি মার্শাল হতে পারে এমন অন্যান্য প্রযুক্তিগত কারণে তুলনায় স্বীকৃতির জন্য স্বজ্ঞাত যুক্তি ব্যবহারের জন্য অনেক বেশি গুরুত্বপূর্ণ অনুপ্রেরণা।

Answer 3

MD5 এবং SHA এর মতো বাস্তব-বিশ্বের ক্রিপ্টোগ্রাফিক হ্যাশ ফাংশনগুলি নিরবিচ্ছিন্ন। তেমনি, তাত্ত্বিক ক্রিপ্টোগ্রাফি থেকে কৌশলগুলি তাদের সুরক্ষা সম্পর্কে যুক্তিযুক্ত প্রয়োগ করা বেশ কঠিন করে তোলে। এর সহজ কারণ: যে কোনও কীবিহীন হ্যাশ ফাংশনের জন্য, একটি খুব ছোট প্রোগ্রাম / বিরোধী উপস্থিত রয়েছে যা হ্যাশ ফাংশনের অধীনে একটি সংঘর্ষের ফলাফল দেয়; যথা, এমন একটি প্রোগ্রামের সাথে এ জাতীয় সংঘর্ষ রয়েছে - যা অবশ্যই বিদ্যমান! - হার্ড কোডেড

ফিল রোগওয়ের কাগজটি মানুষের অজ্ঞানকে রুপান্তরিত করে : কীগুলি ছাড়াই সংঘর্ষ-প্রতিরোধী হ্যাশিং এই সমস্যাটি নিয়ে কাজ করে। এটিতে তিনি দেখিয়েছেন যে কীড হ্যাশ ফাংশনগুলির জন্য কিছু খুব মানক তাত্ত্বিক (যেমন মের্কলে-ডামগার্ড নির্মাণ ও হ্যাশ-তারপরে সাইন দৃষ্টান্ত) অপ্রয়োজনীয় হ্যাশ ফাংশনগুলিতে প্রয়োগ করে "স্বজ্ঞাত-বান্ধব" উপপাদ্য বিবৃতি দিয়ে অভিযোজিত এবং পুনরায় প্রমাণিত করা যেতে পারে।

Answer 4

কম্পিউটার সায়েন্স , 300 পিপিএসের জন্য একটি বিস্তৃত অনলাইন বই লজিকের অন্তর্দৃষ্টি যুক্তি সম্পর্কিত একটি সুন্দর অধ্যায় এখানে রয়েছে [[1] সেকেন্ড 9.5, পি 210, পি 220 এ সংক্ষিপ্তসার:

অন্তর্নিবেশবাদী যুক্তিটি গণিতের গঠনবাদী আন্দোলনের মধ্য দিয়ে উত্থিত হয়েছিল যা অ-গঠনমূলক অস্তিত্বের প্রমাণ বা বাদ পড়া মাঝের আইনের উপর ভিত্তি করে প্রত্যাখাত হয়েছিল। সম্প্রতি স্বজ্ঞাত গণিত এবং প্রোগ্রামিংয়ের মধ্যে একটি সংযোগ পর্যবেক্ষণ থেকে বেরিয়ে এসেছে যে প্রস্তাবনা এবং প্রকারগুলি (প্রোগ্রামিং অর্থে) সমতুল্য। প্রাকৃতিক ছাড়ের উপর ভিত্তি করে এই আনুষ্ঠানিক ব্যবস্থায় অ্যালগরিদম বিকাশের মধ্যে যৌক্তিক স্বরলিপিতে একটি স্পেসিফিকেশন লেখা থাকে এবং তারপরে এটিকে একটি প্রকার হিসাবে বিবেচনা করে প্রমাণ করা হয় যে এটি খালি নয়। কারণ অন্তর্নিহিত যুক্তি প্রমাণটি গঠনমূলক, যদি এটি সম্পাদন করা যায় তবে,

আরেকটি কাছাকাছি দৃষ্টিভঙ্গি টিসিএসিস্ট আন্দ্রেজ বাউরের কাছ থেকে এসেছে "গাণিতিক এবং গণনা; কম্পিউটারের জন্য গণিত" [2] রচনায় যারা মূলত "অন্তর্দৃষ্টিবাদী গণিত পদার্থবিজ্ঞানের জন্য ভাল" প্রস্তাব করেন। উপস্থাপনাটি মূলত পদার্থবিজ্ঞানের ক্ষেত্রে, তবে যারা সিএসকে দৃ tight়ভাবে পদার্থবিজ্ঞানের সাথে বিবেচনা করেন তাদের ক্ষেত্রে আদর্শটি সাধারণত টিসিএসে বহন করবে।

গণনামূলক ব্যাখ্যা। এটি কম্পিউটার বিজ্ঞানে সাধারণত উপস্থাপিত স্বজ্ঞাত যুক্তির ব্যাখ্যা। আমরা উপযুক্ত ডেটা স্ট্রাকচার দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা সমস্ত সেট দেখি a কম্পিউটার বিজ্ঞানীর পক্ষে যুক্তিসঙ্গত দৃষ্টিভঙ্গি। তারপরে কোনও বিবৃতি সত্য বলে বিবেচিত হয় যদি এর কোনও সত্যতা সাক্ষী কোনও প্রোগ্রাম (গণনা প্রমাণ) থাকে evidence

[1] কম্পিউটার সায়েন্স, রিভস এবং ক্লার্কের জন্য যুক্তি

[২] পদার্থবিজ্ঞান বাউয়ারের জন্য স্বজ্ঞাত গণিত