একটি ম্যাট্রিক্সের সাইন র‌্যাঙ্কের অনুমান করা

Question

একটি ম্যাট্রিক্স একটি চিহ্ন পদে থেকে + 1 টি, -1 এন্ট্রি অন্তত ক্রম (reals বেশি) একটি ম্যাট্রিক্স বি যা (অর্থাত, হিসাবে একই চিহ্ন প্যাটার্ন রয়েছে হল সবার জন্য )। যোগাযোগ জটিলতা এবং শেখার তত্ত্বের ক্ষেত্রে এই ধারণাটি গুরুত্বপূর্ণ।$A_{ij}B_{ij}>0$$i,j$

আমার প্রশ্নটি হ'ল: এমন কোনও পরিচিত (সুব এক্সফোনশিয়াল টাইম) অ্যালগরিদম যা ম্যাট্রিক্সের সাইন-র‌্যাঙ্কটিকে একটি ফ্যাক্টর মধ্যে আনুমানিক করে ?$o(n)$

(বর্ণালী আদর্শের নিরিখে সাইন র‌্যাঙ্কের উপরে ফোস্টারের নীচু আবদ্ধ সম্পর্কে আমি সচেতন, তবে এটি সাধারণভাবে এর চেয়ে বেশি অনুমানের অনুপাত দেয় না )$\Omega(n)$

Answer 1

আমি বিশ্বাস করি এটি একটি উন্মুক্ত প্রশ্ন।

লি এবং Schraibman মধ্যে "পড়তা পদমর্যাদার জন্য একটি পড়তা অ্যালগরিদম" শো পড়তা র্যাঙ্ক একটি বহুপদী সময় আলগোরিদিম দ্বারা একটি ধ্রুবক ফ্যাক্টর থেকে আনুমানিক করা যেতে পারে। এটা করার জন্য, তারা একটি semidefinite প্রোগ্রামিং পরিমাণ কহা পড়তা পদে, যেখানে চেয়ে 1. গ্রহণ কিছু সসীম প্যারামিটার বেশী ইনফিনিটির সীমা উৎপাদ সাইন-র্যাঙ্ক কিন্তু তাদের ফলাফলের না এই সেটিং মধ্যে কিছু দিতে।$\gamma_2^\alpha$$\alpha$$\alpha$

Answer 2

অ্যালন, মুরান এবং ইহুদায়েফের সাম্প্রতিক কাজটি একটি প্রায় অ্যালগরিদম দেয়। আসুন চিহ্ন ম্যাট্রিক্স ভিসি-মাত্রা হতে । ধারণাটি হ'ল$O(n/\log n)$$d$$S$

• সাইন প্যাটার্ন সাথে একটি দক্ষভাবে গণনাযোগ্য ম্যাট্রিক্স বিদ্যমান রয়েছে যা ;$M$$S$$\mathrm{rank}\ M = O(n^{1-1/d})$
• এর সাইন রেঙ্ক কমপক্ষে ।$S$$d$

সুতরাং অ্যালগরিদম গণনা করে এবং এর র‌্যাঙ্ক আউটপুট করে। আনুমানিক অনুপাত হ'ল , যা সর্বাধিক ।$M$$O(n^{1-1/d}/d)$$d = \Theta(\log n)$