সীমাবদ্ধ ভিসি-মাত্রায় হিট সেটের প্যারামিটারাইজড জটিলতা


37

আমি ডি-ডাইমেনশনাল হিটিং সেট সমস্যাটি যা কল করব তার প্যারামিটারাইজড জটিলতায় আগ্রহী: একটি পরিসীমা স্থান দেওয়া (যেমন একটি সেট সিস্টেম / হাইপারগ্রাফ) এস = (এক্স, আর) সর্বাধিক ডি এবং একটিতে ভিসি-ডাইমেনশন রয়েছে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার কে, এক্স কি আকারের কে এর একটি উপসেট ধারণ করে যা আর এর প্রতিটি পরিসরকে হিট করে? সমস্যার প্যারামিটারাইজড সংস্করণ কে দ্বারা পরামিতি করা হয়।

ডি এর মানগুলির জন্য ডি-ডাইমেনশনাল হিটিং সেট সমস্যা

  • এফপিটিতে?
  • ডব্লিউ [1] এ?
  • ওয়াট [1] -hard?
  • ওয়াট [2] -hard?

আমি যা জানি তা সংক্ষেপে সংক্ষেপে বলা যেতে পারে:

  • 1-মাত্রিক হিটিং সেট পিতে এবং তাই এফপিটি-তে রয়েছে। যদি এস এর মাত্রা 1 থাকে তবে এটি দেখানো কঠিন নয় যে হয় হয় আকার 2 এর একটি হিটিং সেট রয়েছে বা এস এর ঘটনা ম্যাট্রিক্স সম্পূর্ণ ভারসাম্যযুক্ত। উভয় ক্ষেত্রেই আমরা বহুপক্ষীয় সময়ে একটি সর্বনিম্ন হিট সেট খুঁজে পেতে পারি।

  • 4-মাত্রিক হিটিং সেট ডাব্লু [1] -হাতে। অক্ষ-সমান্তরাল রেখাগুলি সহ আর ^ 2 তে অক্ষ-সমান্তরাল আয়তক্ষেত্রগুলিকে ছুরিকাঘাতের সমস্যার জন্য ডম, ফেলো এবং রোসম্যান্ড [পিডিএফ] ডাব্লু [1] -রুদ্ধি প্রমাণ করেছে। ভিসি-ডাইমেনশন 4 এর ব্যাপ্তি স্থানে এটি হিটিং সেট হিসাবে তৈরি করা যেতে পারে।

  • যদি ডি তে কোনও বিধিনিষেধ না রাখা হয় তবে আমাদের কাছে স্ট্যান্ডার্ড হিটিং সেট সমস্যা রয়েছে যা ডব্লু [2] -সমম্পূর্ণ এবং এনপি-সম্পূর্ণ।

  • ল্যাঙ্গারম্যান এবং মরিন [সিটিসির লিঙ্ক] সীমিত মাত্রায় সেট কভারের জন্য এফপিটি অ্যালগরিদম দেয়, যদিও তাদের সীমাবদ্ধ মাত্রিকতা মডেল সীমাবদ্ধ ভিসি-মাত্রা দ্বারা সংজ্ঞায়িত মডেলের মতো নয়। তাদের মডেলটি অন্তর্ভুক্ত বলে মনে হয় না, উদাহরণস্বরূপ, পয়েন্টগুলির সাথে হাফস্পেসগুলি আঘাত করার সমস্যাটি যদিও তাদের মডেলের প্রোটোটাইপ সমস্যাটি পয়েন্টগুলির সাথে হাইপারপ্লেনকে আঘাত করার সমতুল্য।


4
দুর্দান্ত প্রশ্ন!
আন্দ্রেস সালামন

উত্তর:


14

আমি মনে করি এই সমস্যাটি খুব শক্ত। আমরা এই পরিবারে খুব সহজ সমস্যার উত্তর জানি না। উদাহরণস্বরূপ, সমতলে এন পয়েন্টের একটি সেট এবং (বলুন এন) ইউনিট ডিস্কের একটি সেট দেওয়া হয়েছে, ইউনিট ডিস্কের কে দ্বারা পয়েন্টগুলির কোনও কভার আছে কিনা তা স্থির করুন। এর জন্য একটি সহজ এন ^ ও (কে) সময় অ্যালগরিদম রয়েছে, এবং আমি জ্ঞাত অন্তর্দৃষ্টি ব্যবহার করে কেউ n ^ O (sqrt {k}) করতে পারি তবে অবাক হব না (তবে এটি সুস্পষ্ট নয়), তবে চ কে) * এন ^ {হে (1) open উন্মুক্ত, এবং আসলে এটি বেশ আকর্ষণীয় হবে। A (1 + eps) মোস্তফা এবং রায়ের কাজ থেকে অনুমানের অনুসরণ http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1542362.1542367

বিটিডাব্লু, অবিচ্ছিন্ন সংস্করণে যেখানে কোনও ইউনিট ডিস্কের অনুমতি রয়েছে সেখানে কেউ n ^ {O (k)} সময়ে সমস্যার সমাধান করতে পারে। এই ক্ষেত্রে একটি পিটিএএস স্থানান্তরিত গ্রিডগুলি ব্যবহার করাও বেশ সহজ।


4

আমরা এই প্রশ্নটি একটি নতুন প্রিন্টে সম্বোধন করেছি: http://arxiv.org/abs/1512.00481

হিট সেটটি কম ভিসি-ডাইমেনশনের হাইপারগ্রাফগুলিতে (কার্ল ব্রিনিম্যান, লাসল্লা কোজমা, শাই মুরান, এনএস নারায়ণস্বামী)।

দেখা যাচ্ছে যে হিটিং সেটটি W [1] - ইতিমধ্যে ভিসি-ডাইমেনশন 2 এর সমান হলে hard


আমাদের সাইট ব্যবহার করে, আপনি স্বীকার করেছেন যে আপনি আমাদের কুকি নীতি এবং গোপনীয়তা নীতিটি পড়েছেন এবং বুঝতে পেরেছেন ।
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.