হয় তুলনায় দুর্বল Fanout বেষ্টিত সঙ্গে ?

Question

ডি বেরা, এফ। গ্রিন এবং এস হোমার (জুন 2007 এর এসিএম সাইন্ট নিউজের খণ্ড 36, নং 2) দ্বারা "ছোট গভীরতা কোয়ান্টাম সার্কিট" সমীক্ষায় আমি নিম্নলিখিত বাক্যটি পড়েছি:

ধ্রুপদী সংস্করণ (যেখানে এবং দরজা সবচেয়ে ধ্রুবক Fanout আছে) তুলনায় provably দুর্বল ।$QAC^0$$AND$$OR$$AC^0$

এই দাবির জন্য একটি রেফারেন্স অনুপস্থিত। আমি এই শ্রেণীর ডাকব , যেখানে "বেষ্টিত Fanout" জন্য দাঁড়িয়েছে। (জটিলতা চিড়িয়াখানাটি নিচে রয়েছে এবং সাহিত্যে এরকম শ্রেণীর ইতিমধ্যে নাম রয়েছে কিনা তা আমি যাচাই করতে পারি না)। আমরা যদি ইনপুট বিটের জন্য সীমাহীন ফ্যানআউট ধরে নিই, তবে এই সার্কিটটি আকারের বহুবর্ষীয় বৃদ্ধি পর্যন্ত ধ্রুবক গভীরতার সূত্রগুলির সমতুল্য বলে মনে হয়, সুতরাং উপরের দাবিটি কোনও অর্থ দেয় না। পরিবর্তে, আমরা যদি ইনপুট বিটের জন্যও সীমাবদ্ধ ফ্যানআউট অনুমান করি তবে আমি এই শ্রেণিকে থেকে আলাদা করে এমন কোনও ভাষা ভাবতে পারি না । সম্ভাব্য প্রার্থী ভাষা হতে পারে , অর্থাত কেবল মাত্র একটি দিয়ে স্ট্রিংগুলির ভাষা 1. এটি দেখানো সহজ show$AC^0_{bf}$$bf$$AC^0$$X := \{x | \mbox{weight}(x) = 1 \}$$X \in AC^{0}$ , কিন্তু আমি যে প্রমাণ করার পরিচালনা করা হয়নি ।$X \notin AC^{0}_{bf}$

প্রশ্নগুলি হ'ল:

কি আসলে তুলনায় দুর্বল ? যদি তা হয়, কোনও ধারণা বা এটি প্রমাণ করার জন্য কোনও রেফারেন্স? এবং কোন ভাষাটি সেই দুটি শ্রেণিকে পৃথক করে? সম্পর্কে কী ?$AC^0_{bf}$$AC^0$$X$

Comments

ইনপুট বিটের বাইরে ফাউন্ডিং বাউন্ডিং রৈখিক আকারের সার্কিট তৈরি করবে। যে কোনও ফাংশন যার জন্য সুপার-লিনিয়ার আকার প্রয়োজন সেগুলি পৃথক করে দেবে। $AC^0$

— কাভেহ

@ কাভাহ: সম্ভবত আপনি একটি স্পষ্ট ফাংশনের উদাহরণ হিসাবে সুপার-লিনিয়ার আকারের সার্কিট প্রয়োজন হতে পারে এবং সম্ভবত একটি রেফারেন্স যা আকারটি নিম্ন সীমা দেখায়? (বা আপনার উত্তরে যুক্তিটি যদি খুব সহজ হয় তবে তা অন্তর্ভুক্ত করুন?)$AC^0$

— রবিন কোঠারি

@ কাভাহ আপনাকে ধন্যবাদ আমি জানতাম না যে A C 0 এবং লিনিয়ার আকারের ধ্রুবক-গভীরতার সার্কিটের (সম্ভবত দৃশ্যত এল সি 0 বলে পরিচিত) এর মধ্যে বিচ্ছেদ জানা ছিল। রেফারেন্সটি হলেন "সার্কিট কমপ্লেক্সে ডিটারিস্টোনিক সীমাবদ্ধতা" এস চৌধুরী এবং জে রাধাকৃষ্ণনের। @ কাভেঃ আপনি কি আপনার মন্তব্যটির উত্তর দিতে পারবেন? $AC^0$$LC^0$

— আলেসান্দ্রো কোসেন্টিনো

ফলো-আপ প্রশ্নে সিটিওরি.স্ট্যাকেক্সেঞ্জারভিউ / প্রশ্নস / 47৪/// ২ তে আলোচনা করা হয়েছে , A C 0 b f লিনিয়ার আকারের সূত্রের সমান। $AC^0_{bf}$

— ডোমোটরপ

Answer 1

ইনপুট বিট এবং গেটগুলির ফ্যান-আউটের উপর আবদ্ধ একটি সার্কিট রৈখিকের আকার তৈরি করবে। গেটগুলি এবং ইনপুটগুলির ফ্যান- আউটে কে আবদ্ধ হতে দিন । এটা তোলে দ্বারা বেষ্টিত সর্বোচ্চ আউট ডিগ্রী সঙ্গে একটি DAG হয় ট এবং দৈর্ঘ্য সর্বোচ্চ পথ ঘ । প্রতিটি স্তরে উপলব্ধ তারের সংখ্যা কে গুণমান বাড়িয়ে তুলতে পারে এবং শীর্ষে উপলব্ধ তারগুলির সংখ্যা কে এন হয় , তাই সার্কিটের তারের মোট সংখ্যা সর্বাধিক কে এন ∑ ডি i = 0 কে আই ≤ কে ডি + 1 এন যা ও ( এন ) হয় ।$k$$k$$d$$k$$kn$$kn \sum_{i=0}^d k^i \leq k^{d+1} n$$O(n)$

যে কোনও এ সি 0 ফাংশন যার জন্য সুপার-লিনিয়ার আকারের প্রয়োজন হয় তা সীমিত ফ্যান-আউট (ইনপুট বিটগুলিতেও প্রয়োগ করা হয়) এর সাথে ফাংশনগুলির শ্রেণি A C 0 থেকে আলাদা করবে । এখানে কিছু উদাহরন:$\mathsf{AC^0}$$\mathsf{AC^0}$

1. [CR96]: সুপার লিনিয়ার আকারের একটি সি 0 ফাংশন হ'ল 1$\mathsf{AC^0}$4 -প্রসূত নির্বাচক$\frac{1}{4}$। কঘ4 -প্রসূত নির্বাচক এমন কোনও ফাংশন যার মান হ'ল:$\frac{1}{4}$

   • 0 যখনই 1 এরসংখ্যাসর্বাধিক$0$$1$4 ,$\frac{n}{4}$
   • 1 যখনই 0 এরসংখ্যাসর্বাধিক n হয় is$1$$0$4 ,$\frac{n}{4}$
   • পারেন হতে পারে 0 বা 1 অন্যথায়।$0$$1$

2. [রোজ ৮৮] দেখায় যে কে- ক্লিকটিতে একটি সি 0 ফাংশন জটিলতা রয়েছে এন Θ ( কে ) ( এন 2 ইনপুট বিটগুলি এন উল্লম্ব সহ একটি গ্রাফের সম্ভাব্য প্রান্ত )। এটি কে > 2 এর জন্য একটি সুপারলাইন আকারের নিম্নতরকে দেয় ।$k$$\mathsf{AC^0}$$n^{\Theta(k)}$$n^2$$n$$k\gt 2$

3. প্রদত্ত আনর্ডারড স্ট্রাকচারে যে কোনও ননড্রাইভিয়াল (এক বিটেরও বেশি প্রয়োজন) নির্দিষ্ট প্ররোচিত কাঠামোর অস্তিত্বের পক্ষে 2 এর উদাহরণটি সম্ভবত সাধারণকরণ সম্ভব eg

   • প্রদত্ত গ্রাফে দৈর্ঘ্যের ২ টি পথের অস্তিত্ব,
   • # 1 ( এক্স ) = 2 ,$\#_1(x)=2$

   যেহেতু এগুলির জন্য কয়েকটি ধরণের উপর নির্ভর করে গতির প্রচুর ধ্রুবক প্রয়োজন যা এ সি 0 বি f তে সম্ভব নয় ।$\mathsf{AC^0_{bf}}$

4. সবচেয়ে সহজ উদাহরণটি হ'ল ডুপ্লিকেটর গেট, অর্থাত্ একটি গেট যা তার ইনপুট বিটের ω ( 1 ) অনুলিপি তৈরি করে। A C 0 b f এ এটি সম্ভব নয় কারণ কেবলমাত্র O ( 1 ) গেট প্রতিটি ইনপুট বিটের উপর নির্ভর করতে পারে।$\omega(1)$$\mathsf{AC^0_{bf}}$$O(1)$

এছাড়াও কোন একটি সি 0 খ চ আকারের বর্তনী এস এ আকারের একটি সূত্র পরিণত করা যেতে পারে সবচেয়ে ট ঘ এস এবং সেইজন্য রয়েছে একটি সি 0 খ চ আকারের সূত্র ট 2 ঘ + + 1 এন superlinear কোন ফাংশন তাই একজন সি 0 সূত্র জটিলতা A C 0 b f এ হবে না ।$\mathsf{AC^0_{bf}}$$S$$k^dS$$\mathsf{AC^0_{bf}}$$k^{2d+1}n$$\mathsf{AC^0}$$\mathsf{AC^0_{bf}}$

---

তথ্যসূত্র:

[সিআর ৯6] এস চৌধুরী ও জে রাধাকৃষ্ণান, " সার্কিট কমপ্লেক্সে ডিটারনিস্টিক বিধিনিষেধ ", ১৯৯ 1996

[রোজ ৮৮] বেঞ্জামিন রসম্যান, " কে- ক্লাইকের কনস্ট্যান্ট-গভীরতা জটিলতা অন ", ২০০৮

[জুক] স্ট্যাসিস জুকনা, " বুলিয়ান ফাংশন জটিলতা: অগ্রিম ও সীমান্ত ", খসড়া

Comments

এল সি 0 এবং এ সি 0 এর মধ্যে সাম্প্রতিকতম বিচ্ছেদ বেনজমিন রসম্যানের কারণে এই ফলাফল থেকে অনুসরণ করে । তিনি দেখান যে সমস্ত ধ্রুবক কে (এছাড়াও কিছু বর্ধমান কে ) এবং ধ্রুবক ডি এর জন্য এন- ভার্টেক্স গ্রাফের কে- ক্লিকের জন্য কোনও গভীরতার ডি সার্কিটের আকার অবশ্যই Ω ( এন কে / 4 ) থাকতে হবে । এর দ্বারা বোঝা যায় যে ভাষাগুলির শ্রেণিবিন্যাসটি A সি 0 সার্কিট n কে সাইজের আকার দ্বারা গ্রহণ করা হয়েছে (বিভিন্ন $LC^0$$AC^0$$k$$k$$d$$d$$k$$n$$\Omega(n^{k/4})$$AC^0$$n^k$$k$) আসলে অসীম।

— শ্রীকান্ত

আমি উত্তরটি আপডেট করেছি, আলেসান্দ্রো, ডমোটরপ, রবিন, শ্রীকান্ত এবং স্ট্যাসিসকে ধন্যবাদ।

— কাভেঃ

@ কাভাহ: ঠিক আছে, ধন্যবাদ আপনি যদি রসম্যানের ফলাফলটি টুইট করার কোনও উপায় খুঁজে পান তবে আমি এটি শুনতে আগ্রহী। থ্রেশহোল্ড-2 ফাংশন জন্য হিসেবে আমি মনে করি আমরা এটা লক্ষ রৈখিক আকারের সূত্র আছে এই ক্লাসে সব ফাংশন, এবং থ্রেশহোল্ড-2 নিম্ন বাউন্ড একটি সূত্র আকার দ্বারা এই ক্লাসে না দেখাতে পারেন যে Ω ( ঢ লগ ইন করুন এন ) । $\Omega(n \log n)$

— রবিন কোঠারি

@ কাভেঃ যদি পি কে দ্বারা বোঝানো হয়, আপনি দৈর্ঘ্যের কে এর পথ বোঝাচ্ছেন তবে আপনার মনে রাখা উচিত যে এই ফাংশনগুলির জন্য 2 ক এন ও ( 1 ) আকারের একটি সি 0 সার্কিট রয়েছে (এটি মূলত রঙিন কোডিং কৌশলটি অনুসরণ করে ) অ্যালন, ইয়াস্টার এবং জুইক)। আমি নিশ্চিত নই যে রসম্যানের কৌশলটি এই ধরণের সীমানা দেয় (যদিও এটি কেন না করা উচিত তার কোনও কারণ আমি জানি না)। $P_k$$k$$AC^0$$2^kn^{O(1)}$

— শ্রীকান্ত

@ কাভেঃ আমি দুঃখিত, আমার একটি রেফারেন্স দেওয়া উচিত ছিল। আপনি যে কাগজটি নির্দেশ করেছেন তা দ্রুত পাথ এবং অন্যান্য উপগ্রহগুলি সন্ধানের জন্য রঙিন কোডিং পদ্ধতি শুরু করেছিল। আমোনো, এই গবেষণাপত্রে, প্রথমটি নির্দেশ করে যে এলগোরিদিমগুলি এ সি 0 তে প্রয়োগ করা যেতে পারে । $AC^0$

— শ্রীকান্ত