দুদক ক্রিকুইটের বিগেল-তারুই রূপান্তর

Question

আমি অরোরা এবং বারাকের কম্পিউটেশনাল জটিলতার বইতে এনইএসপি-র জন্য দুদকের নিম্ন সীমা সম্পর্কে পরিশিষ্ট পড়ছি । http://www.cs.princeton.edu/theory/uploads/Compbook/accnexp.pdf মূল লেমমাসের মধ্যে একটি হ'ল সার্কিট থেকে বহুগুণ বহুত্বরেখায় বহুগুণে বহুগুণে রূপান্তরিত হয় যা বহুগাণিতিক ডিগ্রি এবং কোয়াশিপলিনোমিয়াল কো-কোফিয়েন্টিয়াস সহ, বা সমানভাবে, সার্কিট ক্লাস which, যা কোয়েসিপলিনোমিয়ালি বহু এবং গেটের নীচের স্তরে পলিয়েগারিদমিক ফ্যান-ইন সহ শীর্ষ স্তরের একটি প্রতিসম গেট সহ গভীরতার দুটি সার্কিটের শ্রেণি। এস ওয়াই এম $ACC^{0}$$SYM^{+}$

পাঠ্যপুস্তকের পরিশিষ্টে, এই রূপান্তরটির তিনটি পদক্ষেপ রয়েছে, ধরে নেওয়া যে গেট সেটটি ওআর, মোড , মোড এবং ধ্রুবক । প্রথম পদক্ষেপটি হল ওআর গেটগুলির ফ্যান-ইনকে পলিউগ্রিজিথিক অর্ডারে হ্রাস করা।3 $2$$3$$1$

ভ্যালিয়েন্ট – ওয়াজিরাণী বিচ্ছিন্নতা লেমাকে ব্যবহার করে, লেখকরা ফর্মের ইনপুটগুলির উপর একটি ওআর গেট দিয়েছিলেন , যদি আমরা থেকে to এর পরে জুটিযুক্ত স্বতন্ত্র হ্যাশ ফাংশন হতে নির্বাচন করুন , তারপরে যে কোনও ননজারো for এর জন্য , সম্ভাব্যতার সাথে কমপক্ষে এটি এটি ধরে রাখবে । হে আর ( এক্স 1 , । । । , X 2 ট ) জ [ 2 ট ] { 0 , 1 } এক্স ∈ { 0 , 1 } 2 ট 1 / ( 10 ট ) Σ আমি : জ ( আমি ) = 1 x আমি মোড $2^{k}$$OR (x_{1},...,x_{2^{k}})$$h$$[2^{k}]$$\{ 0,1 \}$$x \in \{0,1\}^{2^{k}}$$1/(10k)$$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2$

সম্ভাব্যতা নয় অন্তত ? দেখে মনে হচ্ছে যে কে একটি দুর্বল নিম্ন সীমানা।1 / 2 1 / 10 $\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2$$1/2$$1/10k$

দ্বিতীয় ধাপটি গাণিতিক গেটগুলিতে চলে যাচ্ছে এবং গুণকে নীচে নামছে। এই পদক্ষেপে, আমরা প্রদত্ত বাইনারি ইনপুট স্ট্রিং সহ বুলিয়ান সার্কিটগুলিকে একটি পূর্ণসংখ্যার ইনপুট সহ পাটিগণিত সার্কিটে রূপান্তর করব।

এখানে তারা দ্রষ্টব্য যে , এবং with দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়েছে ফার্মার লিটল প্রতিস্থাপন করা হয়েছে ।$OR(x_{1},...,x_{k})$$1-x_{1}x_{2}\cdots x_{k}$$MOD_{p}(x_{1},...,x_{k})$$(\Sigma_{i=1,...,k} x_{i})^{p-1}$

এই প্রতিস্থাপনটি কেন সমমানের সার্কিট দেয়?$SYM^{+}$

Comments

"কমপক্ষে 1 / (10 কে) সম্ভাব্যতার সাথে এটি প্রকাশ করবে এমন অভিব্যক্তিটি আমি বুঝতে পারি না ..." আপনি কি সমান চিহ্নটি নিখোঁজ করছেন? এছাড়াও, আপনি যেখানে এই প্রমাণটি প্রদর্শিত হবে সেই পৃষ্ঠা নম্বরটি উদ্ধৃত করতে পারেন?

— রবিন কোঠারি

Answer 1

সম্ভাব্যতা নয় অন্তত 1/2? দেখে মনে হচ্ছে যে 1 / ( 10 কে ) একটি দুর্বল নিম্ন সীমানা bound$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2 = 1$$1/(10k)$

আসলে উত্তরটি হ'ল না। (এটা হবে যে সম্ভাব্যতা অন্তত সঙ্গে ঝুলিতে 1 / 2 - ε , যদি আমরা একটি সঙ্গে কাজ করছিল ε -biased হ্যাশ পরিবার, এবং প্রকৃতপক্ষে ব্যবহার ε -biased হ্যাশ ফাংশনগুলি নির্মাণের পরামিতিগুলিকে উন্নত করার জন্য একটি উপায় দেয় But তবে জোড় জোড় করে স্বাধীনভাবে ε- ভিত্তিক নয় )$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2 = 1$$1/2-\varepsilon$$\varepsilon$$\varepsilon$$\varepsilon$

দেখে মনে হচ্ছে তারা এখানে একটি অতিরিক্ত পদক্ষেপ মিস করছে। ভ্যালিয়েন্ট-বাজিরানী সরাসরি প্রয়োগ করতে আপনাকে এলোমেলোভাবে হ্যাশ ফাংশনটির ব্যাপ্তি নির্বাচন করতে হবে। বরং র্যান্ডম pairwise স্বাধীন অবচয় , মনে আপনি র্যান্ডম বাছা উচিত ℓ ∈ { 2 , ... , ট + + 1 } এবং তারপর বাছাই র্যান্ডম pairwise স্বাধীন জ : [ 2 ট ] → { 0 , 1 } $h : [2^k]\rightarrow\{0,1\}$$\ell \in \{2,\ldots,k+1\}$$h : [2^k]\rightarrow \{0,1\}^{\ell}$। (এখানে আমি ইচ্ছাকৃতভাবে বীর-Vazirani এর অরোরার-বারাক বক্তব্য, পৃষ্ঠা 354. পাওয়া ব্যবহার করছি) আসুন সংখ্যা হতে এক্স আমি = 1 । বীর-Vazirani বলছেন যে যখন আপনি চয়ন করেছেন ℓ যেমন যে 2 ℓ - 2 ≤ গুলি ≤ 2 ℓ - 1 , তারপর সম্ভাব্যতা যে Σ আমি : জ ( আমি ) = 1 x এর আমি = 1 (! পূর্ণসংখ্যার বেশি) অন্তত হয় 1 / 8 ।$s$$x_i=1$$\ell$$2^{\ell-2} \leq s \leq 2^{\ell-1}$$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} = 1$$1/8$

সুতরাং এলোমেলো বাছাই করে এবং এলোমেলো জোড়ায় পৃথকভাবে h : [ 2 কে ] → { 0 , 1 } ℓ বাছাই করার পরে আপনার কমপক্ষে 1 / ( 8 কে ) সম্ভাবনা রয়েছে যে prob i : h ( i ) = 1 x i Mod  2 = 1 । র্যান্ডম পছন্দ অনুকরণ ℓ বর্তনী, আপনি কেবল সময় লাগতে পারে হে আর সব সম্ভব উপর $\ell$$h: [2^k]\rightarrow\{0,1\}^{\ell}$$1/(8k)$$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2 = 1$$\ell$$OR$$\ell$(তাদের সংখ্যা লগারিদমিক হয় , সব পরে), তাই সাফল্যের সম্ভাবনা অন্তত হয়ে 1 / 8 আবার। তাই বরং থাকার চেয়ে হে ( ট লগ গুলি ) পরিসর হ্যাশ ফাংশন { 0 , 1 } , আপনি চাইবেন হে ( ট ) হ্যাশ ফাংশন বিভিন্ন সেট (একটি পৃথক পরিসর থাকার প্রতিটি সেট), সঙ্গে হে ( লগ গুলি ) হ্যাশ ফাংশন প্রতিটি সেটে$2^k$$1/8$$O(k\log s)$$\{0,1\}$$O(k)$$O(\log s)$

এই প্রতিস্থাপনটি কেন সমমানের এসওয়াইএম + সার্কিট দেয়?

AND এর একটি SYM (অর্থাত্ SYM +) আকারের সার্কিট মূলত বহুবর্ষীয় বহুপদী এইচ : { 0 , 1 } n → { 0 , … , K } সর্বাধিক কে মোমোমিয়াল সহ একটি লুক টেবিল জি : { 0 থাকার সমতুল্য , … , কে } → { 0 , 1 } , এবং কম্পিউটিং জি ( এইচ ( এক্স 1 , … , এক্স এন$K$$h : \{0,1\}^n \rightarrow \{0,\ldots,K\}$$K$$g : \{0,\ldots,K\}\rightarrow \{0,1\}$ । (উদাহরণস্বরূপ, একটি প্রমাণ Beigel-Tarui খুঁজে পাওয়া যেতে পারে।) স্বজ্ঞা যে প্রতিটি monomial হয় চ একটি এবং গেট, এবং ছ SYM গেট নেই। আমি বলতে "মূলত সমতুল্য" কারণ multilinear বহুপদী জ কিছু মেয়াদের জন্য নেতিবাচক কোফিসিয়েন্টস থাকতে পারে, এবং নেতিবাচক coefficents এর SYM এবং বাস্তবায়নযোগ্য স্পষ্টত নয়। তবে আমি দাবি করি (এবং বিগেল এবং তারুই দাবি করেছেন) এটি কোনও সমস্যা নয়। চিন্তা করুন :)$g(h(x_1,\ldots,x_n))$$f$$g$$h$