গোলমাল বুলিয়ান ফাংশনগুলির কঠোরতা

Question

যাক একটি বুলিয়ান ফাংশন হবে এন বুলিয়ান ভেরিয়েবল। যাক ছ ( এক্স ) = টি ε ( চ ) ( এক্স ) প্রত্যাশিত মান হতে চ ( Y ) যখন Y থেকে প্রাপ্ত হয় এক্স প্রতিটি সম্ভাব্যতা সঙ্গে সমন্বয় আলোকসম্পাতের দ্বারা ε / 2 ।$f$$n$$g(x)=T_\epsilon (f) (x)$$f(y)$$y$$x$$\epsilon/2$

আমি ক্ষেত্রে যেখানে এটা গণনা আনুমানিক কঠিন আগ্রহী । আমাকে "পড়তা" র ধারণা সংশোধন করা যাক (কিন্তু সেখানে অন্যদের হতে পারে): একটি বুলিয়ান ফাংশন জ পরিমাপক ছ যদি জ ( এক্স ) = 1 যখন গ্রাম ( এক্স ) ≥ 0.9 এবং জ ( এক্স ) = 0 যখন গ্রাম ( এক্স ) ≤ $g$$h$$g$$h(x)=1$$g(x)\ge 0.9$$h(x)=0$$g(x)\le 0.1$.A গণনা যুক্তি (কোডগুলি সংশোধন করার জন্য ইতিবাচক হারের ত্রুটির অস্তিত্বের উপর ভিত্তি করে) মনে হচ্ছে যে এখানে বুলিয়ান ফাংশন রয়েছে যার জন্য এই জাতীয় যে কোনও আনুষঙ্গিক আকারের সার্কিট প্রয়োজন। কিন্তু প্রশ্ন সেখানে কি ঘটছে যখন শুরু করার দ্বারা NP অথবা তার আশেপাশে রয়েছে।$f$

প্রশ্ন 1: এনপি সার্কিট (বা পি-স্পেস) দ্বারা বর্ণিত কোনও উদাহরণ রয়েছে যাতে প্রতিটি এইচ এনপি হার্ড, বা কিছুটা দুর্বল অর্থে শক্ত হয়?$f$$h$

দেখতে সবসময় সহজ হবে না পারে (আমি এটা সম্পর্কে দরকারী আলোচনার জন্য জোহান Hastad ধন্যবাদ) আমরা আকারের একটি উপদল থাকার গ্রাফ সম্পত্তির বিবেচনা করতে পারেন এন 1 / 4 র্যান্ডম ইনপুট জন্য, এটা ভাবা হয় যে এটা কঠিন বড় চক্র রয়েছে কিনা তা সনাক্ত করুন তবে শোরগোলের গ্রাফে প্রত্যাশিত আকারের লগ এনের ফলক থাকার মাধ্যমে এটি প্রকাশিত হয়। এক্ষেত্রে কোনও এইচ সম্ভবত-কঠিন হবে (তবে প্রমানযোগ্য নয়, এবং আধা-বহু-বহির্ভুত সার্কিটগুলি বলার মতো ভয়ঙ্করভাবে কঠোর নয়)।$h$$n^{1/4}$$h$

প্রশ্ন 2: কম শুরু হলে পরিস্থিতি কী । ( একটি সি 0 , মনোোটোন টি সি 0 , এ সি সি ইত্যাদি)$f$$AC^0$$TC^0$$ACC$

Q3: বুলিয়ান ফাংশনগুলির কয়েকটি প্রাথমিক উদাহরণগুলির জন্য পরিস্থিতি কী। (প্রশ্নটি বাস্তব-মূল্যবান ফাংশনেও বাড়ানো যেতে পারে))

প্রশ্ন 4: উপরের প্রশ্নটি গণনার ইউনিফর্ম (ট্যুরিং-মেশিন) মডেলের জন্য আনুষ্ঠানিকভাবে জিজ্ঞাসা করা যেতে পারে?

আপডেট: অ্যান্ডির উত্তর (হাই আছে, অ্যান্ডি) দেখে আমি মনে করি যে সবচেয়ে আকর্ষণীয় প্রশ্নটি বিভিন্ন নির্দিষ্ট কার্যের জন্য পরিস্থিতিটি বোঝা।

আরেকটি প্রশ্ন Q5 [একজাতীয় ফাংশনগুলির জন্য কিউ 1] আপডেট করুন (অ্যান্ডির উত্তর দেখেও)। মোনোটোন হলে পরিস্থিতি কী ? আমরা এখনও শক্তভাবে এনপি সম্পূর্ণ প্রশ্নগুলি এনকোড করতে পারি>$f$

Comments

এই প্রশ্নটি সার্কিট আনুমানিক সম্পর্কে সম্পর্কিত। আপনার প্রশ্নটি পি / পলি বনাম এনপি প্রশ্নের অনুরূপ বলে মনে হচ্ছে।

— vzn

Answer 1

প্রশ্ন 1 এর জন্য, উত্তর হ্যাঁ, এবং নীচের হিসাবে প্রদর্শিত হতে পারে। (আমিও স্পষ্টভাবে Q4- এর একটি যথাযথ উত্তর স্কেচ করব, যেহেতু যুক্তিটি অভিন্ন এবং একসাথে সমস্ত ইনপুট দৈর্ঘ্যের সাথে আচরণ করবে))

যে কোনও এনপি-সম্পূর্ণ ভাষা , এবং ভাল বাইনারি ত্রুটি-সংশোধনকারী কোডগুলির একটি পরিবারকে ঠিক করুন (1/4 রেট সহ এবং ত্রুটির একটি .1 ভগ্নাংশ থেকে সংশোধন করুন, বলুন)। আসুন ই এন গ N : { 0 , 1 } এন → { 0 , 1 } 4 এন দৈর্ঘ্যের জন্য এনকোডিং ফাংশন হবে এন ; আমরা এমন কিছু কোড ব্যবহার করি যেখানে E n c = { E n c n } অভিন্ন বহু-কালীন অ্যালগরিদম দ্বারা গণনাযোগ্য।$L$$Enc_n: \{0, 1\}^n \rightarrow \{0, 1\}^{4n}$$n$$Enc = \{Enc_n\}$

স্ট্রিং z এর সেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করুন যা দূরত্বের সর্বাধিক ।05 | z | একটি codeword থেকে Y ∈ ই এন গ ( এল ) কিছু উপাদান এনকোডিং এল । মনে রাখবেন যে, এল ' , দ্বারা NP হয় হিসাবে আপনি অনুমান এবং কাছাকাছি codeword, সঙ্কেতমুক্ত শব্দ, এবং সঙ্কেতমুক্ত শব্দ সদস্যপদ প্রাপ্তির দ্বারা NP শংসাপত্র পরীক্ষা করতে পারবেন এল । $L'$$z$$.05 |z|$$y \in Enc(L)$$L$$L'$$L$

তারপর বলে যে দাবি করা কোনো "পড়তা" হয় আপনার অনুভূতি মধ্যে np হার্ড জন্য ε = .01 । যদি আমরা একটি বৈধ codeword বিবেচনা জন্য Y = ই এন গ ( এক্স ) কিছু দৈর্ঘ্যের 4 এন , তারপর সঙ্গে সম্ভাব্যতা 1 - ণ ( 1 ) একটি র্যান্ডম উপর ε সংস্করণ -perturbed Y ' এর Y , এটা সঙ্গে মতানৈক্য হবে Y সর্বাধিক মধ্যে স্থানাঙ্কের একটি .05 ভগ্নাংশ, এবং তাই ই এন সি এর অন্য কোনও কোডওয়ার্ডের সাথে একমত নন$L'$$\varepsilon = .01$$y = Enc(x)$$4n$$1 - o(1)$$\varepsilon$$y'$$y$$y$কর্ডের .05 ভগ্নাংশেরচেয়ে বেশি এন যেমন y এর জন্য আমাদের y ′ ∈ L ′ iff x ∈ L রয়েছে । তাই আপনি যদি জ কোনো পড়তা হয় ε এর -smoothed সংস্করণ এল ' আপনার অর্থে, তারপর আমরা থাকতে হবে জ ( Y ) = এল ( এক্স ) । হিসাবে ই এন গ দক্ষতার গণনীয়, এই আমাদের একটি উপায় দক্ষতার জন্য সদস্যপদ প্রশ্ন কমাতে দেয় এল জন্য জনকে জ । সুতরাং$Enc_n$$.05$$y'$$y' \in L'$$x \in L$$h$$\varepsilon$$L'$$h(y) = L(x)$$Enc$$L$$h$ এনপি-হার্ড।$h$

দুটি নোট:

(১) এনপি উদাহরণগুলির ত্রুটি-সংশোধনকারী এনকোডিংগুলি আগে বেশ কয়েকটি গবেষণাপত্রে ব্যবহৃত হয়েছিল, উল্লেখযোগ্যভাবে
ডি শিবকুমার: সদস্যতার তুলনামূলক সেটগুলিতে। জে.কম্পট। Syst। সী। 59 (2): 270-280 (1999)।

(২) উপরের যুক্তিটি অবশ্যই কোনও এনপি সমস্যার গড়-কেস জটিলতা সম্পর্কে কিছুই বলেনি, যেহেতু ত্রুটি-সংশোধন একটি উদাহরণস্বরূপ ভিত্তিতে প্রয়োগ করা হচ্ছে।

Comments

সফ্টওয়্যারটি আমাকে "হাই গিল" দিয়ে আমার উত্তর শুরু করতে দিবে না এবং আমি এই স্তরের মাইক্রো ম্যানেজমেন্টের দ্বারা কিছুটা নিচু হয়েছি।

— অ্যান্ডি ড্রাগার

এটি কারণ আপনার উত্তরটি "হাই গিল" দিয়ে শুরু করা উচিত নয় । এটি কোনও ব্যক্তিগত ই-মেইল নয়, এটি একটি পাবলিক ওয়েবসাইটে একটি পোস্ট। অবশ্যই, আপনার পছন্দগুলি এর দ্বারা লক্ষ্যযুক্ত নয়; এটি বরং নতুন ব্যবহারকারী যারা এই কনভেনশনগুলি সম্পর্কে সচেতন নন যা সফ্টওয়্যারটি নিয়ন্ত্রণ করা লক্ষ্য করে।

— যুবাল ফিল্মাস

আমার দৃষ্টিভঙ্গি হ'ল যে কেউ যখন অন্য কারোর অবদানের প্রতিক্রিয়াতে লিখছেন তখন তা স্বীকার করা ভাল। এটি অনেক অনলাইন সেটিংসে স্বাভাবিক এবং ধনাত্মক। আমি ব্যক্তিগত সম্বোধন করে সংক্ষিপ্ততম উপায়ে এটি করার চেষ্টা করেছি; এর সাথে কোনও ভুল দেখবেন না।

— অ্যান্ডি ড্রাগার

চমৎকার নির্মাণ! আমার একটি প্রশ্ন রয়েছে: আসুন এল এর সূচক ফাংশন হোক এবং এইচ গিলের প্রশ্নের মতোই হোক। এখন, আপনার যুক্তি দেখায় যে h আইনী কোডওয়ার্ডের সাথে y এর সাথে একমত হয়। তবে কীভাবে আপনার যে আইনী কোডওয়ার্ড নয়?

— বা মেয়ার

$f$