টাইপ থিওরিতে সসীম সেটগুলির তত্ত্বকে বৈধকরণ

10

বেশিরভাগ প্রুফ সহকারীদের "সীমাবদ্ধ সেট" ধারণার একটি আনুষ্ঠানিককরণ রয়েছে। এই আনুষ্ঠানিককরণগুলি যদিও বন্যভাবে পৃথক হয় (যদিও কেউ আশা করে যে সেগুলি সবগুলিই মূলত সমান!)। আমি এই মুহুর্তে যা বুঝতে পারি না তা হ'ল জড়িত নকশার স্থান এবং প্রতিটি আনুষ্ঠানিককরণের কী কী উপকারিতা হয় তা।

বিশেষত, আমি নিম্নলিখিতগুলি বুঝতে চাই:

আমি কি সরল ধরণের তত্ত্বের মধ্যে সীমাবদ্ধ সেটগুলি (অর্থাত্ সীমাবদ্ধ সংখ্যায় বাসিন্দাদের প্রকারের ধরনগুলি) অ্যাক্সিম্যাটাইজ করতে পারি? সিস্টেম এফ? এইভাবে এটি করার অসুবিধাগুলি কী কী?
আমি জানি এটি নির্ভরশীল টাইপ করা সিস্টেমে 'মার্জিতভাবে' করা যায়। তবে, শাস্ত্রীয় দৃষ্টিকোণ থেকে, ফলাফল সংজ্ঞাগুলি অত্যন্ত এলিয়েন বলে মনে হয়। [আমি বলছি না যে সেগুলি ভুল, এ থেকে দূরে!]] তবে তারা কেন 'সঠিক' তা আমি বুঝতে পারছি না। আমি বুঝতে পারি যে তারা সঠিক ধারণাটি বেছে নিয়েছে, তবে 'এটি এভাবে বলার' গভীর কারণ হ'ল আমি পুরোপুরি বুঝতে পারি না।

মূলত, আমি টাইপ থিওরিতে 'সসীম সেট' ধারণার আনুষ্ঠানিককরণের নকশার স্থানের যুক্তিযুক্ত পরিচয় চাই।

type-theory dependent-type finite

— জ্যাক ক্যারেট
সূত্র

8

আমি জানি এটি নির্ভরশীল টাইপ করা সিস্টেমে 'মার্জিতভাবে' করা যায়। তবে, শাস্ত্রীয় দৃষ্টিকোণ থেকে, ফলাফল সংজ্ঞাগুলি অত্যন্ত এলিয়েন বলে মনে হয়।

আপনি "এলিয়েন" বলতে কী বোঝাতে পারেন? আমার কাছে মনে হয় যে আপনি টাইপ থিওরি এবং সেট থিয়োরিতে সুনির্দিষ্টভাবে একইভাবে সসীম সেটটি ধারণাকে আনুষ্ঠানিকভাবে আনেন।

$Fin(n)$

F i n (n) ≜ {k \in N | k < n}

$\mathrm{Fin}(n) \triangleq \{ k \in \mathbb{N} \;|\; k < n \}$

F i n i t e (X) ≜ \exists n \in N . X ≃ F i n (n)

$\mathrm{Finite}(X) \triangleq \exists n\in\mathbb{N}.\; X \simeq \mathrm{Fin}(n)$

A ≃ B

$A \simeq B$

টাইপ থিওরিতে, আপনি ঠিক একই জিনিসটি করতে পারেন! নোট করুন যে উপাদানগুলির সাথে এক প্রকার (যেহেতু জোড়ের দ্বিতীয় উপাদানটি প্রমাণ-অপ্রাসঙ্গিক)। তারপরে, আপনি সূক্ষ্মতা ধরণের নির্মাতাকে এই হিসাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারেন: যেখানে অর্থ আইসোমরফিজম টাইপ।

F i n (n) ≜ Σ k : N . i f k < n t h e n U n i t e l s e V o i d

$\mathrm{Fin}(n) \triangleq \Sigma k:\mathbb{N}.\; \mathsf{if}\; k < n\,\mathsf{then}\; \mathsf{Unit} \;\mathsf{else}\; \mathsf{Void}$

F i n (n)

$\mathrm{Fin}(n)$

n

$n$

F i n i t e (X) ≜ Σ n : N . X ≃ F i n (n)

$\mathrm{Finite}(X) \triangleq \Sigma n:\mathbb{N}.\; X \simeq \mathrm{Fin}(n)$

A ≃ B

$A \simeq B$

— নীল কৃষ্ণস্বামী
সূত্র

এলিয়েন কারণ আমি কেবল কখনও কোনও পরীক্ষার সাথে কাঁচা সংজ্ঞা দেখেছি যা এই সংজ্ঞাগুলি কীভাবে পড়তে হবে তা ব্যাখ্যা করে। এছাড়াও সত্য যে সাধারণ ফিন সংজ্ঞা, ইন্দুকিটিভভাবে সম্পন্ন করে, বিষয়গুলিকে আরও অস্পষ্ট করে। আপনার সংক্ষিপ্ত ব্যাখ্যাটি এটি ক্লিক করার জন্য আমার যা প্রয়োজন ছিল।

— জ্যাক ক্যারেট

5

আমি নীলের উত্তরের জন্য দরকারী কিছু যুক্ত করতে পারি কিনা তা আমাকে দেখতে দিন। সীমাবদ্ধ সেটগুলির জন্য "ডিজাইনের স্পেস" গঠনমূলকভাবে এটি অনেক বেশি বড় কারণ এটি শাস্ত্রীয় কারণ "সসীম" এর বিভিন্ন সংজ্ঞা গঠনমূলকভাবে একমত হওয়ার প্রয়োজন নেই। টাইপ থিওরিতে বিভিন্ন সংজ্ঞা কিছুটা আলাদা ধারণা দেয়। এখানে কিছু সম্ভাবনা আছে।

Kuratowski সসীম সেট ( -finite) হিসেবে চিহ্নিত করা যেতে পারে বিনামূল্যে -semilattices: একটি সেট, প্রকার বা বস্তুর দেওয়া , মুক্ত উপাদান -semilattice এর Thougth হতে পারে নির্দিষ্ট সাব-সেট নির্বাচন যেমন । প্রকৃতপক্ষে, এই জাতীয় প্রতিটি উপাদান তৈরি করে: $K$ $\lor$ $X$ $\lor$ $K(X)$ $X$

নিরপেক্ষ উপাদান , যা খালি সেটটির সাথে মিলে যায় বা $0$
একটি জেনারেটর ,, যা সিঙ্গলটন , বা $x \in X$ $\lbrace x \rbrace$
দুটি যোগ দিন , যা ইউনিয়নের সাথে মিলে যায়। $S \lor T$

একটি সমতুল্য তৈয়ার হল: হয় -finite যদি, এবং শুধুমাত্র যদি অস্তিত্ব আছে এবং surjection । $K(X)$ $S \subseteq X$ $K$ $n \in \mathbb{N}$ $e : \lbrace 1, \ldots, n \rbrace \to S$

যদি আমরা এটি নীলের সংজ্ঞার সাথে তুলনা করি তবে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে তাঁর এস-এর জন্য একটি হস্তক্ষেপ । প্রয়োজন। এর পরিমাণ সেই -ফিনিট সাবটেটগুলি নেওয়ার সমান যা ডিকিসেবল সাম্য: । আমাদের ব্যবহার করতে দিন নির্ধার্য সংগ্রহের জন্য এর -finite সাব-সেট নির্বাচন । $e : \lbrace 1, \ldots, n \rbrace \to S$ $K$ $S \subseteq X$ $\forall x, y \in S . x = y \lor x \neq y$ $D(X)$ $K$ $X$

স্পষ্টতই সীমাবদ্ধ ইউনিয়নগুলির অধীনে বন্ধ রয়েছে, তবে এটি সীমাবদ্ধ ছেদগুলির অধীনে বন্ধ করার দরকার নেই। এবং কোনও ক্রিয়াকলাপের অধীনে বন্ধ নেই। যেহেতু লোকেরা প্রত্যাশা করে যে সীমাবদ্ধ সেটগুলি "শীর্ষ ছাড়াই বুলিয়ান অ্যাগলেব্রা" এর মতো কিছুটা আচরণ করে, সেগুলি তাদের বিনামূল্যে জেনারেলাইজড বুলিয়ান বীজগণিত ( , , এবং আপেক্ষিক ) হিসাবে সংজ্ঞায়িত করার চেষ্টা করতে পারে তবে আমি আসলে কখনই না যেমন একটি প্রচেষ্টা শুনেছি। $K(X)$ $D(X)$ $0$ $\lor$ $\land$ $\setminus$

"সঠিক" সংজ্ঞাটি কী তা সিদ্ধান্ত নেওয়ার সময়, সীমাবদ্ধ সেটগুলির সাথে আপনি কী করতে চান সেদিকে আপনাকে মনোযোগ দিতে হবে। এবং কোনও একক সঠিক সংজ্ঞা নেই। উদাহরণস্বরূপ, "সসীম" এর কোন অর্থে বহুবর্ষীয় সসীমের জটিল শিকড়গুলির সেট ?

গঠনমূলকভাবে সসীম দেখুন ? চূড়ান্ততার বিস্তারিত আলোচনার জন্য লিখেছেন থিয়েরি কোকোন্ড এবং আরনাড স্পিওয়াক। পাঠটি হ'ল চূড়ান্ততা গঠনমূলকভাবে সুস্পষ্ট থেকে দূরে।

— আন্দ্রেজ বাউয়ার
সূত্র

ঠিক আছে, আমি জানতে পারি যে আমার প্রশ্নটি তুচ্ছ নয়। এখন আমি কোক, ইসাবেল এবং আগদা গ্রন্থাগারের যে অংশগুলি সীমাবদ্ধ সেটগুলি নিয়ে কাজ করে সেগুলির অংশগুলি আবার পড়তে পারি এবং তারা কোন পছন্দগুলি বেছে নিয়েছিল তা বোঝার আশা থাকতে পারে (পাং উদ্দেশ্যে)।

— জ্যাক ক্যারেট

আমি আশ্চর্য হয়েছি লাইব্রেরিগুলির লেখকরা পছন্দগুলি সম্পর্কে কতটা সচেতন ছিলেন। তারা সম্ভবত একটি সংজ্ঞা মধ্যে চলে গেছে। কি একটি প্রাকৃতিক জিনিস যে অনুমান করা হয় নির্ধার্য সমতা পায়, কারণ তখন সঙ্গে সমানুপাতিক এবং সবকিছু সহজে যায় এবং শাস্ত্রীয় ক্ষেত্রে মত অনেক। একবার নির্ধারিত সমতা না থাকলে সমস্যা শুরু হয়।

A

$A$

K (A)

$K(A)$

D (A)

$D(A)$

A

$A$

— আন্দ্রেজ বাউয়ার

ন্যায়সঙ্গত হওয়ার জন্য, প্রোগ্রামের যাচাইকরণের দিকগুলি আনুষ্ঠানিক করতে কেউ প্রায়শই সীমাবদ্ধ সেট ব্যবহার করে এবং সেক্ষেত্রে আপনি সাধারণত ধরে নিতে পারেন যে নির্ধারিত সাম্যটি রয়েছে।

— કોડি