আমরা গনা পারি

আমি সমস্যার জন্য একটি দক্ষ অ্যালগরিদম চাই:

ইনপুট : কিছু পূর্ণসংখ্যা জন্য ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (বিট হিসাবে সঞ্চিত) । $3^n$ $n \geq 0$

আউটপুট : সংখ্যা । $n$

প্রশ্ন : আমরা গনা পারি এর বিট থেকে মধ্যে সময়? $n$ $3^n$ $O(n)$

এটি একটি গণিতের উত্তর থেকে উত্সাহিত একটি তাত্ত্বিক প্রশ্ন SEএসই প্রশ্ন এই দ্বিপক্ষের জন্য একটি সূত্র কীভাবে সন্ধান করবেন? । এই প্রশ্নে, লেখক এবং প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলি থেকে একটি সন্ধান পেতে চেয়েছিলেন । সমাধান হিসাবে আমি । সেখানে আর একটি উত্তর দৃ .়ভাবে জানিয়েছিল যে "এখানে কোনও সাধারণ সূত্র নেই", যা আমার প্রস্তাবিত সমাধানটি কীভাবে (গণনার ক্ষেত্রে) সহজ তা অবাক করে দেয়।

{2^{n} 3^{m} : n \geq 0 and m \geq 0}

$\{2^n 3^m: n \geq 0 \text{ and } m \geq 0\}$

N = {1, 2, \dots}

$\mathbb{N}=\{1,2,\ldots\}$

2^{m} 3^{n} \mapsto 2^{m} (2 n + 1)

$2^m 3^n \mapsto 2^m(2n+1)$

আমার প্রস্তাবিত সমাধান সঙ্গে, আমরা যদি সত্যি জানি $n$ এবং $m$ , আমরা সহজেই গনা করতে $2^m(2n+1)$ (এর বাইনারি ডিজিট লিখতে $n$ অনুসৃত দ্বারা $1$ দ্বারা অনুসরণ $m$ শূণ্যসমূহ)। এটি $O(n+m)$ সময় নেয়।

খোঁজা $m$ এর বিট থেকে $2^m 3^n$ অন্তত গুরুত্বপূর্ণ বিট খোঁজার জন্য পরিমাণে (যা ডান বিট বদল আনতে গণনা দ্বারা নির্ণয় করা যেতে পারে, যাব $3^n$ মেমরি)। এটি $O(m)$ সময় নেয় ।

তবে, আমাদের খুঁজে নেওয়া দরকার যা আরও বেশি কঠিন হতে পারে। বার বার দ্বারা ভাগ করে খুঁজে পাওয়া সম্ভব হবে তবে এটি অপব্যয় বলে মনে হচ্ছে। এর জন্য বিভাগের ক্রিয়াকলাপ প্রয়োজন , যার প্রত্যেকটিতে সময় লাগবে, সুতরাং এটি মোট সময়। [প্রকৃতপক্ষে, প্রতিটি পুনরাবৃত্তির পরে অঙ্কগুলির সংখ্যা রৈখিকভাবে হ্রাস পাবে, তবে এটি এখনও সময়ের ফলাফল results $n$ $n$ $3$ $n$ $O(n)$ $O(n^2)$ $O(n^2)$

দেখে মনে হচ্ছে আমাদের ইনপুটটি পাওয়ার হিসাবে জেনে কাজে লাগাতে সক্ষম হওয়া উচিত । $3$

ds.algorithms time-complexity

— রেবেকা জে স্টোনস
সূত্র

আপনার গণনার সঠিক মডেল কী?

সময়ে কোন ক্রিয়াকলাপ অনুমোদিত ? (আমরা যদি

সংখ্যার সাথে পাটিগণিত করতে পারি তবে এটি বেশ কার্যকর হবে ...)

O (1)

$O(1)$

\log_{2} 3

$\log_2 3$

— যুবল ফিল্মাস

ডাউনভোটার কি ডাউনটোটকে ব্যাখ্যা করতে পারে? একেবারেই তুচ্ছ প্রশ্নের মতো মনে হচ্ছে না। কিছু যুক্তিসঙ্গত গণনার মডেলের অধীনে চলমান সেরা সময়টি কী?

— যুবাল ফিল্মাস

আমি 0, 1 এর এবং খালি ঘর (অসীম টেপ সহ টেপগুলি) দিয়ে টেপগুলি কল্পনা করছি। আমি

সময়ে চালানোর জন্য একক বিট টগলিং এবং বাম / ডান স্থানান্তর অপারেশন চাই । (যদি আমাদের কাছে একটি অসীম টেপে 0-তম বিট একটি চিহ্নিতকারী থাকে তবে মার্কার স্থানান্তরিত করে বাম / ডান স্থানান্তরিত হওয়া অর্জন করা যাবে)। টিউরিং মেশিনের বিপরীতে, আমি চাই না যে এটি কোনও পয়েন্টার সরাতে কোনও সময় নেয়। সুতরাং "0-th বিট টগল করুন" "124126-th বিট টগল করুন" হিসাবে একই সময় নেয়।

O (1)

$O(1)$

— রেবেকা জে স্টোনস

এটি কোনওভাবে এই প্রশ্নের

— জে.ই.

নিম্ন

কি সুস্পষ্ট?

Ω (n)

$\Omega(n)$

— বরিস বুখ

উত্তর:

সুস্পষ্ট পদ্ধতি হল:

(1) জন্য একটি আনুমানিক গণনা করুন । আপনাকে দেওয়া বাইনারি প্রতিনিধিত্ব বিট সংখ্যা বেড়ে চলেছে, এবং একটি যুত ত্রুটি মধ্যে দ্বারা 1 একজন যুত ত্রুটি মধ্যে এটি অনুমান করতে পারে অতিরিক্ত উপরের তাকিয়ে $\log_2(3^n)$ $\epsilon$ ইনপুট বিট। এটা তোলে একটি ধ্রুবক মান চয়ন করতে চলা উচিতযাতে একজন যুত ত্রুটি মধ্যে চূড়ান্ত ফলাফল প্রান্ত আপ ((2) ধাপে ত্রুটি সহ মিশ্রন পরে),সঠিক হয়। $O(\log\frac{1}{\epsilon})$ $\epsilon$ $1/2$

(২) জন্য একটি আনুমানিক গণনা করুন । আমি এটির জন্য অ্যালগরিদমগুলির সাথে পরিচিত নই তবে আমি আশা করি যে তারা আপনার প্রয়োজনীয় নির্ভুলতার বিট সংখ্যায় সময় বহুপদী নেবে এবং আপনার কেবল যথার্থতার বিট প্রয়োজন । $\log_2(3)$ $O(\log n)$

(3) (1) এর উত্তরটি (2) এর উত্তর দিয়ে ভাগ করুন এবং নিকটতম পূর্ণসংখ্যার সাথে বৃত্তাকার করুন।

সুতরাং প্রথম পদক্ষেপটি লিনিয়ার সময় নেয় (গণনার বেশিরভাগ মডেলগুলিতে যদিও একক-হেড ট্যুরিং মেশিনের মতো কিছু বিদ্যুতচালিত লোকের জন্য নাও হতে পারে) এবং বাকি পদক্ষেপগুলি পলিওগারিদমিক হওয়া উচিত।

— ডেভিড এপস্টিন
সূত্র

আমি বিশ্বাস করি যে কম্পিউটিং

থেকে

সঠিকতার বিট লাগে সময়

, যেখানে

সংখ্যাবৃদ্ধি করার সময়

-বিট নম্বর। ব্রেন্ট দেখুন - জিমারম্যান, loria.fr/~zimmerma/mca/pub226.html

\log_{2} (3)

$\log_2(3)$

t

$t$

O (M (t) \log t)

$O(M(t) \log t)$

M (t) \leq O (t \log t 2^{\log^{*} t})

$M(t) \leq O(t \log t 2^{\log^* t})$

t

$t$

— রায়ান ও'ডনেল

রেফারেন্সের জন্য ধন্যবাদ এবং এটিকে আমি নিজের চেয়ে দেখার জন্য খুব অলস হওয়ার জন্য ক্ষমা চাইছি।

— ডেভিড এপস্টিন

কোন পূর্ণসংখ্যা জন্য , লেখা বাইনারি ইন করা দরকার, ঠিক বিট। কিছু প্রাথমিক বীজগণিত সূচিত করে যে $n>0$ $3^n$ $L = \lceil \log_2(3^n)+1\rceil$ যে কোনও বিট দৈর্ঘ্যের, এই ব্যাপ্তিতে সর্বাধিক একটি পূর্ণসংখ্যা থাকে। সুতরাং,একটি অবিচ্ছেদ্য শক্তি দেওয়া হয়যাবিট দীর্ঘ হয়, সূচকটি অবশ্যই পূর্ণসংখ্যা

\frac{L - 2}{\log_{2} 3} \leq n \leq \frac{L - 1}{\log_{2} 3} .

$\frac{L-2}{\log_2 3} \le n \le \frac{L-1}{\log_2 3}.$

L \geq 1

$L\ge 1$

3

$3$

L

$L$

n = ⌊ \frac{L - 1}{\log_{2} 3} ⌋ .

$n = \left\lfloor\frac{L-1}{\log_2 3}\right\rfloor.$

— Jeffε
সূত্র

$k$ $3^n$ $3^n \bmod 10^k$ $3^n \bmod 5^k$ $3$ $5^k$ $3$ $\varphi(5^k)=5^{k-1} \times 4$

$n \bmod \varphi(5^k)$ $k$ $3^n$ $n \bmod 4$ $3^n$ $3^n \bmod 5$ $3$ $5$ $n \bmod 4$ $O(1)$ $3^n \bmod 25$ $e$ $25$ $n \bmod 20$ $O(1)$ $n \bmod 4$ $5$ $n \bmod \varphi(5^{k-1})$ $3^n \bmod 5^k$ $5$ $n \bmod \varphi(5^k)$

$k$ $n$

$O(n)$ $k=O(n)$ $O(1)$ $O(n)$

— ডিডাব্লিউ
সূত্র