বাধা পজিশনের সাথে টপোলজিকাল সাজানোর জটিলতা

Question

আমি ইনপুট একটি DAG হিসেবে দেওয়া করছি এর এন ছেদচিহ্ন যেখানে প্রতিটি প্রান্তবিন্দু এক্স অতিরিক্ত কিছু লেবেল করা এস ( এক্স ) ⊆ { 1 , ... , এন } ।$G$$n$$x$$S(x) \subseteq \{1, \ldots, n\}$

একটি টপোলজিকাল সাজানোর একটি bijection হয় চ ছেদচিহ্ন থেকে জি থেকে { 1 , ... , এন } যেমন যে সব জন্য এক্স , Y , যদি সেখান থেকে একটি পথ এক্স থেকে Y মধ্যে জি তারপর চ ( এক্স ) ≤ চ ( Y ) । আমি সিদ্ধান্ত নিতে একটি টপোলজিকাল সাজানোর অস্তিত্ব আছে কিনা ইচ্ছুক জি যেমন যে সব জন্য এক্স , চ ( এক্স ) ∈ এস ( $G$$f$$G$$\{1, \ldots, n\}$$x$$y$$x$$y$$G$$f(x) \leq f(y)$$G$$x$ ।$f(x) \in S(x)$

এই সিদ্ধান্ত সমস্যার জটিলতা কি?

[দ্রষ্টব্য: স্পষ্টতই এটি এনপিতে রয়েছে। যদি আপনি অনুমতিযুক্ত ভার্টেক্স / অবস্থানের জোড়গুলির গ্রাফটি দেখে থাকেন তবে তারা অর্ডার লঙ্ঘন করার কারণে যুক্ত হওয়া জুটির মধ্যে অপরিবর্তিত প্রান্ত রয়েছে, আপনি বিচ্ছিন্ন চক্রের একটি গ্রাফ পাবেন যেখানে আপনি প্রতি চক্রের মধ্যে সর্বোচ্চ এক জোড়া বেছে নিতে চান, প্রতি প্রতি এক জোড়া যুক্ত করতে পারেন অবস্থান এবং প্রতি শীর্ষপরিমাণে এক জোড়া - এটি ত্রি-মাত্রিক মিলের সাথে সম্পর্কিত বলে মনে হচ্ছে তবে এই নির্দিষ্ট সমস্যার অতিরিক্ত কাঠামোর সাথে এটি এখনও শক্ত কিনা তা আমি দেখতে পাচ্ছি না]]

Answer 1

আমি মনে করি এই সমস্যাটি এনপি-হার্ড। আমি মিনস্যাট থেকে একটি হ্রাস স্কেচ করার চেষ্টা করি। মিনস্যাট সমস্যাটিতে আমাদের একটি সিএনএফ দেওয়া হয় এবং আমাদের লক্ষ্য সন্তুষ্ট ধারাগুলির সংখ্যা হ্রাস করা। এই সমস্যাটি এনপি-হার্ড, উদাহরণস্বরূপ দেখুন, http://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/S0895480191220836?jorterCode=sjdmec

উল্লম্ব দুটি গ্রুপে বিভক্ত করুন - কিছুটি আক্ষরিক, অন্যের অনুচ্ছেদের প্রতিনিধিত্ব করবে, সুতরাং যেখানে ভি সিএনএফের ভেরিয়েবলগুলির সংখ্যা (সাধারনত এন দ্বারা চিহ্নিত ) এবং সি হ'ল ধারাগুলির সংখ্যা। প্রতিটি আক্ষরিক-প্রান্তবিন্দু থেকে ক্লজ-ভার্টেক্স যেখানে প্রবাহিত হয় সেখানে পরিচালনা করুন। নির্ধারণ এস একটি আক্ষরিক-প্রান্তবিন্দু যে প্রতিনিধিত্ব করে এক্স আমি যেমন { আমি , আমি + + V + + ট } (যেখানে ট একটি অবাধ প্যারামিটার), তাই পারেন চ ( এক্স আমি$n=2v+c$$v$$n$$c$$S$$x_i$$\{i,i+v+k\}$$k$ এবং f ( ˉ x i ) = i + v + k বা f ( ˉ x i ) = i এবং f ( x i ) = i + v + k । প্রতিটি ধারা-ভার্টিক্সের জন্য, এস = { ভ + 1 , … , ভি + কে , 2 ভি + কে + 1 , $f(x_i)=i$$f(\bar x_i)=i+v+k$$f(\bar x_i)=i$$f(x_i)=i+v+k$ , তাই k দফা-ছেদচিহ্ন হয় `ছোট ''।$S=\{v+1,\ldots,v+k,2v+k+1,\ldots,n\}$$k$

এখন সিএনএফ-এর একটি অ্যাসাইনমেন্ট রয়েছে যেখানে উপরের উদাহরণের জন্য যদি আপনার সমস্যা সমাধান করা যায় তবে কেবল কমপক্ষে ধারাগুলি মিথ্যা। MinSAT সমস্যা ঠিক পরীক্ষার জন্যে কিনা CNF সূত্র φ একটি কাজ আছে যা করে তোলে অন্তত ট ক্লজ মিথ্যা, তাই এই শো যে আপনার সমস্যা দ্বারা NP-কঠিন।$k$$\varphi$$k$

আপনাকে এই হ্রাস বুঝতে সাহায্য করার জন্য, স্বজ্ঞাততাটি এখানে দেওয়া হয়েছে: ছোট লেবেলগুলি ( ) সত্য মান মিথ্যা, এবং বড় লেবেল ( v + কে + 1 , … , 2 ভি + কে ) এর সাথে সম্পর্কিত সত্য। আক্ষরিক-অনুভূমিকের জন্য সীমাবদ্ধতাগুলি নিশ্চিত করে যে প্রতিটি x i হয় হয় সত্য বা মিথ্যা এবং ¯ x $1,2,\dots,v+k$$v+k+1,\dots,2v+k$$x_i$$\overline{x_i}$বিপরীত সত্য মান আছে। প্রান্তগুলি নিশ্চিত করে যে কোনও আক্ষরিক সত্য হলে, এর সাথে যুক্ত সমস্ত ধারা-উল্লম্বগুলিও সত্য হিসাবে নির্ধারিত হয়। (এর বিপরীতে, যদি একটি দফা সমস্ত লিটারেল মিথ্যা হস্তান্তর করা হয়েছে, তাহলে এই গ্রাফ গঠন দফা-প্রান্তবিন্দু পারেন মিথ্যা বা সত্য বরাদ্দ করা সম্ভব হবে।) সবশেষে, পছন্দমত নিশ্চিত করে যে ট দফা-ছেদচিহ্ন মিথ্যা নির্ধারিত এবং করছে তাদের মধ্যে সি - কে সত্য বরাদ্দ করা হয়েছে। সুতরাং, যদি সেখানে এই গ্রাফ একটি বৈধ টপোলজিকাল সাজানোর হয়, তাহলে সেখানে ভেরিয়েবল যে অন্তত তোলে একটি কাজ হল ট এর ক্লজ $k$$k$$c-k$$k$$\varphi$মিথ্যা (মিথ্যা বরাদ্দ করা সমস্ত ধারা-উল্লম্বগুলির সবগুলিই মিথ্যা, এবং সম্ভবত সত্যটি বরাদ্দ করা হয়েছে এমন কয়েকটি)) বিপরীতভাবে, যদি সেখানে ভেরিয়েবল যে অন্তত তোলে একটি কাজ হল এর ক্লজ φ মিথ্যা, তারপর এই গ্রাফ একটি বৈধ টপোলজিকাল সাজানোর (আমরা সুস্পষ্ট ভাবে আক্ষরিক-ছেদচিহ্ন জন্য লেবেল পূরণ হয়; এবং জন্য প্রতিটি দফা φ অন্যান্য দফা-ছেদচিহ্ন একটি অবাধ সত্য মান সংশ্লিষ্ট লেবেল গ্রহণ করতে পারে); সত্য যে, আমরা তার সংশ্লিষ্ট দফা-প্রান্তবিন্দু একটি লেবেল সত্যতে অনুরূপ দিতে।$k$$\varphi$$\varphi$

Comments

আপনার উত্তরের জন্য ধন্যবাদ! আমি আপনার স্কেচ বোঝার চেষ্টা করছি আপনি ব্যাখ্যাতে কিছু মনে করবে কে? $k$

— a3nm

@ a3nm: k একটি পরামিতি যা মিনস্যাট ইনপুটটির জন্য দেওয়া হয়।

— domotorp

@ মারজিও: স্যাট সহ মিনস্যাট সমতুল্য নয় গ | পরবর্তী সমস্যাগুলির মতো আমাদেরও সমস্ত দফাটি মিথ্যা হতে হবে। আপনার ϕ এর সব ধরণের মিথ্যা অ্যাসাইনমেন্ট নেই। অবশ্যই এটি আমার হ্রাস সঠিক বলে প্রমাণিত করে না ...$k=|c|$$\phi$

— ডমোটরপ

এটি একটি চমত্কার হ্রাস! @ এ 3 এনএম, আমি ডমোটরপের মার্জিত হ্রাসকে আরও বিশদে বিশদ বোঝাতে উত্তরের একটি সম্পাদনার পরামর্শ দিয়েছি; যদি এটি অনুমোদিত হয়, আশা করি এটি আপনাকে ধারণাগুলি আরও স্পষ্টভাবে বুঝতে সহায়তা করবে।

— DW

@ ডমোটরপ: আপনি ঠিক বলেছেন, মিনস্যাট কী তা আমি পুরোপুরি মিস করেছি। দুর্দান্ত হ্রাস !!!

— মারজিও ডি বায়াসি

Answer 2

মনে রাখবেন যদি আপনি অনুমতি দিয়ে সমস্যা শিথিল নির্বিচারে (অগত্যা bijective) হতে, তাহলে এটি বহুপদী হয়ে যায়। অ্যালগোরিদম টপোলজিকাল বাছাইয়ের জন্য একইভাবে এগিয়ে চলেছে: আপনি একের পর এক অনুচ্ছেদটি সংখ্যাটি সংখ্যায়িত করুন, যার সংখ্যাটি অবিসংখ্যিত উল্লম্বের সেট ইউ বজায় রেখেছেন যার প্রতিবেশী সংখ্যা গণনা করা হয়েছে। যখনই সম্ভব, আপনার চয়ন করা একটি প্রান্তবিন্দু এক্স ∈ ইউ এবং সঙ্গে এটি সংখ্যা ক্ষুদ্রতম উপাদান এস ( এক্স ) তার ইন-প্রতিবেশীদের সংখ্যা তার চেয়ে অনেক বেশী। এটি দেখতে একটি দৃষ্টান্ত যে কঠিন নয় ( জি , এস ) থেকে বিগত অ্যালগরিদম রান iff একটি সমাধান আছে ( জি $f$$U$$x \in U$$S(x)$$(G,S)$ সংখ্যায়িত সমস্ত শীর্ষে সমাপ্ত হয়।$(G,S)$

Comments

যথাযথ বিন্দু, এই শিথিলকরণটির অর্থ হল একটি লোভী হিউরিস্টিক কাজ করে এবং এটি এমন ক্ষেত্রে এমনকি যেখানে সংখ্যাটির সংখ্যাটি নয় তবে একটি স্বেচ্ছাসেবী মান। আমরা কি একমত যে পরবর্তী ক্ষেত্রে, যেখানে ইনজেকটিভিটি এবং সার্জেক্টিভিটি আর সমতুল্য নয়, লোভী urশ্বর্যবাদী কাজ করার জন্য আপনাকে উভয় (এবং কেবল একটি নয়) দু'জনকেই শিথিল করতে হবে? $n$

— a3nm

Answer 3

একটি তুচ্ছ পর্যবেক্ষণ হ'ল যে সবার জন্য এক্স , তাহলে এই সমস্যা 2SAT করার হ্রাস দ্বারা বহুপদী সময় সমাধেয় হয়।$|S(x)| \le 2$$x$

এখানে কিভাবে। একটি পরিবর্তনশীল পরিচয় দিন জন্য প্রতিটি প্রান্তবিন্দু এক্স এবং প্রতিটি আমি যেমন যে আমি ∈ এস ( এক্স ) । প্রতিটি জোড় x , y এর উল্লম্বের জন্য, যদি x থেকে y পর্যন্ত কোনও পথ থাকে তবে আমরা কিছু প্রতিবন্ধকতা পাই: যদি i ∈ S ( x ) , j ∈ S ( y ) , এবং i > j হয় তবে আমরা প্রতিবন্ধকতা পাই ¬ v x , $v_{x,i}$$x$$i$$i \in S(x)$$x,y$$x$$y$$i\in S(x)$$j\in S(y)$$i>j$ । বাইজ্যাকটিভিটি আমাদের প্রতিবন্ধকতার একটি সেট দেয়: প্রতিটি জোড় x , y এর সাথে এক্স ≠ y দিয়ে উল্লম্ব, যদি i ∈ S ( x ) এবং i ∈ S ( y ) হয় তবে আমরা ¬ v x , i ∨ ¬ v y , i যুক্ত করি । সবশেষে, প্রতিটি প্রান্তকে একটি লেবেল নির্ধারণ করা আবশ্যক তা আমাদের আরও একটি প্রতিবন্ধকতার সেট দেয়: প্রতিটি এক্সের জন্য , যদি এস $\neg v_{x,i} \lor \neg v_{y,j}$$x,y$$x\ne y$$i \in S(x)$$i \in S(y)$$\neg v_{x,i} \lor \neg v_{y,i}$$x$$S(x)=\{i,j\}$$v_{x,i} \lor v_{x,j}$$|S(x)|\le 2$$x$

আমি বুঝতে পারি এই পর্যবেক্ষণটি আপনার বিশেষ পরিস্থিতিতে আপনাকে সহায়তা করবে না। এর জন্যে দুঃখিত.