বাউন্ডেড-কার্ডিনালিটি সীমাবদ্ধ-ফ্রিকোয়েন্সি সেট কভার: সান্নিধ্যের কঠোরতা

Question

নিম্নলিখিত বিধিনিষেধের সাথে ন্যূনতম সেট কভার সমস্যাটি বিবেচনা করুন : প্রতিটি সেটে সর্বাধিক উপাদান রয়েছে এবং মহাবিশ্বের প্রতিটি উপাদান সর্বাধিক সেটে ঘটে ।$k$$f$

• উদাহরণ: কেস এবং সর্বাধিক ডিগ্রি 4 সহ গ্রাফের ন্যূনতম ভার্টেক্স কভার সমস্যার সমতুল্য।$k = 4$$f = 2$

যাক বৃহত্তম মান যেমন যে একটি খোঁজার হতে পরামিতি সঙ্গে ন্যূনতম সেট কভার সমস্যার -approximation এবং দ্বারা NP-কঠিন।$a(k,f) > 1$$a(k,f)$$k$$f$

• উদাহরণ: ( বারম্যান এবং কার্পিনস্কি 1999 )।$a(4,2) \ge 1.0128$

প্রশ্ন: আমাদের কাছে এমন একটি রেফারেন্স রয়েছে যা উপরের সবচেয়ে শক্তিশালী নিম্নতম সীমাটি সংক্ষিপ্তসার করে ? বিশেষত, আমি কংক্রিটের মানগুলিতে আগ্রহী যে এবং উভয়ই ছোট তবে ।$a(k,f)$$k$$f$$f > 2$

---

সেট কভার সমস্যার সীমাবদ্ধ সংস্করণগুলি হ্রাস প্রায়শই সুবিধাজনক; সাধারণত এবং এর মানগুলি বেছে নেওয়ার ক্ষেত্রে কিছুটা স্বাধীনতা রয়েছে এবং আরও তথ্য সঠিক মানগুলি চয়ন করতে সহায়তা করবে যা শক্তিশালী কঠোরতার ফলাফল সরবরাহ করে। তথ্যসূত্র এখানে , এখানে , এবং এখানে সূচনা বিন্দু প্রদান কিন্তু তথ্য কিছুটা পুরানো এবং ভগ্ন হয়। আমি ভাবছিলাম যে আরও একটি সম্পূর্ণ এবং আপ টু ডেট উত্স আছে?$k$$f$$a(k,f)$

Comments

এখনও পর্যন্ত উত্তরের জন্য ধন্যবাদ! আসুন একটি অনুগ্রহ শুরু করি এবং দেখুন আমরা আরও অংশগ্রহণ পেতে পারি কিনা। জন্য, যদি কেউ -তুচ্ছ লোয়ার বেঁধে একটি পয়েন্টার দেয় তবে আমি অনুগ্রহটি প্রদান করতে পেরে খুশি হব । $a(3,3)$

— Jukka Suomela

... এবং অনুগ্রহ করে এমন উত্তরে গিয়েছিল যা এমন কিছু দিয়েছে যা নীচে বাউন্ডের নিকটতম ছিল , তবে ন্যায্যতার জন্য, আমি সর্বাধিক গভীর উত্তরটি গ্রহণ করার সিদ্ধান্ত নিয়েছি। সবাইকে ধন্যবাদ; দেখে মনে হচ্ছে ক্ষেত্রে প্রকৃতপক্ষে খোলা আছে। $a(3,3)$$a(3,3)$

— Jukka Suomela

Answer 1

পরিবর্তে আরও সাধারণ প্যারামিটার স্বরলিপি ব্যবহার করে, এটি সর্বাধিক ডিগ্রি ইউনিফর্ম হাইপারগ্রাফের ভার্টেক্স কভার সমস্যাটির সমতুল্য (এবং আমি আরও সাধারণভাবে পরিচিত বলে মনে করি) । সাহিত্য আমি ব্যবহার করছি এর সাথে সঙ্গতির জন্য জোরালো করতে, যেখানে আপনি ব্যবহার , এবং যেখানে আপনি ব্যবহার ।( ট , চ ) ট Δ ট চ Δ $(\Delta,k)$$(k,f)$$k$$\Delta$$k$$f$$\Delta$$k$

যে কোনও ধ্রুবক , ফলাফল উপেক্ষা করে অন্তর্ভুক্ত$\varepsilon > 0$$\Delta$

• $\sup_\Delta\{ a(\Delta,k) \}\leq k$ set সাধারণ সেট কভার থেকে।
• $\sup_\Delta\{ a(\Delta,k) \}\geq k-1-\varepsilon$ (দিনুর এট আল।, 2004) , লেভ দ্বারা উল্লিখিত হিসাবে।
• যদি অনন্য গেমসের অনুমানটি সত্য হয়, তবে , যা আঁটসাঁট (খোত ও রেজেভ, ২০০৮) ।$\sup_\Delta \{a(\Delta,k)\} \geq k-\varepsilon$

উপেক্ষা করে ,$k$

• $\sup_k\{ a(\Delta,k) \}\leq \Delta$ (তুচ্ছ)
• $\sup_k\{ a(4,k) \}\geq 2-\varepsilon$ গেক ওয়ারেপসিলন (হলমারিন, ২০০২)

আমি কেবল জানি যে দুটি পরামিতি একত্রিত হয়

• $a(\Delta,k) \leq k - (1-o(1))\left(\frac{k(k-1)\ln\ln\Delta}{\ln(\Delta)}\right)$ জন্য স্থির , বা slowly (হাল্পেরিন, 2002) দিয়ে ধীরে ধীরে বাড়ছে$k$$k$$\Delta$

এই সমস্যা এবং (দুর্বল) ইন্ডিপেন্ডেন্ট সেট সমস্যার মধ্যে একটি সংযোগ রয়েছে তবে তারা কীভাবে আনুমানিকতার ক্ষেত্রে সম্পর্কিত তা আমি ঠিক নিশ্চিত নই। আমি এটির তদন্তের পরামর্শ দেব, সম্ভবত এখানে থেকে: [পিডিএফ] ।

Comments

পয়েন্টারগুলির জন্য ধন্যবাদ এবং কিছুটা বিভ্রান্তিকর প্যারামিটার ব্যবহারের জন্য ক্ষমা চাই। (আমি প্যারামিটার ব্যবহার সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ হতে চেষ্টা করেন "কমপক্ষে -set কভার", এবং আমি Vazirani এর বই ব্যবহৃত স্বরলিপি অনুসরণ করার সিদ্ধান্ত নিয়েছে।)$k$$k$

— Jukka Suomela

Answer 2

জেমস কিং এর উত্তরে যেমন ব্যবহার করা হয়েছে, সর্বাধিক ডিগ্রি ডিগ্রি হাইপারগ্রাফের ইউনিফর্ম হাইপারগ্রাফের মধ্যে সর্বোত্তম সময়ের বহির্মুখী সময়ের জন্য সর্বাধিক সম্ভাব্য বহুবচনের জন্য স্বরলিপিটি রয়েছে$a(\Delta,k)$$k$$\Delta$

(1)$a(\Delta,k) \leq \ln \Delta + O(1)$

সেট কভারের জন্য লোভী অনুমানের অ্যালগরিদম থেকে: সর্বাধিক degree আকারের সেটগুলির সাথে সেট কভার সমস্যাটি হ'ল , যার জন্য লোভী অ্যালগরিদম সর্বাধিক অনুপাত রয়েছে , যেখানে সুরেলা ফাংশন।$\Delta$$\Delta$$H_\Delta$$H_n = 1 + 1/2 + \ldots 1/n \leq \ln n + O(1)$

ইন এই কাগজ আমি যে দেন

(2)$\sup_k \{ a(\Delta ,k) \} \geq \ln \Delta - O(\ln\ln \Delta)$

যদি না , Feige একটি হ্রাস পরামিতি পরিবর্তন করে।$P=NP$

Answer 3

আপনি যদি ইতিমধ্যে এটি খুঁজে না পান তবে; সাম্প্রতিক অনুসন্ধানে সীমাবদ্ধ-ডিগ্রি ভার্টেক্স কভারের সর্বাধিক সামান্যতম ফলাফলটি হ'ল চ্লেবিক এবং ক্লাবিকোভা , উদাহরণস্বরূপ ঘন গ্রাফের প্রায় 1.01-কঠোরতা।

Answer 4

এটি আপনার প্রশ্নের পুরোপুরি উত্তর দেয় না, তবে সম্ভবত এটি সহায়তা করতে পারে - একটি কাগজ রয়েছে [দিনুর এট আল। 2004] যা এফ> ২ টি কভার করে (তবে কে ঠিক করে নিচ্ছে না)