অ্যাবেলিয়ান লুকানো সাবগ্রুপ সমস্যার জন্য কোয়ান্টাম অ্যালগোরিদম বুঝতে অসুবিধা

11

আমি এএইচএসপি অ্যালগরিদমের শেষ ধাপগুলি বুঝতে অসুবিধা করেছি। $G$ কে একটি আবেলীয় গ্রুপ হতে দিন এবং $f$ ফাংশনটি হও যা উপগোষ্ঠী আড়াল করে $H$ । যাক $G^*$ দ্বৈত গ্রুপ প্রতিনিধিত্ব $G$ ।

এখানে অ্যালগরিদমের পদক্ষেপ রয়েছে

প্রথমে রাষ্ট্র প্রস্তুত করুন,

। $\qquad \displaystyle I=\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} |g\rangle|0\rangle$
তারপর কোয়ান্টাম ওর্যাকল মূল্যায়ণ আবেদন উপর , আমরা পেতে $f$ $I$

। $\qquad \displaystyle I'=\sum_{g \in G} |g\rangle|f(g)\rangle$
এখন দ্বিতীয় qubit পরিমাপ , আমরা পেতে $I'$

$\qquad\displaystyle I'= \left(\frac{1}{|H|}\Sigma_{g \in H} |rh\rangle\right) \otimes |f(rh)\rangle$

কিছু । $r \in G$
এখন আমরা কোয়ান্টাম ফুরিয়ার রূপান্তরটি প্রথম কুইবটে প্রয়োগ করি, আমরা পাই get

, $\qquad \displaystyle I_m = \frac{1}{|H^*|}\sum_{\chi \in H^*} |\chi\rangle$

যেখানে । $H^*= \{\chi \in G^*: \chi(h)=1 ,\forall h \in H\}$

এখন রাজ্য থেকে কিভাবে আমরা গ্রুপের জেনারেটর পেতে পারি ? $I_m$ $H$

ds.algorithms quantum-computing gr.group-theory

— user774025
সূত্র

আমি এএইচএসপিতে অ্যান্ড্রু চাইল্ডসের বক্তৃতা নোটগুলি দৃ reading়ভাবে পড়ার পরামর্শ দিচ্ছি। এগুলি math.uwaterloo.ca/~amchilds/teaching/w13/qic823.html

— রবিন কোঠারি

4

এই ধ্রুপদী পোস্ট-প্রসেসিং অ্যাবেলীয় গোষ্ঠীর বেশ কয়েকটি অ-তুচ্ছ গ্রুপ তাত্ত্বিক বৈশিষ্ট্যগুলি শোষণ করে। আমি এখানে এই ধ্রুপদী অ্যালগরিদম কীভাবে কাজ করে তার একটি প্রয়াসবাদী ব্যাখ্যা লিখেছি [1] ; পড়ার জন্য অন্যান্য ভাল উত্স হ'ল [ 2 , 3 , 4 ]।

সুতরাং, মান ভিত্তিতে অ্যালগরিদম শেষে পরিমাপ আপনি উপাদান দেব অবিশেষে এলোমেলোভাবে। এটা তোলে চেক করতে কঠিন নয় যে সেট হয় চরিত্র দলের (সসীম Abelian) উপদলের ; কারণে, পরে পরিমাপ চক্রের একটি উৎপাদিত সেট সম্ভাব্যতা ব্যাখ্যা মূলকভাবে এক ঘনিষ্ঠ প্রাপ্ত হয়। $H^{*}$ $H^{*}$ $G^{*}$ $O(\log{|G|})$ $H^{*}$

সবচেয়ে প্রযুক্তিগত অংশ পুনর্গঠন হল কিভাবে একটি উৎপাদিত সেট দেওয়া । আসুন এখন থেকে এই সমস্যাটিতে ফোকাস করি। এর জন্য, চরিত্র তত্ত্ব থেকে আমাদের কিছু অনুক্রমের প্রয়োজন হবে। $H$ $H^{*}$

চরিত্র তত্ত্ব

প্রথম সব, যে স্মরণ কর, যখন সসীম Abelian হয়, অক্ষর একটি গোষ্ঠীর isomorphic গঠন এবং তারা হিসেবে লেখা যেতে পারে যে $G$ $G$ ট্যাগচরিত্রেরএকজন উপাদান। মানচিত্রটিএবংমধ্যে একটি আইসোমরফিজম সংজ্ঞায়িত করে, যাতে আমরা উভয় গ্রুপকে সনাক্ত করতে পারি।

χ_{g} (h) = \exp (2 π i \sum_{i = 1}^{m} \frac{g (i) h (i)}{d_{i}}) .

$\begin{equation} \chi_g(h)=\exp{\left(2\pi i \sum_{i=1}^{m} \frac{g(i)h(i)}{d_i}\right)}. \end{equation}$

g

$g$

χ_{g}

$\chi_g$

G

$G$

g \to χ_{g}

$g\rightarrow \chi_g$

G^{*}

$G^*$

G

$G$

এখন, প্রদত্ত , সেট আপনি বর্ণনা Calle হয় এর লম্ব উপগোষ্ঠী উৎস, তার উপর নির্ভর করে বা, এর annihilator । এই উপগোষ্ঠীর কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক বৈশিষ্ট্য রয়েছে: $H$ $H^*$ $H$ $H$

প্রথম সব, এছাড়াও উপগোষ্ঠী হয় ; $H^*$ $G$
এটা দ্বৈত করার অর্থে যে, আমরা যদি ডবল annihilator উপগোষ্ঠী বিবেচনা এ, , এই উপদলের ওপর isomorphic হয় অর্থাত,: । এটি গ্যারান্টি দেয় যে সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানগুলি $H$ $H^{**}$ $H$ $H\cong H^{**}$ অবিকল উপগোষ্ঠী উপাদান যে আপনি চান।
$χ_{g} (h) = 1, for every g \in H^{*}$ $\chi_g(h)=1,\quad \textrm{ for every } g\in H^*$ $H$

গ্রুপে লিনিয়ার সমীকরণ

$X$ $Y$ $b\in Y$ $\alpha:X\rightarrow Y$

α (x) = b

$\alpha(x)=b$

A

$A$

A x = (\begin{matrix} a_{1} (1) & a_{2} (1) & \dots & a_{n} (1) \\ a_{1} (2) & a_{2} (2) & \dots & a_{n} (2) \\ ⋮ & ⋮ & \dots & ⋮ \\ a_{1} (m) & a_{2} (m) & \dots & a_{n} (m) \end{matrix}) (\begin{matrix} x (1) \\ x (2) \\ ⋮ \\ x (n) \end{matrix}) = (\begin{matrix} b (1) \\ b (2) \\ ⋮ \\ b (m) \end{matrix}) \begin{matrix} \mod d_{1} \\ \mod d_{2} \\ ⋮ \\ \mod d_{m} \end{matrix} = b

$\begin{equation} A x= \begin{pmatrix} a_1(1) & a_2(1) & \cdots & a_n(1)\\ a_1(2) & a_2(2) & \cdots & a_n(2)\\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ a_1(m) & a_2(m) & \cdots & a_n(m) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x(1)\\ x(2)\\ \vdots\\ x(n) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b(1) \\ b(2) \\ \vdots\\ b(m) \end{pmatrix} \begin{matrix} \mod d_1\\ \mod d_2\\ \vdots\\ \mod d_m \end{matrix} = b \end{equation}$

Y = Z_{d_{1}} \times \dots \times Z_{d_{m}}

$Y=\mathbb{Z}_{d_{1}}\times\cdots\times \mathbb{Z}_{d_{m}}$

$x_0+\ker{\alpha}$ $x_0$ $\ker{\alpha}$ $\alpha$ $X$ $\ker{\alpha}$ সিস্টেমটিকে প্রায় তির্যক আকারে পুনর্লিখনের জন্য (কিছু অন্যান্য মধ্যবর্তী পদক্ষেপ প্রয়োজনীয়, তবে এটি আপনাকে স্বজ্ঞাত চিত্র দেবে)।

$H$ $\Omega x = 0$ $\Omega$ $\Omega$

— জুয়ান বার্মেজো ভেগা
সূত্র

2

$I_m$ $\chi \in G^*$

$n$ $n$ $G$ $K$ $G^*$

$H$ $H^*$ $K$

$n$

— ডব্লিউজে জেং
সূত্র