পিএলএসে সমস্যার জন্য স্থানীয় অপটিমার সংখ্যা গণনা করা কতটা কঠিন?

Question

একটি জন্য বহুপদী স্থানীয় অনুসন্ধান সমস্যা , আমরা জানি যে অন্তত এক সমাধান (স্থানীয় সর্বোত্তম) থাকা আবশ্যক। তবে আরও অনেকগুলি সমাধান থাকতে পারে, পিএলএস-সম্পূর্ণ সমস্যার সমাধানের সংখ্যা গণনা করা কতটা কঠিন? আমি বিশেষত সিদ্ধান্তের সমস্যায় আগ্রহী : এই পিএলএস-সম্পূর্ণ সমস্যার উদাহরণটিতে কি আরও দুটি বা আরও সমাধান রয়েছে?

জটিলতাটি কোন PLS- সম্পূর্ণ সমস্যাটি আমরা বেছে নিই তার উপর নির্ভর করে? যদি তা হয় তবে আমি ভারী 2 এসএটি ([এসওয়াই 91] এবং [রাউ 10] তে সংজ্ঞায়িত) হিসাবে বিশেষভাবে আগ্রহী হবে । আমি জানি যে 2SAT এর জন্য সন্তোষজনক সমাধানের সংখ্যা গণনা # পি-সম্পূর্ণ, তবে প্রথম নজরে দেখে মনে হচ্ছে স্থানীয় ওজনযুক্ত 2 এসএটি এর অপটিমা এবং 2 স্যাট এর সমাধানগুলিতে এতটা সাধারণ নেই।

আমি আরও জানি যে পিএলএস এর কাজিন পিপিএডের জন্য, [সিএস ০২] দেখায় যে ন্যাশ ভারসাম্যের সংখ্যা গণনা # পি-হার্ড। এটি পরামর্শ দেয় যে ভিড়ের খেলাগুলিতে খাঁটি-কৌশল ভারসাম্যের সংখ্যা গণনা করার মতো অনুরূপ পিএলএস সমস্যাগুলিও শক্ত হবে।

তথ্যসূত্র

[CS02] কনুইজার, ভি।, এবং স্যান্ডহোম, টি। (2002)। ন্যাশ ভারসাম্য নিয়ে জটিলতার ফলাফল। আইজেসিএআই -03 । সিএস / 0205074 ।

[রাউ 10] টি রাফগার্ডেন। (2010)। কম্পিউটিং ভারসাম্য: একটি গণনামূলক জটিলতার দৃষ্টিভঙ্গি। অর্থনৈতিক তত্ত্ব , 42: 193-236।

[এসওয়াই 91] এএ শ্যাফার এবং এম। ইন্নাকাকিস। (1991)। সহজ স্থানীয় অনুসন্ধান সমস্যাগুলি যা সমাধান করা শক্ত। কম্পিউটারে সিয়াম জার্নাল , 20 (1): 56-87।

Answer 1

আমি আপনার প্রশ্নের আংশিক উত্তর দিতে পারি: পিএলএস-সম্পূর্ণ অনুসন্ধান সমস্যার স্থানীয় অপটিমা গণনা করা সত্যিই # পি-হার্ড হতে পারে।

প্রথমত, যোশিও যেমন উল্লেখ করেছেন, পিএলএসে একটি অনুসন্ধান সমস্যা আছে , যার সাথে সম্পর্কিত গণনা সমস্যা # পি-সম্পূর্ণ। (তবে পি 1 পিএলএস-সম্পূর্ণ কিনা তা আমরা জানি না )) পি 2 কে কিছু পিএলএস-সম্পূর্ণ সমস্যা হতে দিন। তারপর সংজ্ঞায়িত পি ' যা, ইনপুটের ( এক্স , আমি ) জন্য আমি ∈ { 1 , 2 } , জন্য ইনপুট একটি স্থানীয় সর্বোত্তম জন্য অনুরোধ এক্স থেকে সম্মান সঙ্গে পি আমি । এই সমস্যাটি পি 1 , পি 2 এর পিএলএস সদস্যপদ লাভ করে$P_1$$P_1$$P_2$$P'$$(x, i)$$i \in \{1, 2\}$$x$$P_i$$P_1, P_2$, এর পিএলএস-সম্পূর্ণতা উত্তরাধিকার সূত্রে প্রাপ্ত , এবং গণনা সমস্যার জন্য পি 1 এর # পি-সম্পূর্ণতা উত্তরাধিকার সূত্রে প্রাপ্ত ।$P_2$$P_1$

একইভাবে, কেউ একটি (কৃত্রিম) পিএলএস-সম্পূর্ণ সমস্যা তৈরি করতে পারেন যার জন্য এটি একাধিক স্থানীয় সর্বোত্তম আছে কিনা তা সিদ্ধান্ত নেওয়ার জন্য এনপি-সম্পূর্ণ। পূর্ববর্তী যুক্তি অনুসারে, একটি পিএলএস-সম্পূর্ণ সমস্যা "একসাথে" একসাথে পিএলএস সমস্যা পি 2 , ইনপুট-এ বুলিয়ান সূত্রে ψ , একাধিক সম্পর্কিত স্থানীয় সর্বোত্তম iff satis সন্তোষজনক।$P_1$$P_2$$\psi$$\psi$

এই ধরণের নির্মাণগুলি কিছুটা অসন্তুষ্ট হয় কারণ আমরা একটি অনুসন্ধান সমস্যা তৈরির চেষ্টা করছি Q এর দুটি দৃ properties়তা বৈশিষ্ট্য রয়েছে তবে কিউ এর ডোমেনটি দুটি টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো করে বিভক্ত, যার প্রতিটিতে দুটি বৈশিষ্ট্যের মধ্যে একটিরই থাকতে পারে। নীচে আমি কীভাবে দেখাব যে পিএলএসে একটি অনুসন্ধান সমস্যা পি 1 দেওয়া হয়েছে যার সাথে সম্পর্কিত গণনা সমস্যা # পি-সম্পূর্ণ, এবং পিএলএস-সম্পূর্ণ সমস্যা পি 2 দেওয়া হয়েছে , কোনও পিএলএস সমস্যা প্রশ্ন সংজ্ঞায়িত করতে পারে যা উভয়ই গণনা হিসাবে শক্ত পি 1 এবং "উদাহরণস্বরূপ" ফ্যাশনে পি 2 এর জন্য অনুসন্ধান করুন ।$Q$$Q$$P_1$$P_2$$Q$$P_1$$P_2$

যথা, আমরা মতো প্রদর্শন করব যে ইনপুট এক্স- তে P 1 এর গণনা সমস্যা সমাধান করা কার্যকরভাবে ইনপুট এক্স- তে Q এর গণনা সমস্যা সমাধান করতে হ্রাস করে এবং ইনপুট এক্স- তে P 2- এর অনুসন্ধানের সমস্যাটি Q- এর অনুসন্ধানের সমস্যাটিকে হ্রাস করে ইনপুট এক্স ।$Q$$P_1$$x$$Q$$x$$P_2$$x$$Q$$x$

উপস্থাপনার সরলতার জন্য, আমরা অনুমান যেমন যে কোন ইনপুট হয় এক্স দৈর্ঘ্যের এন প্রার্থী-সমাধান সঙ্গে যুক্ত স্থান এক্স bitstrings শেষ হয়ে গেছে Y দৈর্ঘ্যের এন গ কিছু গ (কিন্তু জন্য বিভিন্ন পাড়া কাঠামোর সঙ্গে পি 1 , পি 2 )। আসুন এফ আমি ( এক্স , Y ) সঙ্গে যুক্ত সুস্থতা কার্যকারিতা হতে পি আমি ।$P_1, P_2$$x$$n$$x$$y$$n^c$$c$$P_1, P_2$$F_i(x, y)$$P_i$

ইনপুটের , সার্চ জন্য স্থান প্রশ্ন tuples শেষ হয়ে গেছে ( Y 1 , Y 2 , z- র , খ ) যেখানে প্রতিটি Y আমি হয় { 0 , 1 } এন গ , z- র ∈ { 0 , 1 } n সি + 1 , এবং খ ∈ { 0 , 1 $x \in \{0, 1\}^n$$Q$$(y^1, y^2, z, b)$$y^i$$\{0, 1\}^{n^c}$$z \in \{0, 1\}^{n^c + 1}$$b \in \{0, 1\}$। Q এর ফিটনেস ফাংশন হিসাবে , আমরা সংজ্ঞায়িত করি$F(x, (y^1, y^2, z, b))$$Q$

যদি খ = 1 , $F(x, (y^1, y^2, z, b)) := F_1(x, y^1) + F_2(x, y^2)$$b = 1$

যদি খ = 0 হয় ।$F(x, (y^1, y^2, z, b)) := ||y^1|| + ||z|| + F_2(x, y^2)$$b = 0$

(ওপরে হামিং ওজন।

এর পার্শ্ববর্তী কাঠামোর জন্য , আমরা প্রতিটি টিপল ( এক্স , ( y 1 , y 2 , z , 1 ) ) ( বি = 1 ) এর সাথে সমস্ত টিপলস ( এক্স , ( ( y ′ )) 1 , ( y ′ ) 2 এর সাথে সংযুক্ত করি , z ′ , 1 ) ) এমন$Q$$(x, (y^1, y^2, z, 1))$$b = 1$$(x, ((y')^1, (y')^2, z', 1))$

(ক) সাথে সংযুক্ত করা হয় ( এক্স , ( Y ' ) আমি ) অনুযায়ী পি আমি জন্য আমি = 1 , 2 , এবং$(x, y^i)$$(x, (y')^i)$$P_i$$i = 1, 2$

(বি) ভিন্ন সর্বাধিক 1 তুল্য।$z, z'$

সহ টিপলসগুলির জন্য , আমরা সমস্ত x টি ( x , ( y 1 , y 2 , z , 0 ) ) এর সাথে সংযুক্ত করি ( x , ( ( y ′ ) 1 , ( y ′ ) 2 , z ′ , 0 ) ) যেমন যে$b = 0$$(x, (y^1, y^2, z, 0))$$(x, ((y')^1, (y')^2, z', 0))$

(এ ') পি 2 , এবং অনুযায়ী ( x , ( y ′ ) 2 ) এর সাথে সংযুক্ত$(x, y^2)$$(x, (y')^2)$$P_2$

(বি ') সর্বাধিক 1 পার্থক্য তুল্য, যেমন কি Y 1 , ( Y ' ) 1 ।$z, z'$$y^1, (y')^1$

(নোট সঙ্গে tuples যাদের থেকে বিচ্ছিন্ন হন খ = 1 ।)$b = 0$$b = 1$

এটাই এর সংজ্ঞা । আশেপাশেরগুলি প্রয়োজনীয় হিসাবে বহুবর্ষীয় আকারের, তাই Q পিএলএসে রয়েছে। $Q$$Q$

দাবি: length- জন্য স্থানীয় অপটিমা ইনপুট x অনুযায়ী প্রশ্ন ঠিক হয় নিম্নলিখিত দুটি টুকরো করা সেট:$n$$x$$Q$

(1) সব tuples , যেখানে ( এক্স , Y আমি ) স্থানীয় সর্বোত্তম হয় পি আমি প্রত্যেকের জন্য আমি = 1 , 2 (এবং z- র , নির্বিচারে এবং খ = 1 ); এবং,$(x, (y^1, y^2, z,1))$$(x, y^i)$$P_i$$i = 1, 2$$z$$b = 1$

(২) সমস্ত টিপল , যেখানে ( x , y 2 ) পি 2 এর স্থানীয় সর্বোত্তম , এবং যেখানে z , y 1 উভয়ই সমস্ত -1, এবং খ = 0 ।$(x, 1^{n^c}, y^2, 1^n, 0))$$(x, y^2)$$P_2$$z, y^1$$b = 0$

$Q$$(x, (y^1, y^2, z,b))$$Q$$x$$(x, y^2)$$P_2$$x$$P_2$

$N(x)$$x$$Q$$(2^{n^c + 1} N_1(x) + 1) \cdot N_2(x)$$N_i(x)$$x$$P_i$$N_2(x)$$[1, 2^{n^c}]$

$N_2(x) = N_2(x)$$2^{n^c + 1} = (2^{n^c + 1} N_1(x) + 1) \cdot N_2(x)$$2^{n^c + 1} = N(x)$$2^{n^c + 1}$

$N_2(x)$$N(x)$$N_1(x)$$N_1(x) = \left(\frac{N(x)}{N_2(x)} - 1\right)/2^{n^c + 1}$$N_1(x)$$N(x)$$Q$$P_1$$Q$

---

"উদাহরণস্বরূপ" ফ্যাশনে স্থানীয় অপটিমের স্বতন্ত্রতা সিদ্ধান্ত নেওয়ার एनপি-কঠোরতার সাথে পিএলএস-কঠোরতার সংমিশ্রণের জন্য কীভাবে এই হ্রাস দেওয়া যায় তা আমি জানি না।

$V(x, y)$$L$

$Q$$Q$

Comments

তোমার চেয়ে অ্যান্ডি! এটি খুব দরকারী। আমি সবকিছু অনুসরণ করেছি তা নিশ্চিত করতে আমাকে আরও কয়েকবার পড়তে হবে।

— আর্টেম কাজনাটচিভ

Answer 2

দ্বিপক্ষীয় গ্রাফগুলিতে সর্বাধিক মিলের সমস্যাটি বিবেচনা করুন। সম্ভাব্য সমাধানগুলির পরিবার সমস্ত ম্যাচগুলি নিয়ে গঠিত এবং স্থানীয় অনুসন্ধানগুলি বর্ধিত পথগুলি অনুসন্ধান করার মাধ্যমে সম্পাদিত হয়। সমস্যাটি পিএলএসের অন্তর্গত, কারণ একটি বর্তমানের মিলটি সর্বাধিক না হলে এবং বহুবর্ষীয় সময়ে সর্বাধিকতা পরীক্ষা করা যায় তবে বহুগুণে একটি বৃদ্ধির পথটি পাওয়া যায়। যে কোনও স্থানীয় অনুকূলটি সর্বাধিক মিল (অর্থাত্ গ্লোবাল সর্বোত্তম)। তবে, দ্বিপক্ষীয় গ্রাফে সর্বাধিক মিলের সংখ্যা গণনা করা # পি-হার্ড।

যেহেতু একটি বহিরাগত সময়ে স্থানীয় সর্বোত্তম খুঁজে পাওয়া যায়, তাই সমস্যাটি পিএলএস-সম্পূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা কম। সুতরাং, আমি ভয় করছি যে এটি কোনও উদ্দেশ্যযুক্ত উত্তর নয় (আপনার প্রশ্নটি পিএলএস-সম্পূর্ণ সমস্যার মধ্যে সীমাবদ্ধ)। তবে, আমার উল্লেখ করা উচিত যে স্থানীয় অপটিমাকার সংখ্যা গণনা শক্ত হতে পারে যদিও একটি স্থানীয় সর্বোত্তম কার্যকরভাবে পাওয়া যায়।

Comments

ধন্যবাদ! সাধারণভাবে # পি-কঠোরতা সম্পর্কে জানতে এটি একটি ভাল সাধারণ বিষয় (এবং কেন আমি 2SAT উল্লেখ করেছি)। আমি পিএলএস-সম্পূর্ণ সমস্যার জন্য কিছু প্রতিক্রিয়া পাওয়ার প্রত্যাশায় প্রশ্নটি উন্মুক্ত রাখব এবং বিদ্যমান দুটি বা ততোধিক সমাধান থেকে বিদ্যমান একক সমাধানের মধ্যে পার্থক্য করার বিষয়েও আমি আরও জোর দিয়েছি (এটি আসলে আমি সবচেয়ে আগ্রহী)।

— আর্টেম কাজনাটচিভ

যেহেতু সর্বাধিক মিলের স্বতন্ত্রতা দক্ষতার সাথে চেক করা যায়, তাই আপনার প্রশ্নের যে প্রশ্নটি সবচেয়ে বেশি আগ্রহী তার জন্য আমার উত্তর সন্তোষজনক নয় Thank ধন্যবাদ।

— ইয়োশিও ওকামোটো