একটি ঘন নাবালকের গণনা করার জটিলতা

Question

নিম্নলিখিত সমস্যা বিবেচনা করুন।
ইনপুট: একটি পুনর্নির্দেশিত গ্রাফ । আউটপুট: একটি গ্রাফ এইচ, যা জি এর অপ্রাপ্তবয়স্কদের মধ্যে সর্বাধিক প্রান্ত ঘনত্ব সহ, যা সর্বোচ্চ অনুপাত সহ G এর একটি অপ্রাপ্তবয়স্ক | ই ( এইচ ) | / | ভি ( এইচ ) | ।$G=(V,E)$
$H$$G$$G$$|E(H)|/|V(H)|$

এই সমস্যাটি কি অধ্যয়ন করা হয়েছে? এটি বহুগুণে সমাধানযোগ্য বা এটি এনপি-হার্ড? আমরা যদি না বঞ্চিত নাবালিকাদের ক্লাসের মতো সীমাবদ্ধ গ্রাফ শ্রেণি বিবেচনা করি?

আমরা যদি এর পরিবর্তে ঘন সাবগ্রাফের জন্য জিজ্ঞাসা করি তবে বহুবর্ষের সময় সমস্যাটি সমাধানযোগ্য । আমরা একটি অতিরিক্ত প্যারামিটার যুক্ত করে থাকেন এবং densest subgraph জন্য অনুরোধ ট ছেদচিহ্ন, সমস্যা দ্বারা NP-সম্পূর্ণ (এই থেকে একটি সহজ হ্রাস হয় ট -clique)।$k$$k$$k$

Comments

আমার কাগজ "নাবালক-বন্ধ গ্রাফ পরিবারের ঘনত্ব" (বৈদ্যুতিন জে। কম্বিনেটরিক্স 17 (1), কাগজ আর 136, 2010, সংযুক্তিবিদ্যা.অর্গ / ভলিউম_17/ অ্যাবস্ট্রাক্টস / ভি 17 আই 1r136 এইচটিএমএল ) প্রায় সংখ্যালঘু নাবালিকা, তবে ছোটখাট-বন্ধ গ্রাফ পরিবারগুলিতে পরিবর্তে পৃথক গ্রাফ। আপনি সেখানে আপনার প্রশ্নের সাথে সম্পর্কিত কিছু খুঁজে পেতে পারেন।

— ডেভিড এপস্টিন

এটি নিম্নলিখিত প্রশ্নের সাথে সম্পর্কিত কিছু বলে মনে হচ্ছে। গ্রাফ দেওয়া সর্ববৃহৎ উপদল ছোটখাট আকার কি জি ? এর জন্য কি কোনও ফলাফল জানা আছে? $G$$G$

— চন্দ্র চেকুরি 21

বৃহত্তম চক্র নাবালক হ'ল এনপি-সম্পূর্ণ। আমার কাগজটি দেখুন "বৃহত্তর চক্র নাবালিকাদের সন্ধান করা কঠিন", জে গ্রাফ অ্যালগরিদমস এবং অ্যাপ্লিকেশনস 13 (2): 197-204, 2009, jgaa.info/accepted/2009/Eppstein2009.13.2.pdf

— ডেভিড

Answer 1

ঠিক আছে, যেহেতু এখানে উত্তরের পথে এখনও কিছুই নেই, তাই আমাকে কমপক্ষে কয়েকটি সাধারণ পর্যবেক্ষণ করা যাক:

সীমাবদ্ধ বৃক্ষের প্রস্থের গ্রাফগুলির জন্য গাছের পচন স্থলে ডায়নামিক প্রোগ্রামের সাধারণ ধরণের দ্বারা একটি ঘনতম নাবালক (বা এমনকি নির্দিষ্ট সংখ্যক প্রান্ত এবং শীর্ষে একটি গৌণ) সন্ধান করা উচিত, যেখানে গতিশীল প্রোগ্রামের প্রতিটি রাজ্য ট্র্যাক রাখে পঁচনের উপশ্রে বসবাসকারী নাবালকের অংশে প্রান্ত এবং শীর্ষে সংখ্যা, ক্ষুদ্র অংশগ্রহনের অংশে যে পচনের ব্যাগে অনুভূমিকের উপসেট দেখা যায়, সামগ্রিকভাবে ছোটখাটো সংকোচনজনিত কারণে এই উপসেটটিতে শীর্ষে অবস্থিত সমতা গ্রাফ, এবং এই সমতা সম্পর্কের একটি পরিমার্জন সাবট্রিতে বাস করা নাবালকের অংশে সংকোচনের কারণে ঘটে।

যদি তা হয়, তবে এটি অনুসরণ করবে, ঘনত্ব যখন তিনটির নীচে থাকে, তখন বহুবর্ষীয় সময়ে ঘনত্বীয় নাবালিকাকে খুঁজে পাওয়া সম্ভব হবে (একটি ধ্রুবক ফ্যাক্টরের সাথে যা তিনটির ঘনত্বের কতটা কাছাকাছি তার উপর নির্ভর করে)। কারণ, যে গ্রাফগুলির ঘন অপ্রাপ্ত বয়স্কের ঘনত্ব প্ল্যানার নিষিদ্ধ নাবালিক এবং তাই বৃক্ষের প্রশস্ততা সীমিত করে দেয়।$\le 3-\epsilon$

Answer 2

$G$$k\in \mathbb{N}$$G$$k$$d$$d/2$

$k$$k$$O(n^3)$