এর পতন কি

বহু স্তরের শ্রেণিবিন্যাসের প্রতিটি স্তরের অন্তর্ভুক্ত are $\Delta_i^{\text{P}}$ , $\text{DP}$ , $\text{BH}_k$ এবং সহ বিভিন্ন জটিলতা ক্লাস $\Sigma_i^\text{P} \cap \Pi_i^\text{P}$ । উন্নত পরিভাষার অভাবের জন্য, আমি এগুলি এবং অন্য যে কোনওটিকে বহুপদী শ্রেণিবিন্যাসের এবং স্তরের মধ্যবর্তী শ্রেণি হিসাবে উল্লেখ করব । এই প্রশ্নের উদ্দেশ্য পূরণকল্পে, অনুমান তারা অন্তর্ভুক্ত ক্লাস আছে $i$ $i+1$ $\Sigma_{i+1}^\text{P} \cap \Pi_{i+1}^\text{P}$ তবে $\Sigma_i^\text{P}$ এবং / অথবা $\Pi_i^\text{P}$ । আমরা সহ এড়াতে চান $\Sigma_{i+1}^\text{P} \cap \Pi_{i+1}^\text{P}$ , সম্ভব হলে যেমন জাভাস্ক্রিপ্টে গার্বেজ সমতূল্য $\text{PH}$ যদি এটি ভেঙে পড়লে ${i+1}^{th}$ স্তর।

অতিরিক্ত হিসাবে, নিম্নোক্তটি সংজ্ঞায়িত:
$\text{DP}_i = \left \{ L \cap L' : L \in \Sigma_i^\text{P} \text{ and } L' \in \Pi_i^{\text{P}} \right \}$

উপরেরটি ক্লাসের $\text{DP}$ ( লেখা থাকে $\text{D}^\text{P}$ ) এর একটি সাধারণীকরণ । এই সংজ্ঞায়, $\text{DP}$ সমান । এটি অন্য cstheory.se প্রশ্নে বিবেচনা করা হয় । এটি দেখতে সহজ যে এবং উভয় ধারণ এবং । $\text{DP}_1$ $\text{DP}_i \subseteq \Delta_{i+1}^{\text{P}}$ $\Sigma_i^\text{P}$ $\Pi_i^\text{P}$

রেফারেন্স ডায়াগ্রাম:

পিএইচ এর চিত্র

প্রশ্ন:
যে ধরুন বহুপদী hierachy করার ভেঙে স্তর, কিন্তু আছে না করার ভেঙ্গে স্তর। অর্থাৎ, এবং । ${i+1}^{th}$ $i^{th}$ $\Sigma_{i+1}^\text{P}=\Pi_{i+1}^\text{P}$ $\Sigma_{i}^\text{P}\neq\Pi_{i}^\text{P}$

আমরা নীচে কোনো স্তরের এই অন্তর্বর্তী নিজেদের শ্রেণীর এবং অন্যদের মধ্যে সম্পর্ক সম্পর্কে আরো কিছু বলতে পারেন ? জটিলতা ক্লাসগুলির সংগ্রহের জন্য কি কোনও স্কীমা আছে যেখানে প্রতিটি সংগ্রহের জন্য ক্লাসগুলি সমান হয় যদি এবং কেবলমাত্র নির্বিচারে নির্বাচিত স্তরে একেবারে ধসে পড়ে? $i+1$ $\text{PH}$

ঠিক একটি অনুসরণ হিসাবে, ধরুন যে শ্রেণিবিন্যাস এই মধ্যবর্তী শ্রেণির যে কোনও একটিতে (যেমন ) ধসে পড়েছে । নির্বাচিত শ্রেণীর উপর নির্ভর করে, আমরা কি জানি যে এই পতনটি অবশ্যই নীচের দিকে, এমনকি স্তরেও অব্যাহত রাখতে হবে ? $\Delta_{i+1}^{\text{P}}$ $i^{th}$

উপরের প্রশ্নটি আংশিকভাবে অন্বেষণ করা হয়েছিল এবং হেমাস্প্যান্ড্রা এট দ্বারা একটি গবেষণাপত্রে উত্তর দেওয়া হয়েছিল। আল:
বহুবর্ষীয় হায়ারার্কির অভ্যন্তরে একটি নিম্নগামী সংক্ষিপ্তকরণ
কি এই গবেষণাপত্রে উল্লিখিত অতিরিক্ত উদাহরণগুলি সম্পর্কে কেউ জানতে পেরেছেন বা ক্লাসটি সম্পাদন করার জন্য কী ঘটতে হবে তা সম্পর্কে আরও স্বজ্ঞাততা পেয়েছেন?

cc.complexity-theory polynomial-hierarchy

— mdxn
সূত্র

আমার একটি ভাল উত্তর নেই, তবে জটিলতার চেতনায় আমার কিছু উত্তর রয়েছে যা থেকে বোঝা যায় যে একটি ভাল উত্তর আসতে অসুবিধা হতে পারে :)।

নোট করুন যে ল্যাডনারের উপপাদ্যের সাধারণ সংস্করণ থেকে বোঝা যাচ্ছে যে মধ্যে অনেকগুলি পল-টাইম ডিগ্রি রয়েছে এবং এর উপরে কঠোরভাবে কোনও পলি-টাইম ডিগ্রি রয়েছে। বিশেষত, যদি শ্রেণিবিন্যাসটি -স্তর পর্যন্ত ভেঙে যায় তবে তম নয়, তবে এর মধ্যে রয়েছে অনেকগুলি পি-ডিগ্রি $\mathsf{\Sigma_i P}$ $i+1$ $i$ এবং । $\mathsf{\Sigma_i P}$ $\mathsf{\Sigma_{i+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{i+1} P}=\mathsf{\Sigma_{i+1} P}$
যদি আমি সঠিকভাবে মনে করি, এমন একটি ওরাকল নির্মাণ করা যার জন্য দেখতে পাটিগণিত শ্রেণিবিন্যাসের মতো দেখতে এখনও একটি উন্মুক্ত সমস্যা। "গাণিতিক শ্রেণিবিন্যাসের মতো দেখতে" এর দ্বারা, আমার অর্থ ধসে পড়ে না, এবং সমস্ত । এটি অন্ততপক্ষে পরামর্শ দেয় যে আপনার প্রশ্নের উত্তর জানা নাও যেতে পারে। $\mathsf{PH}$ $\mathsf{PH}$ $\mathsf{\Sigma_{k} P} \cup \mathsf{\Pi_k P} \subsetneq \mathsf{\Delta_{k+1} P} = \mathsf{\Sigma_{k+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{k+1} P}$ $k$
Ker-আমি কো ওরাকেল যেখানে তিনি মাত্রা আলাদা দেয় সেই থেকে । যেহেতু এই দুটি শ্রেণিবিন্যাস একে অপরকে জড়িত করে, এটি আপনাকে স্তরগুলির মধ্যে সমস্যার পুনরায় সংযোগযোগ্য পতন সম্পর্কে কমপক্ষে কিছু তথ্য দেয় । $\mathsf{BPH}$ $\mathsf{PH}$ $\mathsf{PH}$
এই পরবর্তী রেফারেন্সটি ভুল দিক, তবে আপনি ফলাফল এবং এর কৌশলগুলিতেও আগ্রহী হতে পারেন। চ্যাং এবং কাদিন দেখিয়েছেন যে যদি বুলিয়ান শ্রেণিবদ্ধতা (যা পুরোপুরি এর দ্বিতীয় স্তরের নীচে থাকে , তবে পুরো স্তরের স্তরে প্রসারিত হয় ) তার স্তরের স্তরে পতিত হয় তবে বুলিয়ান এর স্তরের স্তরে পতিত হয় ওভার অনুক্রমের । $\mathsf{PH}$ $\mathsf{DP}$ $k$ $\mathsf{PH}$ $k$ $\mathsf{\Sigma_2 P}$

— জোশুয়া গ্রোচো
সূত্র

উচিত

হতে

Σ_{k} P \cup Π_{k} P ⊊ Δ_{k} P = Σ_{k + 1} P \cap Π_{k + 1} P

$\mathsf{\Sigma_{k} P} \cup \mathsf{\Pi_k P} \subsetneq \mathsf{\Delta_k P} = \mathsf{\Sigma_{k+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{k+1} P}$

Δ_{k} P = Σ_{k} P \cup Π_{k} P ⊊ Δ_{k + 1} P = Σ_{k + 1} P \cap Π_{k + 1} P ?

$\mathsf{\Delta_{k} P}=\mathsf{\Sigma_{k} P} \cup \mathsf{\Pi_k P} \subsetneq \mathsf{\Delta_{k+1} P} = \mathsf{\Sigma_{k+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{k+1} P}?$

— টি ....

Σ_{k - 1}^{P} \cup Π_{k - 1}^{P} \subseteq Δ_{k}^{P} \subseteq Σ_{k}^{p} \cap Π_{k}^{P} \subseteq Σ_{k}^{P} \cup Π_{k}^{P}

$\Sigma_{k-1}^P\cup\Pi_{k-1}^P\subseteq \Delta_k^P\subseteq \Sigma_k^p\cap\Pi_k^P\subseteq \Sigma_k^P\cup\Pi_k^P$

P = Σ_{0}^{P} \cup Π_{0}^{P} = P \cup P \subseteq Δ_{1}^{P} = P \subseteq Σ_{1}^{p} \cap Π_{1}^{P} = N P \cap c o N P \subseteq Σ_{1}^{P} \cup Π_{1}^{P} = N P \cup c o N P \subseteq Δ_{2}^{P} = P^{N P} \subseteq Σ_{2}^{P} \cap Π_{2}^{P} \subseteq Σ_{2}^{P} \cup Π_{2}^{P} \dots

$P=\Sigma_{0}^P\cup\Pi_{0}^P=P\cup P\subseteq \Delta_1^P=P\subseteq \Sigma_1^p\cap\Pi_1^P=NP\cap coNP\subseteq \Sigma_1^P\cup\Pi_1^P=NP\cup coNP\subseteq \Delta_2^P=P^{NP}\subseteq\Sigma_2^P\cap\Pi_2^P\subseteq\Sigma_2^P\cup\Pi_2^P\dots$