অন্তরগুলির তালিকাগুলির মধ্যে মনোোটোন বাইজিকেশন

আমি নিম্নলিখিত সমস্যা আছে:

ইনপুট: দুটি অন্তরাল এবং (সমস্ত শেষ পয়েন্টগুলি পূর্ণসংখ্যা) এর দুটি সেট । অনুসন্ধান: একটি একঘেয়েমি বাইজেকশন আছে ? $S$ $T$
$f:S \to T$

বাইজাকশনটি এবং তে সেট অন্তর্ভুক্তির আদেশটি একঘেয়ে তৈরি করে । $S$ $T$

\forall X \subseteq Y \in S, f (X) \subseteq f (Y)

$\forall X\subseteq Y \in S, \ f(X) \subseteq f(Y)$

[আমি এখানে বিপরীত শর্তের প্রয়োজন নেই। আপডেট করুন: যদি বিপরীত অবস্থা হতো, অর্থাত, , তারপর এই PTIME হবে কারণ এটি সংশ্লিষ্ট অন্তর্ভুক্তি posets এর isomorphism পরীক্ষামূলক পরিমাণ (যা আছে অর্ডার মাত্রা 2 নির্মাণের মাধ্যমে), যা পিটিটাইমে মুরিংয়ের দ্বারা, অর্ডারড সিটের কমপ্যুটেটিভ ট্র্যাকটেবল ক্লাস , থিয়োরেম 5.10, পি। 61। $\forall X, Y, X\subseteq Y \Leftrightarrow f(X) \subseteq f(Y)$ ]

সমস্যাটি : প্রদত্ত মোনোটোন বাইজেকশন হলে আমরা দক্ষতার সাথে তা পরীক্ষা করতে পারি । $\mathsf{NP}$ $f$

এই সমস্যাটির জন্য কি বহু-কালীন অ্যালগরিদম রয়েছে? নাকি এটি -হার্ড? $\mathsf{NP}$

প্রশ্নটি অর্ডার মাত্রা 2 প্রদত্ত দুটি পোজেটের মধ্যে একরঙা বাইজিকেশনটির অস্তিত্ব হিসাবে আরও সাধারণভাবে বলা যেতে পারে ।

এই প্রশ্নের উত্তরে অনুপ্রাণিত একটি হ্রাস ব্যবহার করে , আমি জানি যে মাত্রা সীমিত না হলে সমস্যাটি হার্ড। তবে মাত্রা সীমাবদ্ধ থাকলে এই হ্রাসও কার্যকর হবে কিনা তা পরিষ্কার নয় is $\mathsf{NP}$

আমি ট্র্যাকটিবিলিটি সম্পর্কে জানতে আগ্রহী যখন মাত্রাটি কেবল কিছু স্বেচ্ছাচারী ধ্রুবক দ্বারা আবদ্ধ হয় (কেবল 2 নয়)।

— a3nm
সূত্র

S

$S$

I_{1}, I_{2}, . . ., I_{n}

$I_1,I_2,...,I_n$

n + 1

$n+1$

I_{i} \subseteq I_{j}

$I_i \subseteq I_j$

(I_{j} \to I_{i})

$(I_j \rightarrow I_i)$

I_{i} \subseteq I_{j_{1}}, . . ., I_{j_{m}}

$I_i \subseteq I_{j_1},...,I_{j_m}$

| I_{j_{1}} | = | I_{j_{2}} | = . . . = | I_{j_{m}} |

$|I_{j_1}|=|I_{j_2}|=...=|I_{j_m}|$

(I_{j_{k}} \to I_{i})

$(I_{j_k} \rightarrow I_i)$

T

$T$

একটি বিরতি একাধিক অতুলনীয় ব্যবধানে অন্তর্ভুক্ত করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ [২, ৩] [১, ৩] এবং [২, ৪] এর মধ্যে অন্তর্ভুক্ত রয়েছে, সুতরাং আমি মনে করি যে আপনার গাছের নির্মাণ একটি গাছ নয় তবে একটি নির্দেশিত অ্যাসাইক্লিক গ্রাফ দেবে না। দুটি ডিএজি আইসোমোরফিক কিনা তা পরীক্ষা করা (বা আমি যে অর্থে জিজ্ঞাসা করছি সেটির চেয়ে এম্বেডযোগ্য) সাধারণভাবে এনপি-হার্ড কিনা, আমার ধারণা।

— a3nm

আপনি ঠিক বলেছেন, উপরোক্ত পদ্ধতিটি সঠিক নয়!

— মারজিও ডি বায়াসি

\forall X, Y, X \subseteq Y \Leftrightarrow f (X) \subseteq f (Y)

$\forall X, Y, X\subseteq Y \Leftrightarrow f(X) \subseteq f(Y)$

@ মোহাম্মদআল-তুর্কিস্তানি:

— মার্জিওর

বিপরীত শর্ত ছাড়া সমস্যাটি এনপি-হার্ড প্রমাণ করার চেষ্টা করা হচ্ছে।

$S$

 [S]  +-a-+ +-b-+
      +---c-----+  c<a, c<b (here < is interval inclusion)

$T$

 [T]  +-x-+      f(a)=x, f(b)=y, f(c)=z
      +-y---+    
      +-z-----+  z<x, z<y OK

$3m$ $A = \{a_1,a_2,...,a_{3m}\}$ $B$ $m$ $A_1,...,A_m$ $A_i$ $B$

$max = \sum a_i + 3m$

$S$ $3m$ $BI_i$ $3*max$ $max$ $BI_i$ $a_i$ $L$ $BI_i$ (চিত্রের নীল রেখা)।

$T$ $L$ $m$ $G_j$ $G_j$ $B$

মনে করুন যে এস এবং টি এর মধ্যে একটি দ্বিধা রয়েছে যা অন্তর অন্তর্ভুক্তি (এস থেকে টি এর এক দিকে) সংরক্ষণ করে।

$max$ $BI_{j_1},BI_{j_2},BI_{j_3}$ $S$ $G_j$ $BI_{j_k}$ $G_j$

একইভাবে এটি প্রমাণ করা যেতে পারে যে যদি সেখানে কোনও বাইজিকেশন উপস্থিত থাকে তবে মূল আনারি 3-পার্টিশনের সমস্যার সমাধান রয়েছে।

এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন $m=2, A = \{3,3,2,2,2,2\}, B = 7$

দ্রষ্টব্য: মন্তব্যগুলিতে যেমন পর্যবেক্ষণ করা হয়েছে এস এবং টি তে নীল অন্তরগুলি হ্রাসের জন্য প্রয়োজনীয় নয়।

$I_i \subseteq I_j$ $(I_j \rightarrow I_i)$

— মারজিও দে বিয়াসি
সূত্র

হ্যাঁ, মনে হচ্ছে এটি সঠিক, অনেক ধন্যবাদ! (কেবলমাত্র একটি মন্তব্য: নীল অন্তরগুলি হ্রাস কাজ করার প্রয়োজন নেই, আমি মনে করি।) এই হ্রাস কাজ করে এমন সন্দেহের কারণ না পেলে আমি শীঘ্রই গ্রহণ করব।

— a3nm

@ a3nm: হ্যাঁ তবে আমি চিত্রটি আঁকার পরে এটি আবিষ্কার করেছি :-)। আমি এখনও 100% নিশ্চিত নই যে হ্রাসের কোনও গোপন ত্রুটি নেই (আরও দুই সপ্তাহের মধ্যে এটি দ্বিতীয়বারের মতো আমি একটি এনপি-সম্পূর্ণ প্রমাণ পেয়েছি যা অবিচ্ছিন্ন 3-পার্টিশন ব্যবহার করে ... খুব আশ্চর্যজনক :-)

— মারজিও ডি বিয়াসি

না, এটি সঠিক বলে মনে হচ্ছে: স্পষ্টতই 3-পার্টিশনের একটি সমাধান বিরতি সমস্যার সমাধান দেয়। এখন, অন্তর্বর্তী সমস্যা থেকে 3-বিভাজনের দিকে যাচ্ছেন: অগত্যা একটি বিরতি ম্যাপিং লাল অন্তরগুলিকে লাল অন্তরগুলিতে মানচিত্র করে (কারণ চিহ্নিতকারী পিরামিডগুলির কারণে); একই সংখ্যক লাল অন্তর অন্তর অন্তর লাল হয় যদি ম্যাপিংয়ের মাধ্যমে চিত্রটি হয়। চিহ্নিতকারীগুলি ডান লাল ব্যবধানে ম্যাপ করা হয় (কারণ অন্যথায় এটি বংশধর এবং সংখ্যালঘু)। এখন যদি লালকে লাল রঙের সাথে ম্যাপ করা হয় এবং প্রত্যাশাগুলি অনুসারে চিহ্নিতকারী ম্যাপ করা হয় তবে সংখ্যার সাথে মিল রাখতে হবে, তাই আমাদের একটি সঠিক পার্টিশন রয়েছে। আমি এটা জ্ঞান করে তোলে মনে করি!

— a3nm

@ a3nm: আমি দেখেছি আপনি উত্তরটি গ্রহণ করেছেন; আপনি কি মনে করেন যে ফলাফলটি যৌথ কাগজ লেখার পক্ষে যথেষ্ট আকর্ষণীয়?

— মারজিও ডি বায়াসি

T

$T$

f

$f$