একটি বুলিয়ান ফাংশন যা বড় পর্যাপ্ত মাত্রার অ্যাফাইন উপস্পেসে ধ্রুবক নয়

Question

আমি একটি সুস্পষ্ট বুলিয়ান ফাংশন আগ্রহী $f \colon \\{0,1\\}^n \rightarrow \\{0,1\\}$নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য সহ: যদি কিছু অ্যাফাইন উপস্থানে স্থির থাকে$f$ , তারপরে এই উপস্থানের মাত্রা হ'ল o ( n ) ।$\\{0,1\\}^n$$o(n)$

এটি দেখানো কঠিন নয় যে প্রতিসাম্য A = বিবেচনা করে একটি প্রতিসম ফাংশন এই সম্পত্তিটিকে সন্তুষ্ট করে না$A=\\{x \in \\{0,1\\}^n \mid x_1 \oplus x_2=1, x_3 \oplus x_4=1, \dots, x_{n-1} \oplus x_n=1\\}$। কোন ঠিক হয়েছে এন / 2 1 's এবং অত: পর চ ধ্রুবক subspace হয় একটি মাত্রা এর এন / 2 ।$x \in A$$n/2$ $1$$f$$A$$n/2$

ক্রস পোস্ট: /mathpro/41129/a-boolean-function-that-is-not-constant-on-affine-subspaces-of-large-enough-dimen

Comments

চ এর পরিসরটি কি {0,1}} n এর পরিবর্তে {0,1? হওয়া উচিত? অন্যথায় আমি উত্তর তুচ্ছ বলে মনে করি (চ পরিচয় ম্যাপিং হতে পারে)।

— Tsuyoshi Ito

ওহ, আমি দুঃখিত, অবশ্যই পরিসীমাটি {0,1।, অবশ্যই। সংশোধন করা হয়েছে।

— আলেকজান্ডার এস কুলিকভ

যেহেতু আপনি একটি সুস্পষ্ট নির্মাণের জন্য বলেছেন, আমি অনুমান করি যে কোনও সম্ভাব্য পদ্ধতিটি একটি অস্তিত্বের প্রমাণ দেয়। একটি বুনো অনুমান: যদি আমরা অর্ডার 2 ^ n এর সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের সাথে {0,1} ^ n চিহ্নিত করি এবং f (x) = 1 কে এবং যদি এক্স সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের সাথে একটি বর্গের সাথে সামঞ্জস্য করে তবে কি হবে? চতুষ্কোণ অবশিষ্টাংশগুলির সেটটি প্রায়শই একটি এলোমেলো দেখায় এবং এখন আমাদের একটি সেট ভেক্টর প্রয়োজন যা এলোমেলো দেখায়, তাই সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের স্কোয়ারগুলির সেটটি প্রাকৃতিক প্রার্থীর মতো শোনাচ্ছে। (আমি এটি মোটেও কার্যকর করি নি, এবং এটি সম্ভবত এই চিহ্নটি ছাড়িয়ে যেতে পারে))

— সোসোশি ইতো

এমও পোস্ট করেছেন ক্রস । আপনি ক্রস পোস্ট করার সময় দয়া করে আপনার প্রশ্নের একটি লিঙ্ক যুক্ত করুন।

— কাভেহ

এছাড়াও খেয়াল করুন যে এক সাথে ক্রসপোস্টিং নিরুত্সাহিত করা হয়েছে ।

— Tsuyoshi Ito

Answer 1

আপনি যে বিষয়গুলির জন্য অনুসন্ধান করছেন সেগুলিকে এক আউটপুট বিট সহ বীজবিহীন অ্যাফাইন বিতরণকারী বলা হয় । আরো সাধারণভাবে, একটি পরিবারের জন্য এক আউটপুট বিট সঙ্গে একটি বীজহীন disperser এর সাব-সেট নির্বাচন এর { 0 , 1 } এন একটি ফাংশন চ : { 0 , 1 } এন → { 0 , 1 } যেমন যে কোনো উপসেট উপর এস ∈ এফ , ফাংশন চ ধ্রুবক নয়। এখানে, আপনি এফাইন সাব-স্পেসগুলির পরিবার হয়ে F তে আগ্রহী$\mathcal{F}$$\{0,1\}^n$$f : \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$S \in \mathcal{F}$$f$$\mathcal{F}$

বেন-সেসন এবং "Subspace Polynomials থেকে অ্যাফিন Dispersers" এ Kopparty স্পষ্টভাবে মাত্রা এর subspaces অন্তত জন্য বীজহীন অ্যাফিন dispersers গঠন করা । বিতরণকারীর সম্পূর্ণ বিবরণ এখানে বর্ণনা করা কিছুটা জটিল। $6n^{4/5}$

একটি সহজ কেস পেপারেও আলোচনা করা হয় যখন আমরা মাত্রার উপস্থানের জন্য একটি অ্যাফাইন বিচ্ছুরক চাই । তারপরে, তাদের নির্মাণ F n 2 কে এফ 2 এন হিসাবে দেখায় এবং ছড়িয়ে বিভাজনকারীকে f ( x ) = টি আর ( x 7 ) হিসাবে নির্দিষ্ট করে , যেখানে টি আর : এফ 2 এন → এফ 2 ট্রেস মানচিত্রকে বোঝায়: টি আর ( এক্স ) = ∑ $2n/5+10$${\mathbb{F}}_2^n$${\mathbb{F}}_{2^n}$$f(x) = Tr(x^7)$$Tr: {\mathbb{F}}_{2^n} \to {\mathbb{F}}_2$$Tr(x) = \sum_{i=0}^{n-1} x^{2^i}$. A key property of the trace map is that $Tr(x+y) = Tr(x) + Tr(y)$.

Comments

অনেক ধন্যবাদ, অর্ণব! দেখে মনে হচ্ছে এটি ঠিক আমার প্রয়োজন, তবে অবশ্যই কাগজের মধ্য দিয়ে যাওয়ার জন্য আমার সময় প্রয়োজন। =)

— আলেকজান্ডার এস কুলিকভ

কাগজে Swastik একটা বক্তৃতার একটি ভিডিও রেকর্ডিং এখানে: video.ias.edu/csdm/affinedispersers

— অর্ণব

আবারও ধন্যবাদ, অর্ণব! আমি আশা করি ভিডিওটি আমাকে এই কাগজটি বুঝতে সহায়তা করবে (প্রথম বেশ কয়েকটি পৃষ্ঠা পড়ার পরে আমি দেখতে পাচ্ছি যে এটি বেশ জটিল)।

— আলেকজান্ডার এস কুলিকভ

Answer 2

A function that that satisfies something similar to (but much weaker than) what you want is the determinant of a matrix over $\mathbb{F}_2$. It can be shown that the determinant of an $n\times n$ matrix is non-constant on any affine subspace of dimension at least $n^2 - n$.

Comments

Thanks, Ramprasad! This is indeed much weaker than I want. But still, could you please give a link?

— Alexander S. Kulikov

$n\times n$$n-1$$n-1$$n-1$

— Ramprasad

Once all these entries are shifted above the diagonal, it is of course the case that the determinant still remains non-zero (since all the entries below and including the diagonal are independent, we can make the lower diagonal completely zero and the diagonal to be non-zero elements to give a non-zero determinant). The only trick here is that all the $n-1$ entries can be shifted above the diagonal.

— Ramprasad

Thank you, Ramprasad! This is indeed not hard to see.

— Alexander S. Kulikov