সমস্যাটির সঠিক জটিলতা

Question

দিন $x_i \in \{-1,0,+1\}$ জন্য $i \in \{1,\ldots,n\}$, যে প্রতিশ্রুতি দিয়ে $x = \sum_{i=1}^n{x_i} \in \{0,1\}$ (যেখানে যোগফল শেষ হয়েছে $\mathbb{Z}$)। তারপরে কী হবে তা নির্ধারণের জটিলতা$x = 1$?

লক্ষ্য করুন যে তুচ্ছভাবে সমস্যা রয়েছে $\cap_{m \geq 2}{\mathsf{AC}^0[m]}$ কারণ $x \equiv 1\bmod{m}$iff । প্রশ্ন: সমস্যাটি কি ? যদি তাই হয়, সার্কিটটি এটিকে কী সাক্ষ্য দিচ্ছে? যদি তা না হয় তবে কীভাবে কেউ এটি প্রমাণ করে?$x = 1$$\mathsf{AC}^0$

Comments

এই সমস্যাটি তুচ্ছ হতে পারে তবে আমি উত্তরটি জানি না এবং এটি জানার জন্য খুব আগ্রহী হবে।

— সামিডি

Answer 1

আপনি স্বাভাবিক সুইচিং লেমা যুক্তি ব্যবহার করতে পারেন। আপনি কীভাবে বাইনারিতে আপনার ইনপুটটি উপস্থাপন করেন তা ব্যাখ্যা করেননি, তবে যেকোন যুক্তিসঙ্গত এনকোডিংয়ের অধীনে নিম্নলিখিত ফাংশনটি আপনার ফাংশনটির জন্য এসি 0- অপরিহার্য: d start (আমরা ধরে নিই যে সমান ।) এই বক্তৃতা নোটগুলি অনুসরণ করে , ধরুন যে, এর আকার এর গভীরতার সার্কিট দ্বারা গণনা করা যেতে পারে । তারপরে 1/2 ইনপুটগুলির এলোমেলো সীমাবদ্ধতা সিদ্ধান্ত গাছের জটিলতার সর্বাধিক কার্যকারিতা ছেড়ে দেয়$^0$

$$f(x_1,\ldots,x_n) = \begin{cases} 0 & \text{if }x_1 - x_2 + x_3 - x_4 + \cdots - x_n = 0, \\ 1 & \text{if }x_1 - x_2 + x_3 - x_4 + \cdots - x_n = 1, \\ ? & \text{otherwise.} \end{cases}$$ $n$$f$$d$$n^b$$n - n^{1/2^d}$$2^d(b+1)+1$কমপক্ষে সম্ভাব্যতা সহ । একটি গণনা সম্ভবত দেখায় যে এটি সম্ভাব্যতা with সহ (একটি ছোট ইনপুট আকারে) এর অন্য একটি উদাহরণ , এবং তাই কিছু র্যান্ডম সীমাবদ্ধতা রয়েছে যা উভয়ই এ উদাহরণ দেয় 1/2 ইনপুট এবং ধ্রুব সিদ্ধান্ত গাছের জটিলতার সাথে একটি ফাংশন, যার ফলে দ্বন্দ্ব বাড়ে। একই যুক্তিতে তাত্পর্যপূর্ণ নিম্ন সীমানা দেওয়া উচিত।$1-1/(3n)$$f$$\Theta(1/\sqrt{n})$$f$$n^{1/2^d}$

Comments

আমি মনে করি এই ফাংশনের সামগ্রিক সংবেদনশীলতাটি , সুতরাং আপনি সম্ভবত এটি আমার উত্তরটিতে ঘনিষ্ঠভাবে পেতে পারেন। যে ফলাফলটি আমি সেখানে উদ্ধৃত করেছি তাতে লিনিয়াল-মনসুর-নিসান উপপাদ ব্যবহার করা হয়, যা নিজেই সিদ্ধান্ত নেওয়ার ক্ষেত্রে গাছের জটিলতার কার্যকারিতার বর্ণালীতে স্যুইচিং লেমমা + সরল সীমানা ব্যবহার করে। $\Theta(\sqrt{n})$

— সাশো নিকোলভ

Answer 2

আমি মনে করি না এটি এসি-তে রয়েছে এবং আমি promise এবং মধ্যে পার্থক্য সম্পর্কিত প্রতিশ্রুতি সমস্যার জন্য একটি নিম্ন সীমাটি প্রদর্শন করতে পারি , যখন । অনুরূপ ফুরিয়ার কৌশলগুলি আপনার সমস্যার ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা উচিত, তবে আমি এটি যাচাই করি নি। অথবা একটি সাধারণ হ্রাস আছে।$\sum x_i = 0$$\sum x_i = 2$$x \in \{-1, 1\}^n$

ধরুন একটি আকার আছে গভীরতা বর্তনী যে নির্ণয় একটি ফাংশন যেমন যে যখনই । একটি র্যান্ডম কারণ , সম্ভাব্যতা যে হয় , এবং প্রতিটি যেমন জন্য আছে স্থানাঙ্ক যে মান পরিবর্তন , মোট প্রভাব হয়$s$$d$$f: \{-1, 1\}^n \rightarrow \{0, 1\}$$f(x) = \sum_i x_i$$\sum_i x_i \in \{0,2\}$$x$$\sum_i x_i = 0$$2^{-n} {n \choose n/2} \approx n^{-1/2}$$x$$n/2$$f$$f$$\Omega(n^{1/2})$, যা মোটামুটি সংখ্যাগরিষ্ঠের সমান (কারণ আপনি সিংহভাগ সংবেদনশীল ইনপুট অন্তর্ভুক্ত করেছেন)। হস্তাদের একটি উপপাদ্য দ্বারা (রায়ান ও'ডোনেলের নোটগুলিতে রঙিন 2.5 ) দেখুন, এটি বোঝাচ্ছে যে

$$s \geq 2^{\Omega(n^{1/(2d-2)})}.$$