গম্বুজযুক্ত ট্রিউইথ গ্রাফগুলিতে আর-ডমিনিটিং সেটটির জন্য সঠিক অ্যালগরিদম

Question

একটি গ্রাফ দেওয়া, , আমি জি এর জন্য একটি অনুকূল আর- ডোমিনেশন চাই । অর্থাৎ আমি একটি উপসেট চান এস এর ভী যেমন যে সমস্ত ছেদচিহ্ন জি সর্বাধিক একটি দূরত্ব হয় দ মধ্যে কিছু প্রান্তবিন্দু থেকে এস , আকার কমানোর যখন$G = (V, E)$$r$$G$$S$$V$$G$$r$$S$ ।$S$

আমি এখনও অবধি যা যাচাই করেছি, সেগুলি থেকে আমি নিম্নলিখিতটি পেয়েছি: গ্রাফটিতে একটি -সেন্টার সন্ধানের সাথে সম্পর্কিত সমস্যা রয়েছে যা বেশিরভাগ কে- এর আকারের একটি উপসেট এস , যেমন গ্রাফের সমস্ত সূচিগুলি এস এর কিছু প্রান্তিকের কাছ থেকে আর এর দূরত্বে (এখানে উভয় | এস | ≤ কে এবং আর ইনপুটটির অংশ) যার জন্য ডেইমাইন এট আল । প্ল্যানার গ্রাফগুলির জন্য একটি এফপিটি অ্যালগরিদম রাখুন। অন্যথায় সমস্যা ডাব্লু [ 2 ] - এমনকি $(k,r)$$S$$k$$r$$S$$|S| \leq k$$r$$W[2]$ ।$r = 1$

সীমাবদ্ধ গাছের প্রস্থের গ্রাফ বা এমনকি কেবল গাছের জন্য ডমিনেশন সমস্যার সঠিক জটিলতা সম্পর্কে কিছু জানা যায়? ( আর- ডোমিনিশন এমএসও কি সংজ্ঞায়িত? সাধারণ কে- ডমিনিটিং সেট সমস্যাটি এমএসও সংশোধনযোগ্য - যার ফলে কারসেলের উপপাদ্যটি ব্যবহারের ফলে এই সিদ্ধান্ত নেওয়া যায় যে সমস্যাটির জন্য রৈখিক সময়ের অ্যালগোরিদম রয়েছে)। এই সমস্যা সম্পর্কিত কোনও শর্তাধীন কঠোরতার ফলাফল জানা আছে?$r$$r$$k$

Comments

জি এর জন্য একটি সর্বোত্তম ডমিনেশন হ'ল r ম পাওয়ার জি আর এর বিপরীতে একটি অনুকূল আধিপত্য । সুতরাং, গাছগুলির জন্য বহু-কালীন সময়ে এবং আরও সাধারণভাবে সীমাবদ্ধ গাছ-প্রস্থের গ্রাফগুলির জন্য আর- ডমিনেশন সমস্যাটি সমাধানযোগ্য। $r$$G$$r$$G^r$$r$

— ভিবি লে

@ vble আমার ধারণা স্থির হয়েছে। তবে কেন সীমাবদ্ধ গাছের প্রস্থের গ্রাফগুলির জন্য আর- ডোমিনেশনের সমস্যা সমাধানযোগ্য? এই জাতীয় গ্রাফের শক্তির সীমাহীন গাছের প্রস্থ থাকে। $r$$r$

— পেং হে

হ্যাঁ, স্থির হয়েছে, ধন্যবাদ। হ্যাঁ, জি আর- তে সীমাহীন গাছের প্রস্থ রয়েছে তবে বাউন্ডেড চক্রের প্রস্থ রয়েছে (গুরস্কি এবং ওয়াঙ্কের কারণে) এবং স্বাভাবিক আধিপত্যের সমস্যাটি এমএসও নির্ধারণযোগ্য। $r$$G^r$

— ভিবি লে

@ ভবল ধন্যবাদ! আপনি কি রেফারেন্স সরবরাহ করতে এবং আপনার মন্তব্যকে একটি উত্তর দিতে পারেন?

— নিখিল

@ নিখিল: হয়ে গেছে।

— ভিবি লে

Answer 1

জি এর জন্য একটি (অনুকূল) ডমিনেশন হ'ল আর - র শক্তি জি আর এর জন্য একটি (অনুকূল) আধিপত্য এবং বিপরীতে ( জি আর থেকে সর্বাধিক আর এর দূরত্বের স্বতন্ত্র কোণে নতুন প্রান্ত যুক্ত করে জি থেকে প্রাপ্ত হয় )।$r$$G$$r$$G^r$$G^r$$G$$r$

নিম্নলিখিত তথ্যগুলি সুপরিচিত: (1) দৃ strongly়ভাবে কর্ডাল গ্রাফের সমস্ত শক্তি দৃ strongly়ভাবে কর্ডাল (এ। লুবিউ, মাস্টার থিসিস; ডালহাউস এবং ডুচেটও দেখুন, দৃ strongly়ভাবে কর্ডাল গ্রাফগুলিতে, আরস কম্বিন। 24 বি (1987) 23-30 ), এবং (2) আধিপত্য দৃ strongly়ভাবে কর্ডাল গ্রাফগুলির জন্য রৈখিক সময়ে সমাধান করা যায় (এম ফারবার। আধিপত্য, স্বাধীন আধিপত্য এবং দৃ strongly়ভাবে কর্ডাল গ্রাফগুলিতে দ্বৈততা, ডিস্ক্রিট অ্যাপ্ল। ম্যাথ।, 7 (1984) 115-130)। অতএব দৃ -়ভাবে কর্ডাল গ্রাফগুলির জন্য বিশেষত গাছের জন্য ( r সংশোধন করা হয়েছে বা না) বহিরাগত সময়ে ডোমিনেশন দ্রবণযোগ্য ।$r$$r$

Gurski & Wanke প্রমাণিত এই কাগজ যে চক্র-চওড়া সবচেয়ে এ 2 ⋅ ( দ + + 1 ) TW ( জি ) + + 1 - 2 , যেখানে TW ( জি ) বৃক্ষ-চওড়া হয় জি । সুতরাং, সংশোধন করা হয়েছে জন্য দ , দ ম বেষ্টিত গাছ-চওড়া গ্রাফ ক্ষমতা চক্রের-চওড়া বেষ্টিত করেছি। সুতরাং, স্থির জন্য$G^r$$2\cdot (r+1)^{\text{tw}(G)+1}−2$$\text{tw}(G)$$G$$r$$r$ , দ -domination বেষ্টিত গাছ-চওড়া গ্রাফ জন্য বহুপদী সময় সমাধেয় (Courcelle এর উপপাদ্য দ্বারা) হয়। $r$$r$

Answer 2

ট্রিউইথ কে-এর গ্রাফগুলিতে ডায়নামিক প্রোগ্রামিং করা বেশ সহজ$k$এই সমস্যার জন্য । আংশিক দ্রবণে কিছু প্রান্তের সংক্ষিপ্ততম দূরত্ব এবং ভবিষ্যতের সমাধানের দূরত্বকে অবিচ্ছিন্ন শিকড়কে আধিপত্য বজায় রাখার জন্য একটি ব্যাগের মধ্যে প্রতিটি ভার্টেক্সের জন্য রাখা যেতে পারে।

এটি মোটে এর একটি সারণি আকার দেয় তাই স্থির আর এর জন্য গাছের প্রস্থ দ্বারা এই সমস্যাটি এফপিটি প্যারামিটারাইজাইজড হয়, তবে আর যদি স্থির না করা হয় তবে এটি এক্সপি অ্যালগরিদম হয়ে যায়। আমি যতদূর কিনা এই সমস্যা প্রশ্নে জানি সব মানের জন্য FPT হয় $O(r^k)$$r$$r$$r$ খোলা আছে।

Comments

হতে পারে কে আর ও ( কে ) এ পরিবর্তন করবেন ? $r^k$$r^{O(k)}$

— ড্যানিয়েলো

Answer 3

দাওয়ার এবং ক্রিউতজার দেখিয়েছেন যে সমস্যাটি কোথাও গ্রাফের ঘন শ্রেণিতে স্থির-পরামিতি ট্র্যাকটেবল, যার মধ্যে প্ল্যানার গ্রাফ, সীমানাযুক্ত (স্থানীয়) গাছের প্রস্থের গ্রাফ এবং (স্থানীয়ভাবে) অপ্রাপ্ত বয়স্ক নাবালক সহ সমস্ত শ্রেণি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে।

ডিভোরাক দেখিয়েছেন যে সীমানা সম্প্রসারণের শ্রেণীর জন্য বহু-কালীন ধ্রুবক ফ্যাক্টর অনুমানের পরিমাণ রয়েছে, যার মধ্যে প্ল্যানার গ্রাফ, সীমানা গাছের প্রস্থের গ্রাফ এবং বর্জন অপ্রাপ্ত বয়স্ক নাবালক সহ সমস্ত শ্রেণি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে।

Answer 4

গ্লেনকোড়া বোরাদাইলে, হাং লে -র সাম্প্রতিক একটি কাগজ রয়েছে: গাছের পচন (ও আইপেক ২০১ 2016) ওভার-ডমিনেশন সমস্যাগুলির জন্য অনুকূল গতিশীল প্রোগ্রাম । এখানে তারা দেন একটি আলগোরিদিম যে ইনপুট মাধ্যমে প্রদত্ত গ্রাফ নেই , একটি পূর্ণসংখ্যা R , এবং একটি গাছ পচানি জি প্রস্থের W , একটি অনুকূল নির্ণয় দ সেট -dominating জি সময় হে ( ( 2 R + + 1 ) W এন ) । উপরন্তু, তারা দেখায় যে এই সেরা এক নিম্নলিখিত অর্থে, কি করতে পারেন: সময় চলমান সঙ্গে একটি অ্যালগরিদম হে ( ( $G$$r$$G$$w$$r$$G$$O((2r+1)^wn)$ জন্য ε > 0 স্ট্রং সূচকীয় সময় প্রস্তাব বিপরীত হবে।$O((2r+1-\epsilon)^wn^{O(1)})$$\epsilon > 0$

Answer 5

একটি গাছের জন্য সর্বোত্তম আর-আধিপত্য গণনা করার জন্য একটি লিনিয়ার সিক্যুয়াল আলগোরিদম স্লেটারের কারণে:

পি। স্লেটার গ্রাফগুলিতে আর-আধিপত্য। জে.এ.সি.এম, 23 (3): 446–450, জুলাই 1976. দোই: 10.1145 / 321958.321964

একই সেটিংসের জন্য বিতরণ করা অ্যালগরিদম তুরাউ এবং কাহলারের কারণে:

ভোলকার তুরাউ এবং সোভেন কাহলার। গাছগুলিতে ন্যূনতম দূরত্ব-কে আধিপত্যের জন্য একটি বিতরণ করা অ্যালগরিদম। গ্রাফ অ্যালগরিদম এবং অ্যাপ্লিকেশন জার্নাল, 19 (1): 223–242,5 (দেখুন http://jgaa.info/getPaper?id=354 )