কোন ক্লাসে র্যান্ডমাইজড অ্যালগরিদমগুলি ঠিক 25% সুযোগের সাথে ভুল হয়?

ধরুন আমি বিপিপির নিম্নলিখিত রূপগুলি বিবেচনা করি, যা আমাদের ই (এক্স্যাক্ট) বিপিপি বলে: একটি ভাষা ইবিপিপিতে থাকে যদি একটি বহুবর্ষের সময় র্যান্ডমাইজড টিজি থাকে যা ভাষার প্রতিটি শব্দকে ঠিক 3/4 সম্ভাব্যতার সাথে গ্রহণ করে এবং প্রতিটি শব্দই এতে না থাকে ঠিক 1/4 সম্ভাবনা সহ ভাষা। স্পষ্টতই ইবিপিপি বিপিপিতে রয়েছে তবে সেগুলি কি সমান? এটি কি অধ্যয়ন করা হয়েছে? একইভাবে নির্ধারণযোগ্য ERP সম্পর্কে কী?

প্রেরণা। আমার মূল প্রেরণা হ'ল আমি জানতে চেয়েছিলাম যে জটিলতার তাত্ত্বিক অ্যানালগটি Fa expected প্রত্যাশিত মানটিতে সঠিক Fa (দেখুন http://arxiv.org/abs/1105.4127 ) হবে। প্রথমে আমি বুঝতে চেয়েছিলাম যে এই জাতীয় অ্যালগরিদম কোন সিদ্ধান্ত সমস্যার সমাধান করতে পারে (সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে বহুপদী সময় চলার সাথে) with আসুন E (xpected) V (alue) পিপি দ্বারা এই শ্রেণিটি চিহ্নিত করুন। এটি দেখতে সহজেই ইউএসএটি $\in$ ইভিপিপি। EBPP $\subset$ EVPP দেখতেও সহজ । সুতরাং এটি আমার অনুপ্রেরণা ছিল। ইভিপিপি সম্পর্কে কোনও প্রতিক্রিয়াও স্বাগত।

প্রকৃতপক্ষে, তাদের অ্যালগোরিদম সর্বদা একটি nonnegative সংখ্যা আউটপুট করে। যদি আমরা ইভিপি (অ্যাসিটিভ) পিপি দ্বারা এই জাতীয় অ্যালগরিদম দ্বারা স্বীকৃত সিদ্ধান্তগুলির সমস্যাগুলি চিহ্নিত করি তবে আমাদের কাছে এখনও ইউএসএটি ইভিপিপিপি রয়েছে। যদিও ইবিপিপি ইভিপিপিপির উপসেট নাও হতে পারে তবে আমাদের কাছে ইআরপি ইভিপিপিপি রয়েছে। সম্ভবত এগুলি ব্যবহার করে আমরা সিদ্ধান্ত সমস্যার জন্য একটি (ননজেটিভ) পদকে সংজ্ঞায়িত করতে পারি। $\in$ $\subset$

cc.complexity-theory complexity-classes randomized-algorithms

— domotorp
সূত্র

আমি অনুমান আপনি ইতিমধ্যেই এই উপলব্ধি, কিন্তু আপনি যদি সম্ভাব্যতা সঙ্গে ভাষায় গ্রহণ কথা বাধ্যতা শিথিল

জন্য

তারপর শ্রেণীর সমান হতে হবে।

3 / 4 \pm ε

$3/4 \pm \varepsilon$

ε \geq 1 / poly (n)

$\varepsilon \geq 1/\text{poly}(n)$

— হকের বেনিেট

@ ডমোটরপ এই প্রশ্নের পিছনে অনুপ্রেরণা কি? এই শব্দার্থক জটিলতা শ্রেণীর সাথে আপনি কী করতে চান? কোনও উপপাদ্য প্রমাণের জন্য আপনি কোথাও ইবিপিপি ব্যবহার করার কোনও উপায় দেখছেন? তুমি কি বিস্তারিত বলতে পারো?

— তাইফুন

1988 উয়ে শোনিং, "প্রব্যাবিলিস্টিক কমপ্লেক্সিটি ক্লাস অ্যান্ড অলসতা" পত্রিকাটি দেখুন

— পে

@ টেফুন: আমি এটি যাচাই করেছিলাম তবে প্রাসঙ্গিক কিছু খুঁজে পাইনি। আপনি আরো নির্দিষ্ট হতে পারে?

— ডোমোটরপ

@HuckBennett: বা এমনকি

জন্য

।

3 / 4 \pm ϵ

$3/4\pm\epsilon$

ϵ \geq \exp (- p o l y (n))

$\epsilon\geq \exp(-\mathrm{poly}(n))$

— কলিন ম্যাককুইলান

উত্তর:

সাইড নোটে, এটি পরিষ্কার নয় যে ইবিপিপি একটি শক্তিশালী শ্রেণি। উদাহরণস্বরূপ, যদি অ্যালগরিদমকে কোনও পক্ষপাতদুষ্ট মুদ্রাটি উল্টানোর অনুমতি দেওয়ার পরিবর্তে, যদি এটি একটি পক্ষপাতহীন 3-পার্শ্বযুক্ত মুদ্রা দেওয়া হয়, বা 6-পক্ষীয় ডাই দেওয়া হয়, তবে এটি পরিষ্কার নয় যে আপনি একই শ্রেণি পেয়েছেন। আপনি এই বিবরণগুলি পরিবর্তন করলে বিপিপি একই থাকে।

যাইহোক, আপনার প্রাথমিক প্রশ্নটি হ'ল ইবিপিপি বিপিপির সমান কিনা। আমার কাছে মনে হয় যে ইবিপিপি বিপিপির চেয়ে পি এর কাছাকাছি। এই শ্রেণীর কোয়েরি জটিলতা বা ওরাকল সংস্করণটি বিবেচনা করুন যেখানে তাদের একটি বড় ইনপুট স্ট্রিংয়ের অ্যাক্সেস রয়েছে এবং এই স্ট্রিংয়ের বিটগুলি শিখতে কোয়েরি করতে হবে। আপনি যদি একটি পি অ্যালগরিদম যে নির্ণয় একটি ফাংশন থাকে তাহলে সঙ্গে প্রশ্ন, তারপর সেখানে একটি সঠিক ডিগ্রী বহুপদী প্রতিনিধিত্বমূলক বিদ্যমান জন্য উপর । অন্যদিকে (এই স্বাভাবিক বহুপদী পদ্ধতি যুক্তি।), যদি আপনি একটি BPP এলগরিদম আছে, তাহলে আপনি একটি ডিগ্রী পেতে উপর বহুপদী যে পরিমাপক $f$ $Q$ $Q$ $f$ $\mathbb{R}$ $Q$ $\mathbb{R}$ $f$ অর্থে এর মান মান পাসে যে প্রত্যেক ইনপুট করেন। $f$

একটি ফাংশন একটি EBPP অ্যালগরিদম দেওয়া , আমরা একটি বহুপদী যে আউটপুট 1/4 যখন উত্তর নেই এবং 3/4 যখন উত্তর হবে হ্যাঁ গঠন করা যেতে পারে। ১/২ বিয়োগ করে এবং ২ দিয়ে গুণ করে, আপনি ঠিক যেমন পি এর ক্ষেত্রে প্রতিনিধিত্বমূলক বহুবচন পেতে পারেন এটি আমার কাছে প্রস্তাব দেয় যে ইবিপিপি পি এর কাছাকাছি। $f$

এই পর্যবেক্ষণটি ইবিপিপি এবং বিপিপির মধ্যে একটি ওরাকল বিচ্ছেদ দেখানোর জন্যও ব্যবহার করা যেতে পারে। প্রতিশ্রুতি-মেজরিটি সমস্যাটি বিবেচনা করুন যেখানে আপনি প্রতিশ্রুতি দিয়েছিলেন যে ইনপুটটিতে 2N / 3 1s এর বেশি বা N / 3 1s এর চেয়ে কম রয়েছে এবং কোনটি কেস তা আপনাকে সিদ্ধান্ত নিতে হবে। এটি পরিষ্কারভাবে বিপিপিতে রয়েছে। বহুপদী যুক্তি এটা উপরে বর্ণিত ব্যবহার দেখানো যেতে পারে এই ফাংশন প্রয়োজন যে একটি EBPP মেশিনের জন্য প্রশ্নের। তবে মনে রাখবেন যে আপনি পি এবং ইবিপিপি-র মধ্যে অন্যভাবে একটি ওরাকল বিচ্ছেদও প্রমাণ করতে পারেন। সুতরাং সম্ভবত ওরাকল ফলাফল এই সমস্যার জন্য বেশি কিছু বলে না? অথবা তারা যা বলছেন তা হ'ল উভয় দিক দিয়েই সাম্য দেখাতে অসুবিধা হবে। $\Omega(N)$

— রবিন কোঠারি
সূত্র

হ্যাঁ, ওরাকল বিচ্ছেদ উভয় ক্ষেত্রেই বেশ সোজা মনে হচ্ছে।

— domotorp

ওরাকল বিচ্ছিন্নতার ব্যাপারে, সেখানে EBPP = BPP = EXP সঙ্গে একটি ওরাকল হল ^{দ্বারা NP} , এবং P = ⊕P (এবং অত: পর EBPP = পি) এবং BPP = EXP সঙ্গে একটি ওরাকল ^{দ্বারা NP} ।

বিপিপি = এক্সপি ^এনপি ওরাকল (এর মধ্যে একটি সহ) এর একটি নির্মাণ বিপিপি উইকিপিডিয়া প্রবন্ধের ) এর একটি নির্মাণ হ'ল একটি পুনঃসংশ্লিষ্ট এক্সপি ^এনপি সম্পূর্ণ সমস্যা বেছে নেওয়া এবং ইনপুট আকারে (সেই সমস্যার জন্য) পুনরাবৃত্তি করে এগিয়ে যাওয়া, সেই আকারের সমস্যার উদাহরণগুলির জন্য ফলাফলগুলি ঠিক করা এবং তারপরে যদি ইনপুট এবং কোনও ফিলার (যথাযথ দৈর্ঘ্যের) দিয়ে জিজ্ঞাসা করা হয় তবে সেই সমস্যার উত্তর দিন that EBPP = এক্সপি ^{এনপি-র জন্য} , প্রায়শই সর্বদা সঠিক উত্তর দেওয়ার পরিবর্তে, গণনাগুলি ঠিক সঠিক করার জন্য আমরা পর্যাপ্ত ভুল উত্তর দিতে পারি। এছাড়াও একটি ওরাকল রয়েছে যাতে ইবিপিপি-র শূন্য ত্রুটি অ্যানালগ (রিপোর্টিং ব্যর্থতার ঠিক 1/2 সম্ভাবনা) এক্সপ (এবং পি = ⊕পি তবে জেডপিপি = এক্সপি সহ একটি ওরাকল) সমান।

পি = ⊕পি এবং বিপিপি = এক্সপি P^এনপি ওরাকল এখানে উল্লেখ করা হয়েছে ।

বিপিপিতে এবং সি ₌ পিতে থাকা ছাড়াও, ইবিপিপি ⊕P- এ রয়েছে যেহেতু আমরা সাক্ষীর সংখ্যার সম্ভাবনা হ্রাস করতে পারি এবং তারপরে সেই নম্বরটিকে টুইট করতে পারি।

নিরবচ্ছিন্ন বিশ্বে, বিপিপি সম্ভবত পি এর সমান, তবে প্রমাণগুলি ইবিপিপির পক্ষে আরও শক্তিশালী। ইবিপিপি একটি পাথের সঠিক সংখ্যার উপর নির্ভর করে যে কোনও অপ্রত্যাশিত বাতিল হওয়া অবধি, জোড় করা অসম্ভবভাবে অসম্ভব বলে মনে হয়।

— ডিমিত্রো তারানভস্কি
সূত্র

এটি একটি আংশিক উত্তর; সম্ভবত এটি আরও ভাল কাউকে সরবরাহ করার জন্য অন্য কাউকে অনুপ্রাণিত করবে। $\newcommand{\EBPP}{\mathsf{EBPP}}$ $\newcommand{\CP}{\mathsf{C}_=\mathsf{P}}$

আপনার ক্লাস এর একটি বিশেষ কেস । আমি মনে করি সংজ্ঞায়নের একটি উপায় নিম্নরূপ ( এই কাগজের বিভাগ 2 দেখুন $\EBPP$ $\CP$ $\CP$ )। একটি ল্যাঙ্গুয়েজ হয় যদি যাচাইকারী একটি বহুপদী সময় $L$ $\CP$ $V$ যেমন যে

যদি হয় , তারপর $x$ $L$ $\Pr_w[V(x, w) \text{ accepts}] = \frac{3}{4}$ , এবং
যদি না থাকে তবে $x$ $L$ । $\Pr_w[V(x, w) \text{ accepts}] \neq \frac{3}{4}$

(সম্পূর্ণতার সম্ভাবনাটি মূলত কোনও স্থির ভগ্নাংশ হতে পারে; আমি বেছে নিয়েছি যাতে এটি আপনার প্রশ্নের প্রদত্ত সম্ভাবনার সাথে মেলে)) $\frac{3}{4}$

সংজ্ঞায়নের একটি উপায় নিম্নরূপ। একটি ল্যাঙ্গুয়েজ রয়েছে $\EBPP$ $L$ যদি যাচাইকারী একটি বহুপদী সময় যেমন যে $\EBPP$ $V$

যদি হয় , তারপর $x$ $L$ $\Pr_w[V(x, w) \text{ accepts}] = \frac{3}{4}$ , এবং
যদি না থাকে তবে $x$ $L$ । $\Pr_w[V(x, w) \text{ accepts}] = \frac{1}{4}$

— argentpepper
সূত্র

এটি বিপিপির একটি বিশেষ মামলাও।

— পিটার শোর

C_{=} P

${\bf C_=P}$

C_{=} P

${\bf C_=P}$

C_{=} P

${\bf C_=P}$

@ পিটারশোর ঠিকঠাকভাবে

— পে

@ টেফুনপে আমি আপনার মন্তব্যটি কোনও অর্থবোধ করে বলে মনে করি না।

C_{=} P

C_{=} P

$C_{=}P$ ভাষার একটি সেট, মেশিন নয়, তাই এ-তে কোনও জিনিস নেই

C_{=} P

$C_{=}P$ মেশিন। আরজেন্টেপ্পার ঠিক বলেছেন যে ইবিপিপি আসলে একটি সাবসেট

C_{=} P

$C_{=}P$ । এটি কেবল এটি স্পষ্ট নয় যে এই অন্তর্ভুক্তি সহায়ক, বিশেষত যেহেতু

C_{=} P

$C_{=}P$ is a powerful class

— Sasho Nikolov

Just providing another way of looking at the problem...

— argentpepper