স্থায়ী একটি অনন্য পদ আছে কিনা তা আমরা সিদ্ধান্ত নিতে পারি?


16

ধরুন আমাদের পূর্ণসংখ্যার এন্ট্রি সহ এন ম্যাট্রিক্স, এম দ্বারা একটি এন দেওয়া হয়েছে। আমরা পি মধ্যে সিদ্ধান্ত নিতে পারেন আছে কিনা বিন্যাস যেমন যে সব বিনিময়ের জন্য π σ আমরা আছে Π এম আমি σ ( আমি )Π এম আমি π ( আমি ) ?σπσΠএমআমিσ(আমি)Πএমআমিπ(আমি)

মন্তব্য. এক অবশ্যই পণ্যটিকে একটি অঙ্কের সাথে প্রতিস্থাপন করতে পারে, সমস্যাটি একই থাকে।

যদি ম্যাট্রিক্সের কেবল 0/1 এন্ট্রি থাকতে পারে, তবে আমরা বিপারটাইট-ইউপিএম সমস্যাটি পাই যা এমনকি এনসি তেও আছে।

সম্পাদনা করুন: যদি আমরা এলোমেলোভাবে হ্রাসের অনুমতি দিই তবে ক্ষুদ্রতম শব্দটি অনন্য কিনা তা সিদ্ধান্ত নেওয়া এনপি-হার্ড। আসলে, আমি মূলত এই প্রশ্নের জাহির করা, কারণ এটি সমাধানের জন্য সাহায্য করেছেন হবে চেয়েছিলেন এই এক। এখন এটা প্রমাণিত যে এই দ্বারা NP-সম্পূর্ণ, তাই আমাকে কি আমাদের সমস্যা হ্রাস স্কেচ করা যাক। কল্পনা করুন যে ইনপুটটি শূন্য-এক ম্যাট্রিক্স (আমরা এটি ধরে নিতে পারি) এবং 2 এবং 2 + 1 / n এর মধ্যে এলোমেলো বাস্তব সংখ্যাগুলির সাথে শূন্য এন্ট্রিগুলি প্রতিস্থাপন করে। উচ্চতর সম্ভাব্যতার সাথে এই নতুন ম্যাট্রিক্সে ক্ষুদ্রতম শব্দটি অনন্য এবং যদি মূল ম্যাট্রিক্স উপরের-ত্রিভুজাকার ফর্মের জন্য অনুমোদিত হয় only

সম্পাদনা: অনুরূপ প্রশ্ন:

প্রান্ত-ভারিত গ্রাফে, কোনও হ্যামিল্টোনীয় চক্রটি কি একটি অনন্য ওজনযুক্ত?

আমাদের যদি প্রতিটি ভেরিয়েবল / সন্তোষজনক কার্যনির্বাহকে দেওয়া ওজন সহ একটি সিএনএফ থাকে, তবে কি কোনও অনন্য ওজন সন্তুষ্ট করার দায়িত্ব রয়েছে?

এগুলি অবশ্যই কমপক্ষে এনপি-হার্ড। এই সমস্যাগুলি কি মূলের সমতুল্য বা আরও শক্ত?


আমরা জানি কী এই সমস্যাটি এনপিতেও আছে? আমার একটি শংসাপত্র নিয়ে আসতে সমস্যা হচ্ছে।
মুহম্মে

@mhum: অধিকাংশ সুস্পষ্ট সর্বোচ্চ সীমা Σ2পি , যেমন স্কট Aaronson তার উত্তরে নির্দিষ্ট। আমি মনে করি না যে আরও ভাল উপরের সীমাটি জানা আছে।
জোশুয়া গ্রাচো

উত্তর:


13

চমৎকার সমস্যা! এটি হ্রাস করে দেখাতে অসুবিধা হয় না যে, যদি কেউ আপনার সমস্যার সমাধান করতে পারে, তবে কেউ নিম্নলিখিত সমস্যাটি সমাধান করতে পারে, একে বিচ্ছিন্ন সাবসেট স্যাম বলুন:

পূর্ণসংখ্যাটি একটি 1 , ..., একটি এন দেওয়া আছে , এমন কোনও আই এর কোনও উপসেট এস আছে যার যোগফল অন্য কোনও উপসেট দ্বারা ভাগ করা হয়নি?

বিচ্ছিন্ন পারফেক্ট ম্যাচিংয়ের ক্ষেত্রে প্রথমে বিচ্ছিন্ন সুবসেট স্যুমকে হ্রাস করে হ্রাস কাজ করে, যেখানে একটি ওজনযুক্ত দ্বিখণ্ডিত গ্রাফ জি দেওয়া হয়েছে, আমরা একটি নিখুঁত মিল খুঁজে পেতে চাই যার ওজন অন্য কোনও নিখুঁত মিলের দ্বারা ভাগ করা হয়নি। এই হ্রাস সহজ: প্রতিটি আমি, একটি 2x2 সম্পূর্ণ subgraph জি তৈরি আমি জি, দুটি সম্ভাব্য matchings আমরা জি জন্য চয়ন যা যে এই ধরনের মধ্যে আমি কিনা বা না একটি আমাদের পছন্দ এনকোড আমি সেট এস রয়েছে

এরপরে, আপনার সমস্যার সাথে বিচ্ছিন্ন পারফেক্ট ম্যাচিং হ্রাস করুন:

  1. সকলের জন্য i, j, যদি প্রান্তটি (i, j) বিদ্যমান থাকে এবং ওজন ডাব্লু থাকে ij থাকে তবে এম ij : = exp (w ij ) সেট করুন। (এটি পরিমাণগুলিকে পণ্যগুলিতে পরিণত করে))
  2. সমস্ত আই, জ জন্য, যদি প্রান্তটি (i, j) উপস্থিত না থাকে তবে এম ij : = 0 সেট করুন ।
  3. প্যাড এম নিশ্চিত করতে দুটি বা আরও বেশি ক্রিয়েটেশন রয়েছে যেমন π এম Π i আই, π (আই) = ০ (এটি জি-র কোনও নিখুঁত মিলের সাথে মিলে না এমন মজাদার সমাধানের বিধান দেয়)

এখন, বিচ্ছিন্ন উপসেট সমষ্টি অবশ্যই মতানুযায়ী মত অন্তত দ্বারা NP-কঠিন, এবং হয়ত এটা এমনকি কঠিন যে এর চেয়ে এর (সুস্পষ্ট উচ্চ আবদ্ধ হয় শুধুমাত্র Σ 2 পি)! তদ্ব্যতীত, সম্ভবত যে কেউ প্রমাণ করতে পারে যে বিচ্ছিন্ন-বাজিরানী-স্টাইলের এলোমেলোভাবে হ্রাস ব্যবহার করে বিচ্ছিন্ন সাবসেট সুম এনপি-হার্ড। এটি অবশ্য একটি চ্যালেঞ্জ আমি অন্য কারও কাছে ছেড়ে দিচ্ছি ...


হ্যাঁ, এগুলি সমতুল্য। আসলে, আপনি যদি খোলার সমস্যাটি সমাধান করার চেষ্টা করছি তা পরীক্ষা করে দেখুন, আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে আমি বিচ্ছিন্ন পারফেক্ট ম্যাচিং সমস্যা থেকে আসছি। হতে পারে কেউ ফ্রোবিনিয়াস কয়েন সমস্যা থেকে / থেকে কোনও হ্রাস পেতে পারে।
ডমোটরপ

4
দুহ্হ ... অ্যান্ডি ড্রাগার সহায়তার সাথে উল্লেখ করেছেন যে আমার বিচ্ছিন্ন সাবসেট এসইউএম সমস্যাটি সমাধান করা খুবই ক্ষুদ্র! যদি কিছু_এর কিছু 0 হয় তবে কোনও অনন্য যোগফল নেই; অন্যথায়, সমস্ত এ_আই'র সমান চিহ্নটি ভাগ করে নেওয়ার সেট নিন (হয় ধনাত্মক বা নেতিবাচক)। সুতরাং, আমাদের বিচ্ছিন্ন পারফেক্ট ম্যাচিংয়ে ফোকাস করা উচিত।
স্কট অ্যারনসন
আমাদের সাইট ব্যবহার করে, আপনি স্বীকার করেছেন যে আপনি আমাদের কুকি নীতি এবং গোপনীয়তা নীতিটি পড়েছেন এবং বুঝতে পেরেছেন ।
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.