লগারিদমিক গভীরতার সাথে চক্রের প্রস্থের এক্সপ্রেশন

যখন আমাদের প্রস্থ সহ গ্রাফ এর গাছের পচন দেওয়া হয় , তখন বেশ কয়েকটি উপায় রয়েছে যা আমরা এটিকে "সুন্দর" বানাতে পারি। বিশেষ করে, এটা জানা যায় তা একটি গাছ পচানি রুপান্তর করা সম্ভব যেখানে গাছ বাইনারি এবং তার উচ্চতার । সর্বাধিক পঁচনের প্রস্থ রাখার সময় এটি অর্জন করা যেতে পারে $G$ $w$ $O(\log n)$ । (উদাহরণস্বরূপ, বোডলেেন্ডার এবং হেজরুপের দ্বারা "সীমানা গাছের প্রশস্ততা জন্য অনুকূল গতিসম্পন্ন সমান্তরাল অ্যালগরিদম" দেখুন)। সুতরাং, লোগারিদমিক গভীরতা একটি গাছের পচনের একটি সম্পত্তি যা আমরা প্রায় বিনামূল্যে পেতে পারি। $3w$

আমার প্রশ্নটি যদি চক্র-প্রস্থের জন্য অনুরূপ ফলাফল উপস্থিত থাকে বা সম্ভবত একটি পাল্টা উদাহরণ রয়েছে। অন্য কথায়, একটি চক্র-চওড়া অভিব্যক্তি দেওয়া ব্যবহার লেবেল, সেখানে আছে সবসময় উচ্চতার একটি উপদল-চওড়া অভিব্যক্তি অস্তিত্ব জন্য , যে সর্বাধিক ব্যবহারের লেবেল? এখানে, উচ্চতা প্রাকৃতিকভাবে চক্র-প্রস্থের এক্সপ্রেশনটির পার্স গাছের উচ্চতা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। $G$ $k$ $O(\log n)$ $G$ $f(k)$

যদি উপরের মতো অনুরূপ কোনও বিবৃতি জানা না যায় তবে ছোট চক্র-প্রস্থ সহ ভার্টেক্স গ্রাফ উদাহরণ রয়েছে , যেমন দিয়ে নির্মাণের একমাত্র উপায় $n$ $G$ $k$ $G$ $f(k)$ লেবেলের বৃহত্তর সাথে একটি এক্সপ্রেশন ব্যবহার করা গভীরতা?

— মাইকেল ল্যাম্পিস
সূত্র

treewidth / cliquewidth উইকিপিডিয়া

— vzn

কিছুক্ষণ পরে আমি সাহিত্যে একটি উত্তর পেয়েছি, সুতরাং এটি অন্য কারও পক্ষে কার্যকর হলে এটি এখানে পোস্ট করছি।

চক্রের প্রস্থের এক্সপ্রেশনগুলিকে পুনরায় ভারসাম্য বজায় রাখা সম্ভব হয় যাতে তাদের লগারিদমিক গভীরতা থাকে। Courcelle এবং Kanté, WG '08 দ্বারা "গ্রাফ ক্রিয়াকলাপগুলিকে র‌্যাঙ্ক-প্রস্থ এবং সুষম গ্রাফ এক্সপ্রেশনগুলি বৈশিষ্ট্যযুক্ত করে" কাগজে ফলাফল দেওয়া হয়েছে। আমি কাগজ থেকে উপপাদ্য 4.4 উদ্ধৃত:

$k$ $k \times 2^{k+1}$

এখানে ধরা হচ্ছে যে ভারসাম্যহীনভাবে লেবেলের সংখ্যা দ্রুত ফুটে উঠেছে। দেখে মনে হচ্ছে চক্রের প্রস্থের জন্য বর্তমানে এর চেয়ে ভাল ফলাফল আর জানা যায়নি। একই কাগজটি র‌্যাঙ্কউইথের জন্য কেবল ধ্রুবক ধাক্কা দিয়ে একইরকম ফলাফল দেয়, তবে এটি সাহায্য করে না, কারণ চক্রের প্রস্থ এবং র‌্যাঙ্কউইথের মধ্যে পার্থক্য সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে ক্ষতিকারক হতে পারে।

— মাইকেল ল্যাম্পিস
সূত্র

সুষম চক্র-প্রস্থের এক্সপ্রেশনগুলির সাথে ডিলের প্রথম ফলাফলটি কর্সেল এবং ভ্যানিক্যাট (ড্যাম 131 (1): 129-150, 2003)। WG'07 কাগজ 2003 এর কাগজে কৌশলগুলি সাধারণীকরণ করে এবং একটি গ্রাফ বীজগণিতের জন্য ভারসাম্যপূর্ণ ভাব প্রকাশের জন্য পর্যাপ্ত শর্ত দেয়। আমার অনুমান ছিল যে আমরা ক্ষতিকারক আঘাতটি এড়াতে পারি না, তবে আমি কখনই এটিকে প্রমাণ বা অস্বীকার করার চেষ্টা করি না। কমপক্ষে আমাদের কৌশলটি ক্ষতিকারক আঘাতটি এড়াতে পারে না।

— এম কান্ট