ভাল বৈশিষ্ট্যযুক্তকরণের সাথে অপ্টিমাইজেশান সমস্যা, তবে বহু-সময়কালীন অ্যালগরিদম নেই

23

নিম্নলিখিত ফর্মটির অপ্টিমাইজেশন সমস্যাগুলি বিবেচনা করুন। যাক একটি বহুপদী টাইম গণনীয় ফাংশন যা একটি স্ট্রিং মানচিত্র হতে একটি মূলদ সংখ্যা মধ্যে। অপ্টিমাইজেশান সমস্যাটি হ'ল বিট স্ট্রিং উপর সর্বাধিক মান কত ? $f(x)$ $x$ $f(x)$ $n$ $x$

আসুন আমরা বলি যে এই জাতীয় সমস্যাটির একটি মিনিম্যাক্স বৈশিষ্ট্য রয়েছে , যদি আরও বহু- ফাংশন $g$ , যেমন

max_{x} f (x) = min_{y} g (y)

$\max_x f(x) = \min_y g(y)$ ধারণ করে। এখানে

x

$x$ সমস্ত

n

$n$ বিট স্ট্রিংয়ের উপর চলে এবং

y

$y$ সমস্ত

m

$m$ বিট স্ট্রিংয়ের উপরে চলে ;

n

$n$ এবং

m

$m$ হতে পারে তবে এগুলি বহুবিধভাবে সম্পর্কিত।

অসংখ্য প্রাকৃতিক এবং গুরুত্বপূর্ণ অপ্টিমাইজেশান সমস্যার মধ্যে এ জাতীয় মিনিম্যাক্স বৈশিষ্ট্য রয়েছে। কয়েকটি উদাহরণ (যে উপপাদ্যগুলির উপর ভিত্তি করে চরিত্রগুলি দেখানো হয়েছে):

লিনিয়ার প্রোগ্রামিং (এলপি ডুয়ালিটি থম), সর্বাধিক ফ্লো (ম্যাক্স ফ্লো মিন কাট থিম), ম্যাক্স বাইপারটাইট ম্যাচিং (কোনিগ-হল থম), ম্যাক্স নন- বাইপারটাইট ম্যাচিং (টুটের থম, টুট-বার্জ সূত্র), নির্দেশিত গ্রাফে ম্যাক্স ডিসঅজিনিট আরবোরাসেসেন্স ( এডমন্ডস ডিসজাইয়েন্ট ব্রাঞ্চিং থিম), অ্যাক্সেসরেক্ট গ্রাফে ম্যাক্স স্প্যানিং ট্রি প্যাকিং (টুটের গাছ প্যাকিং থিম), বন দ্বারা ন্যূনতম কভারিং (ন্যাশ-উইলিয়ামস থিম), সর্বাধিক নির্দেশিত কাট প্যাকিং (লুচেসি-ইয়াং থার্ম), সর্বোচ্চ 2-ম্যাট্রয়েড ছেদ (ম্যাট্রোড ছেদ) থিম), সর্বাধিক বিচ্ছিন্ন পথ (মেনারের থম), আংশিক অর্ডারযুক্ত সেট (দিলওয়ার্থ থম) এবং আরও অনেককে ম্যাক্স এন্টিচাইন ।

এই সমস্ত উদাহরণে, একটি বহু-কালীন অ্যালগরিদম সর্বোত্তমটি সন্ধানের জন্যও উপলব্ধ। আমার প্রশ্ন:

মিনিম্যাক্স চরিত্রায়িতকরণের সাথে কি কোনও অপ্টিমাইজেশান সমস্যা রয়েছে যার জন্য এখনও অবধি বহু-কাল-অ্যালগরিদম খুঁজে পাওয়া যায় নি?

দ্রষ্টব্য: লিনিয়ার প্রোগ্রামিং প্রায় 30 বছর ধরে এই স্থিতিতে ছিল!

— আন্দ্রেস ফারাগো
সূত্র

22

কিছু প্রযুক্তিগত দিক থেকে আপনি জিজ্ঞাসা করছেন যে কিনা । মনে করুন যে , সুতরাং পলি-টাইম এবং বিদ্যমান রয়েছে যাতে ইফফ এবং if ইফফ । এই একটি minmax চরিত্রায়ন যেমন ঢেলে সাজানো যেতে পারে যদি এবং অন্যথায়; যদি অন্যথায় এবং হয়। এখন প্রকৃতপক্ষে আমাদের । $P = NP \cap coNP$ $L \in NP \cap coNP$ $F$ $G$ $x \in L$ $\exists y: F(x,y)$ $x \not\in L$ $\exists y: G(x,y)$ $f_x(y) = 1$ $F(x,y)$ $f_x(y) = 0$ $g_x(y) = 0$ $G(x,y)$ $g_x(y) = 1$ $max_y f_x(y) = min_y g_x(y)$

তাই এই অর্থে, পরিচিত কোনো সমস্যা হতে কিন্তু হতে জানা যায় না আপনার প্রশ্নের উত্তর পরিণত করা যেতে পারে। যেমন ফ্যাক্টরিং (বলুন, বৃহত্তম ফ্যাক্টরের বিট 1 হবে কিনা এর সিদ্ধান্ত সংস্করণ )। $NP \cap coNP$ $P$ $i$

— নোয়াম
সূত্র

9

আমি এমন ছাপে ছিলাম যে কিছু লোক এমনকি "ভাল চরিত্রায়ন" এর সংজ্ঞা হিসাবে to নিতে এতদূর যায় ।

N P \cap c o N P

$\mathsf{NP} \cap \mathsf{coNP}$

— জোশুয়া গ্রাচো

এবং এই জাতীয় সমস্যার তালিকার জন্য দেখুন ম্যাথওভারফ্লো.नेट

— রাহুল সাওয়ানি

14

সিমুর এবং থমাস ট্রিউইথের নূন্যতম সর্বাধিক বৈশিষ্ট্য দেখিয়েছিলেন। তবুও, গাছের প্রস্থ এনপি-হার্ড। এটি তবে আপনি যে ধরণের বৈশিষ্ট্যটির জন্য জিজ্ঞাসা করছেন তা ঠিক নয়, কারণ দ্বৈত ফাংশন কোনও সংক্ষিপ্ত শংসাপত্রের বহুগতির সময় গণনাযোগ্য ফাংশন নয়। এটি এনপি সম্পূর্ণ সমস্যার পক্ষে সম্ভবত অনিবার্য, কারণ অন্যথায় আমাদের কোএনপিতে একটি এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যা হবে, এটি একটি ধস নামক এনপি = কোএনপি বোঝায়, এবং আমি এটি বেশ ধাক্কা দেওয়ার বিষয়টি বিবেচনা করব। $g$

Treewidth গ্রাফ এর -গাছের পচানি ক্ষুদ্রতম ক্ষুদ্রতম প্রস্থ সমান । গ্রাফ এর একটি গাছ পচানি একটি গাছ এই ধরনের প্রতিটি প্রান্তবিন্দু এর একটি সেট দ্বারা লেবেল করা ছেদচিহ্ন এর সম্পত্তি সঙ্গে $G$ $G$ $G$ $T$ $x$ $T$ $S(x)$ $G$

সমস্ত , । $x \in V(T)$ $|S(x)| \leq k+1$
সমস্ত মিলন হ'ল শীর্ষবর্ণের সেট । $S(x)$ $G$
প্রতিটি জন্য, এর সাবগ্রাফ দ্বারা প্রেরিত সমস্ত যার জন্য এ সংযুক্ত রয়েছে। $u \in V(G)$ $T$ $x$ $u \in S(x)$
প্রতিটি প্রান্ত for এর জন্য কিছু উপসেট । $(u, v) \in E(G)$ $S(x)$ $x \in V(T)$

Seymour, আর সেদিন থোমা দেখিয়েছেন যে treewidth সমান কাঁটাঝোপ সংখ্যা এর : সর্বোচ্চ এর সংযুক্ত subgraphs একটি সংগ্রহ রয়েছে যেমন যে যাতে করে: $G$ $k$ $G$

প্রতিটি দুটি উপগ্রাখা ছেদ করা হয় বা একটি প্রান্ত দ্বারা সংযুক্ত করা হয়।
এর কোনো সেট ছেদচিহ্ন সব subgraphs হিট। $k$ $G$

Subgraphs ধরনের একটি সংগ্রহ আদেশের একটি কাঁটাঝোপ বলা হয় $k$

লক্ষণীয় যে "ব্র্যাম্বল সংখ্যা কমপক্ষে " কীভাবে একটি বিবৃতি, তাত্পর্যপূর্ণ বড় সেটগুলির উভয় কোয়ান্টিফায়ার সহ। সুতরাং এটি শংসাপত্র যাচাই করার জন্য কোনও সহজ পরামর্শ দেয় না (এবং যদি এমন কিছু থাকে যা সত্যিই বড় খবর হত, যেমনটি আমি উপরে বলেছি)। কিছু এমনকি খারাপ করতে, Grohe এবং মার্কস দেখিয়েছেন যে যে জন্য একটি গ্রাফ আছে treewidth যেমন যে অন্তত আদেশের কোনো কাঁটাঝোপ ব্যাখ্যা মূলকভাবে অনেক subgraphs গঠিত হবে। তারা আরও দেখায় যে বহুতল আকারের ক্রম এর ব্র্যাম্বল রয়েছে। $k$ $\exists\forall$ $k$ $k$ $k^{1/2 + \epsilon}$ $k^{1/2}/O(\log^2 k)$

— সাশো নিকোলভ
সূত্র

1

আপনাকে ধন্যবাদ, এটি একটি খুব সুন্দর উদাহরণ, যদিও এটি আমি খুঁজছি বিভাগে না পড়েও। এটি আকর্ষণীয়ভাবে লক্ষণীয় যে বৃক্ষের প্রশস্ততা সম্পর্কে এই সর্বনিম্ন উপপাদ্যটি 1993 সালে প্রকাশিত হয়েছিল এবং সেই সময় গাছের প্রস্থের এনপি-পূর্ণতা ইতিমধ্যে জানা ছিল। সুতরাং, ফলাফলটি এনপি = কোএনপি অনুমান করার কারণ হিসাবে কাজ করতে পারে। ব্র্যাম্বল আকারের ক্ষতিকারক নিম্ন সীমানাটি এই ভূমিকার জন্য এটি অযোগ্যভাবে অযোগ্য ঘোষণা করেছে, এই নিম্ন সীমাটি কেবল 16 বছর পরে প্রকাশিত হয়েছিল।

— আন্দ্রেস ফারাগো

আন্দ্রেস, সেই সময়ে এটিও জানত যে হিট সেটটি সাধারণভাবে এনপি-হার্ড (এটি কার্পের 21 টির মধ্যে একটি সমস্যা ছিল)। এমনকি বহুতল আকারের ব্র্যাম্বলগুলির সাথেও, অর্ডার গণনা করা সহজ নয়, যদি না আপনি কোনওভাবে ব্র্যাম্বলের কাঠামো ব্যবহার করতে পারেন। তবুও, এটি আকর্ষণীয় যে ব্রাম্বলের আকারটি আগে তদন্ত করা হয়নি।

— সাশো নিকোলভ

13

প্যারিটি গেমস, গড়-পেওফ গেমস, ছাড়যুক্ত গেমস এবং সিম্পল স্টোকাস্টিক গেমস এই বিভাগে আসে।

এগুলির সবগুলিই গ্রাফগুলিতে খেলানো অসীম দ্বি প্লেয়ার শূন্য-সমষ্টি গেমস, যেখানে খেলোয়াড়রা শীর্ষকোষগুলি নিয়ন্ত্রণ করে এবং একটি টোকেনটি কোথায় যেতে হবে তা চয়ন করে। সকলের স্মৃতিবিহীন অবস্থানগত কৌশলগুলির মধ্যে ভারসাম্য রয়েছে যার অর্থ প্রতিটি খেলোয়াড় প্রতিটি পছন্দের শীর্ষ প্রান্তকে নির্বিচারে এবং খেলার ইতিহাস নির্বিশেষে বেছে নেয়। এক খেলোয়াড়ের কৌশল দেওয়া, অন্য খেলোয়াড়ের সর্বোত্তম প্রতিক্রিয়া বহুবর্ষীয় সময়ে গণনা করা যেতে পারে, এবং আপনার ন্যূনতম সর্বাধিক সম্পর্কটি গেমটির "মান" হিসাবে ধরে রাখে।

এই সমস্যার প্রাকৃতিক সিদ্ধান্তের রূপগুলি হ'ল এনপি এবং কো-এনপি (প্রকৃতপক্ষে ইউপি এবং সহ-ইউপি) এবং ফাংশন সমস্যাগুলি, একটি ভারসাম্য খুঁজে পেতে, পিএলএস এবং পিপিএডে থাকা।

সর্বাধিক সুপরিচিত চলমান সময় সহ অ্যালগরিদমগুলি হ'ল উপ-ঘাতক, তবে অতি-বহুত্ববাদী (যেমন , যেখানে গেমের গ্রাফের শীর্ষে অবস্থানের সংখ্যা)। $O(n^\sqrt{n})$ $n$

দেখুন, যেমন,

ডেভিড এস জনসন। 2007. এনপি-সম্পূর্ণতা কলাম: খড়ের ছিটে সূঁচগুলি সন্ধান করা। এসিএম ট্রান্স অ্যালগরিদম 3, 2, ধারা 24 (মে 2007)। ডিওআই = 10.1145 / 1240233.1240247 http://doi.acm.org/10.1145/1240233.1240247

— রাহুল সাভানী
সূত্র