সমস্যাগুলি যা অপরিবর্তিত গ্রাফগুলিতে সহজ তবে ভারযুক্ত গ্রাফগুলির পক্ষে শক্ত

Question

বহু অ্যালগরিদমিক গ্রাফ সমস্যা অদ্বিতীয় এবং ওজনযুক্ত গ্রাফ উভয় ক্ষেত্রে বহুবচিক সময়ে সমাধান করা যেতে পারে। কয়েকটি উদাহরণ হ'ল সংক্ষিপ্ত পথ, সর্বনিম্ন প্রসারিত বৃক্ষ, দীর্ঘতম পথ (নির্দেশিত অ্যাসাইক্লিক গ্রাফগুলিতে), সর্বাধিক প্রবাহ, ন্যূনতম কাটা, সর্বাধিক মিলন, সর্বোত্তম আরবোরেসেন্স, নির্দিষ্ট ঘনীয় সাবগ্রাফ সমস্যা, সর্বাধিক বিঘ্নিত নির্দেশিত কাট, নির্দিষ্ট গ্রাফ শ্রেণিতে সর্বোচ্চ চক্র, সর্বোচ্চ স্বাধীন নির্দিষ্ট গ্রাফ শ্রেণিতে সেট করা, বিভিন্ন সর্বাধিক বিচ্ছিন্ন পথ সমস্যা ইত্যাদি

আছে, যাইহোক, কিছু (যদিও সম্ভবত উল্লেখযোগ্যভাবে কম) যে বহুপদী সময় সমাধেয় হয় সমস্যার unweighted মামলা, কিন্তু কঠিন হয়ে (অথবা খোলা অবস্থা) এ ভরযুক্ত ক্ষেত্রে । এখানে দুটি উদাহরণ দেওয়া হল:

1. প্রদত্ত $n$ -vertex সম্পূর্ণ গ্রাফ, এবং একটি পূর্ণসংখ্যা $k\geq 1$ , বর্ধিত খুঁজে $k$ প্রান্ত ন্যূনতম সম্ভব নম্বর দিয়ে -connected subgraph। এটি বহুবৃত্তীয় সময়ে সমাধানযোগ্য, এফ। হারারি এর উপপাদ্যটি ব্যবহার করে, যা অনুকূল গ্রাফগুলির কাঠামোটি বলে দেয়। অন্যদিকে, প্রান্তগুলি যদি ওজনযুক্ত হয় তবে ন্যূনতম ওজনের $k$ সংযুক্ত স্প্যানিং সাবগ্রাফটি পাওয়া $NP$ -hard hard

2. এস চেচিক, এমপি জনসন, এম পার্টার এবং ডি পেলেগের একটি সাম্প্রতিক (ডিসেম্বর ২০১২) পেপার (দেখুন http://arxiv.org/pdf/1212.6176v1.pdf ) অন্যান্য বিষয়গুলির মধ্যেও তারা একটি পথ সমস্যা বিবেচনা করে ন্যূনতম এক্সপোজার পাথ কল করুন । এখানে একটি দুটি নির্দিষ্ট নোডের মধ্যে একটি পথের সন্ধান করে, যেমন পথে নোডের সংখ্যা , এবং সেই সাথে নোডের সংখ্যা যে পাথের প্রতিবেশী থাকে সর্বনিম্ন। তারা প্রমাণ করে যে সীমাবদ্ধ ডিগ্রি গ্রাফগুলিতে এটি অদ্বিতীয় মামলার বহুপদী সময়ে সমাধান করা যায় তবে $NP$ অদ্বিতীয় মামলার ক্ষেত্রে বহুপক্ষীয় ওয়েট ক্ষেত্রে হার্ড , এমনকি ডিগ্রি সীমাবদ্ধ 4 (নোট: রেফারেন্সটি প্রশ্নের উত্তর হিসাবে পাওয়া গেল কি? এই পথ সমস্যার জটিলতা কি? )

এই প্রকৃতির আরও কিছু আকর্ষণীয় সমস্যাগুলি কী, অর্থাত্ ভারী সংস্করণে স্যুইচ করার কারণে "জটিলতা লাফানো?"

Comments

দ্বিপাক্ষিক গ্রাফ মধ্যে পারফেক্ট ম্যাচিং সমস্যা হয় যখন দ্বিপাক্ষিক গ্রাফ সঠিক ওজন পারফেক্ট মেলা দ্বারা NP-সম্পূর্ণ হয়েছে$P$

— মোহাম্মদ আল-Turkistany

ধন্যবাদ, এটি একটি আকর্ষণীয় উদাহরণ। আপনি এটি কোনও মন্তব্য না করে উত্তর হিসাবে যুক্ত করতে পারেন।

— আন্দ্রেস ফারাগো

ন্যাপস্যাক একটি সাধারণ উদাহরণ। যদি সমস্ত লাভ 1 হয় তবে সমস্যাটি সহজ (লোভের সাথে আকারের সাহায্যে সন্নিবেশ করানো অনুকূল হবে) যখন এটি এনপি-হার্ড হয় যখন লাভটি আলাদা এবং বড় হতে পারে। কোনও গ্রাফ সমস্যা নয় কেবল ঘটনাটি ব্যাখ্যা করার জন্য।

— চন্দ্র চেকুরি

Answer 1

আনুমানিক অ্যালগরিদমের বিশ্বে ক্যাপাসিটেড ভারটেক্স কভার সমস্যা রয়েছে। প্রদত্ত এবং প্রতিটি ভি ∈ ভি এর জন্য পূর্ণসংখ্যার ক্ষমতা সি ( ভি ) লক্ষ্য হ'ল জি এর জন্য ন্যূনতম মাপের ভার্টেক্স কভার সন্ধান করা যেখানে v দ্বারা আচ্ছাদিত প্রান্তগুলি সর্বাধিক সি ( ভি ) হয় । এই সমস্যা unweighted ক্ষেত্রে একটি ধ্রুবক ফ্যাক্টর পড়তা হয়েছে যখন এটি আছে (যে, আমরা প্রান্তবিন্দু কভার আকার কমান চান) Ω ( লগ ঢ ) -hard (যদি না$G=(V,E)$$c(v)$$v \in V$$G$$v$$c(v)$$\Omega(\log n)$$P = NP$ওজনযুক্ত ক্ষেত্রে ) (প্রতিটি প্রান্তের একটি ওজন এবং আমরা কভারের ওজন হ্রাস করতে চাই)।$w(v)$

Answer 2

আমার প্রিয় উদাহরণটি হ'ল স্বাধীন আধিপত্য সমস্যা (প্রদত্ত গ্রাফ এবং পূর্ণসংখ্যা কে , জি-তে কি অন্তর্ভুক্ত-সর্বাধিক কে শীর্ষে অবস্থিত সর্বাধিক স্বাধীন সেট আছে ?)। মার্টিন ফারবারের কারণে একটি দুর্দান্ত ফলাফল ( এখানে দেখুন ), অবিশ্বাস্য সংস্করণটি কর্ডাল গ্রাফগুলিতে বহুপদীভাবে সমাধানযোগ্য। জেরার্ড চাং প্রমাণ করেছেন যে ওজনযুক্ত সংস্করণটি কর্ডাল গ্রাফগুলির জন্য এনপি-সম্পূর্ণ ( এখানে দেখুন )।$G$$k$$G$$k$

Answer 3

দ্বিপাক্ষিক গ্রাফ মধ্যে পারফেক্ট ম্যাচিং সমস্যা হয় যখন দ্বিপাক্ষিক গ্রাফ সঠিক ওজন পারফেক্ট মেলা এন পি -Complete ।$P$$NP$

Comments

আমি তাদের একই সমস্যা হিসাবে বিবেচনা করি না। সবচেয়ে কম St পথের জটিলতা যা জাভাস্ক্রিপ্টে গার্বেজ P এবং আকারের একটি St পথ তুলনা মত দেখাচ্ছে , যা জাভাস্ক্রিপ্টে গার্বেজ NP-সম্পূর্ণ। $\alpha$

— Saeed

Answer 4

মোহাম্মদ আল-তুর্কিস্তানের জবাব অনুসরণ করে, মনে হয় যে বহুবর্ষীয় সময়ে সমাধানযোগ্য অবিচলিত সমস্যাগুলি ভারিত ক্ষেত্রে কমপ্লিট হিসাবে পরিণত করা যেতে পারে , যদি আমরা জিজ্ঞাসা করি যে এর কোনও সমাধান রয়েছে যা সঠিকভাবে দেওয়া ওজনের সঠিক সমাধান রয়েছে কিনা । কারণটি হ'ল এটি বিবেচিত কার্যটিতে সাবসেট সমষ্টি সমস্যা এনকোড করার অনুমতি দিতে পারে।$NP$

উদাহরণস্বরূপ, এক্সটেন ওয়েট পারফেক্ট ম্যাচিংয়ের ক্ষেত্রে, আমরা ইনপুট হিসাবে একটি সম্পূর্ণ দ্বিদলীয় গ্রাফ নিতে পারি, নির্দিষ্ট মিলনের প্রান্তগুলিতে প্রদত্ত ওজন এবং অন্যান্য সমস্ত প্রান্তে 0 ওজন নির্ধারণ করি। এটা এই ভরযুক্ত গ্রাফ ওজন একটি নিখুঁত ম্যাচিং আছে ঠিক দেখতে সহজ যদি এবং কেবল যদি সেখানে ওজন একটি উপসেট যে ঠিক করতে অঙ্কের হয় ওয়াট । (যদি কোনও সাবসেট থাকে, তবে আমরা স্থির মিলের সাথে সম্পর্কিত প্রান্তগুলি নিতে পারি এবং এটি একটি সম্পূর্ণ দ্বিদলীয় গ্রাফ হিসাবে ব্যবহার করে এটি 0-ওজনের প্রান্তের সাথে একটি নিখুঁত মিলের দিকে প্রসারিত করতে পারি)) আমার মনে হয়, একই রকম সহজ কৌশল অন্যান্য সমস্যাগুলির জন্যও কাজ করতে পারে।$W$$W$

Comments

আমি আল-তুর্কিস্তানির উত্তরটি রেখেছিলাম বলে একই মন্তব্য উদাহরণস্বরূপ , কোনও গ্রাফ জি-তে দৈর্ঘ্যের চক্র সন্ধান করার সমস্যাটি বিবেচনা করুন এটি ভারী বা অপরিচ্ছন্ন গ্রাফ উভয়ই এনপি-সম্পূর্ণ হবে (যেমন হ্যামিলটনিয়ান চক্র), আমরা কীভাবে বলতে পারি যে একটি এনপি-সম্পূর্ণ এবং অন্যটি পিতে রয়েছে? এটি ওজনের সাথে অপ্রাসঙ্গিক। $k$$G$

— Saeed

Answer 5

গ্রাফ ব্যালেন্সিং (মিন আউট-ডিগ্রি ওরিয়েন্টেশন নামেও পরিচিত) এই ঘটনার আরও একটি উদাহরণ। এই সমস্যায় আমাদের একটি অপরিবর্তিত প্রান্ত-ওজনযুক্ত গ্রাফ দেওয়া হয়। লক্ষ্যটি প্রান্তগুলিকে আলোকিত করা যাতে ফলস্বরূপ ডিগ্রাফের (ওজনযুক্ত) সর্বাধিক আউট-ডিগ্রি হ্রাস করা যায়।

সমস্যাটি প্রায়শই একটি নির্ধারিত দৃশ্যের দ্বারা প্রেরণা পায়। কল্পনা করুন যে প্রতিটি প্রান্তটি একটি প্রসেসর এবং প্রতিটি প্রান্ত এমন একটি কাজ যা কেবলমাত্র তার দুটি শেষ পয়েন্টের একটিতে চালানোর অনুমতিপ্রাপ্ত। একটি প্রান্তের ওজন হ'ল সংশ্লিষ্ট কাজের দৈর্ঘ্য এবং লক্ষ্যটি মেকস্প্যানকে হ্রাস করতে হবে।

সমস্যাটি এনপি-হার্ড এবং এপিএক্স-হার্ড, এমনকি যদি সমস্ত ওজন 1 বা 2 হয় (এবেলেন্ডার এট আল দেখুন। "গ্রাফ ব্যালেন্সিং: সোডা ২০০৮-এ সম্পর্কিত সম্পর্কযুক্ত সমান্তরাল মেশিনগুলির সময়সূচী করার একটি বিশেষ ক্ষেত্রে)"। তবে এটি অপ্রকাশিত গ্রাফগুলির জন্য পিতে রয়েছে (আসাহিরো এট আল দেখুন "গ্রাফ ক্লাস এবং গ্রাফ ওরিয়েন্টেশনের জটিলতা সর্বাধিক ওজনকে ছাড়িয়ে যাওয়ার ঝুঁকিকে" ২০০ 2008 সালে)।

Answer 6

Maybe this is just a trivial example and you may consider it a degenerate case, but the first example that came to my mind is the Travelling Salesman Problem (where it is usually assumed that the graph is complete). Note that the unweighted version is Hamiltonian Cycle, which is trivial for complete graphs.

Answer 7

Finding the minimum cost path under delay constraint (a.k.a. the Constrained Shortest Path problem) seems to fit here.

Suppose you have a graph $G=(V,E)$, a delay function $d:V\to\mathbb {N}^+$, a cost function $c:\to\mathbb {N}^+$, a number $D\in \mathbb {N}^+$ and two vertices $s,t\in V$.

The problem is finding the minimum cost $s-t$ path, such that the delay of the path no more than $D$.

If the problem is unweighted ($\forall v\in V:d(v) =1$, a.k.a $hop-count$), the problem is trivial (given as homework in basic algo courses sometimes).

If the problem is weighted, it becomes the Constrained Shortest Path, which is known to be NP-complete even on DAGs.

Answer 8

The problem Local Max Cut with the FLIP neighbourhood is PLS-complete in general integer-weighted graphs.

A.A. Schaeffer and M. Yannakakis. (1991). Simple local search problems that are hard to solve. SIAM Journal on Computing, 20(1):56-87.

However, if the largest weight is polynomial in the size of the graph, then local improvements to the potential (weight of a cut) will converge in polynomial time, since each improvement will increase the potential function by at least one, and the potential function is polynomially bounded. (With general weights, finding a solution reachable by local improvements from a specific starting cut is PSPACE-complete.)

A similar thing happens also in other "potential games".

Answer 9

Traveling salesman is open on sold grid graphs, but Hamilton cycle (the unweighted variant) is known to be polynomial.

Discussion of both on the open problems project:

http://cs.smith.edu/~orourke/TOPP/P54.html

Answer 10

On 2K_1-free Maximum cut is polynomial and Weighted maximum cut is NP-complete.