শ্রেণিবিন্যাসের উপপাদ্যগুলি ছাড়াই জটিল শ্রেণীর বিভাজন

Question

হায়ারার্কি উপপাদ্যগুলি মৌলিক সরঞ্জাম। তাদের মধ্যে একটি ভাল সংখ্যা পূর্ববর্তী একটি প্রশ্নে সংগ্রহ করা হয়েছিল (দেখুন আপনি কি শ্রেণিবদ্ধতা এবং / বা শ্রেণিবদ্ধের তত্ত্বগুলি জানেন? )। কিছু জটিলতা শ্রেণীর বিচ্ছেদগুলি হায়ারার্কি উপপাদ্যগুলি থেকে সরাসরি অনুসরণ করে। যেমন সুপরিচিত বিচ্ছিন্নতার উদাহরণ: $L\neq PSPACE$ , $P\neq EXP$ , $NP\neq NEXP$ , $PSPACE\neq EXPSPACE$।

যাইহোক, প্রতিটি বিচ্ছেদ একটি শ্রেণিবিন্যাসের উপপাদ্য থেকে অনুসরণ করে না। খুব সাধারণ উদাহরণ হ'ল । যদিও আমরা জানি না যে তাদের কোনওটির মধ্যে অন্য রয়েছে কিনা তা এখনও সেগুলি আলাদা, কারণ এন পি বহুবর্ষীয় রূপান্তরের ক্ষেত্রে বন্ধ রয়েছে, যদিও ই নেই।$NP\neq E$$NP$$E$

ইউনিফর্ম শ্রেণীর জন্য কিছু গভীর, নিঃশর্ত, আপেক্ষিক জটিলতা শ্রেণীর পৃথকীকরণগুলি যা কিছু শ্রেণিবদ্ধের উপপাদ্য থেকে সরাসরি অনুসরণ করে না ?

Comments

আমি বিচ্ছেদ বলা কিছুটা অস্বাভাবিক মনে করি । এছাড়াও তাদের বৈষম্য তুচ্ছ কারণে এবং আমাদের আকর্ষণীয় কিছু বলে না। এএফআইএকি বড় জটিলতার শ্রেণীর জন্য সমস্ত আকর্ষণীয় জটিলতা শ্রেণীর বিভাজনগুলি কোনও একক পর্যায়ে শ্রেণিবিন্যাসের উপপাদ্যগুলিতে (এবং পরিবর্তে তির্যককরণ) উপর নির্ভর করে। $NP\neq E$

— Kaveh

সত্য, এটি তুচ্ছ কারণে কে পৃথকীকরণ বলা সত্যিই অস্বাভাবিক । আমি কেবল এটির একটি সহজ উদাহরণ দেখানোর জন্য এনেছি যেখানে কোনও শ্রেণিবিন্যাসের উপপাদ্যের প্রয়োজন নেই। $NP\neq E$

— আন্দ্রেস ফারাগো

পথভ্রষ্ট দ্বারা NP প্রমাণ! = ই নেই একটি অনুক্রমের উপপাদ্য ওপর নির্ভর করে! এটি যেভাবে কাজ করে তা হ'ল আপনি প্রথমে এনপি = ই অনুমান করেন, তারপরে সেই ই = এক্সপি অনুমানের জন্য এনপি-র ক্লোজার বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করুন, যার ফলে টাইম হায়ারার্কি তত্ত্বটি লঙ্ঘন করা হবে।

— স্কট অ্যারনসন

ধন্যবাদ, স্কট, আপনি পুরোপুরি ঠিক বলেছেন। সঠিক উদাহরণ ছিল না। আমি উত্তরের মধ্যে আরও ভাল পোস্ট করেছি। $NP\neq E$

— আন্দ্রেস ফারাগো

সুতরাং এমন ধরনের অসাম্য diagonalization উপর নির্ভর: কিন্তু ই ⊊ ই এক্স পি । চমৎকার এবং সর্বোপরি এত তুচ্ছ নয়। $E \subseteq NP \subseteq AC^0\circ NP \subseteq AC^0 \circ E \subseteq EXP$$E \subsetneq EXP$

— কাভেঃ

Answer 1

আমি ভুল দেখানো পছন্দ করতে চাই, তবে আমি মনে করি না যে বর্তমানে কোনও সমান নিম্ন সীমানা রয়েছে যা শেষ পর্যন্ত শ্রেণিবদ্ধের উপপাদ্যের একটির উপর ভিত্তি করে তৈরি হয়নি। কীভাবে অভিন্নতার সুবিধা নেবেন সে সম্পর্কে আমাদের বর্তমান বোঝাপড়াটি সেই অর্থে সত্যিই সীমিত।

অন্যদিকে, অনেকগুলি নিম্ন নিম্ন সীমানা রয়েছে যা হায়ারার্কি উপপাদ্যগুলি থেকে সরাসরি অনুসরণ করে না , তবে অন্যান্য চতুর কৌশল, কৌশল এবং ফলাফলগুলির সাথে একত্রিত করে একটি শ্রেণিবিন্যাসের উপপাদ্যকে ব্যবহার করে, উদাহরণস্বরূপ:

• [Hopcroft-paul-বীর]। তারা প্রমাণ করে ডি টি আমি এম ই ( এন ) ⊆ ডি এস পি একটি সি ই ( এন / লগ ইন করুন এন ) (তাদের প্রমাণের অ diagonalization অংশ), এবং তারপর আসলে ব্যবহার সি এস এল = এন এস পি একটি সি ই ( $\mathsf{CSL} \not\subseteq \mathsf{DTIME}(n)$$\mathsf{DTIME}(n) \subseteq \mathsf{DSPACE}(n/\log n)$$\mathsf{CSL} = \mathsf{NSPACE}(n)$স্থান শ্রেণিবিন্যাসের সাথে একত্রে। তাদের ফলাফল + স্থানের শ্রেণিবিন্যাসটি কেও বোঝায় ।$\mathsf{DSPACE}(n) \nsubseteq \mathsf{DTIME}(n)$
• সন্তুষ্টিযোগ্যতার জন্য সময়-স্থান বাণিজ্য-বন্ধ (দেখুন উদাহরণস্বরূপ, বস-উইলিয়ামসের সূচনা এবং এর উল্লেখগুলি)
• $\mathsf{DTIME}(n) \neq \mathsf{NTIME}(n)$ [Paul-Pippinger-Szemeredi-Trotter]. Uses a nontrivial simulation of any deterministic super-linear-time machine by a faster four-alternation machine, in combination with the deterministic time hierarchy.
• Uniform lower bounds on the permanant [Allender, Allender-Gore, Koiran-Perifel]
• [উইলিয়ামস] (যদিও প্রযুক্তিগতভাবে এটি একটি স্বতঃস্ফূর্ত নিম্ন সীমানা, এটি ননডেটরিস্টিনিস্টিক টাইম শ্রেণিবিন্যাসের সাথে একত্রে চালুর ধারণাগুলি ব্যবহার করে)$\mathsf{NEXP} \not\subseteq \mathsf{ACC}^0$

Answer 2

বিচ্ছেদ হয় দ্বারা Smolensky কিছু আপনি এ খুঁজছেন করা হয়েছে?$\mathsf{AC}^0\subsetneq\mathsf{TC}^0$

Comments

Thank you, that is a nice result, but I am looking for separations of $uniform$ classes, not circuit classes.

— Andras Farago

@AndresFarago: Uniform AC^0 is also properly included in uniform TC^0.

— Emil Jeřábek supports Monica

@EmilJeřábek: Is there a proof that uniform $\mathsf{AC}^0$ is properly contained in uniform $\mathsf{TC}^0$ that doesn't also already prove the nonuniform statement? (If not, then it would seem your example falls under the general principle that nonuniform lower bounds are stronger than uniform lower bounds, and I think the OQ was trying to avoid such answers...)

— Joshua Grochow

I think the nonuniformity in the proofs is secondary to the fact that these are rather small classes where we have some nice combinatorial/algebraic understanding of them. I.e. we understand them well enough to directly construct an object which is not in them. Where are for larger classes there is no such understanding and therefore the only method we know is to do diagonalization against the whole class to construct such objects.

— Kaveh

Answer 3

Another nontrivial example comes from the area of average case complexity. Rainer Schuler proves interesting properties of the class he calls $P_{P-comp}$, see [1].

$P_{P-comp}$ is the class of languages that are accepted in polynomial time on $\mu$-average for every polynomial time computable (P-computable) distribution $\mu$. Naturally, $P\subseteq P_{P-comp}$ holds, since the existence of a deterministic polytime algorithm implies that it remains efficient on the average, no matter the what the input distribution is. However, the condition of running in average polynomial time for every P-computable input distribution appears strong enough to suspect $P_{P-comp}=P$.

Surprisingly, Schuler proves that there is a language $L\in P_{P-comp}$, which is Turing-complete for $E$, that is,

$$E\subseteq P^{P_{P-comp}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (*)$$ This implies the unconditional separation $P_{P-comp}\neq P$. While the latter also uses the fact $E\neq P$, which follows from the Time Hierarchy Theorem, the novel part (*) builds on different tools: beyond diagonalization, it employs resource bounded measure and Kolmogorov complexity.

Reference:

[1] R. Schuler, "Truth-table closure and Turing closure of average polynomial time have different measures in EXP," CCC 1996, pdf