গ্রাফের বর্ণমালা প্রতিটি স্বতন্ত্র সেটে রঙের সংখ্যা হ্রাস করে

11

নীচের দাবিটি কি জানা আছে?

দাবি : উল্লম্ব সহ যে কোনও গ্রাফ জন্য রঙিন উপস্থিত রয়েছে যা প্রতিটি স্বতন্ত্র সেটকে সর্বাধিক বর্গ রঙ দ্বারা রঙ করা হয়। $G$ $n$ $G$ $O(\sqrt{n})$

reference-request graph-colouring

— ইগর শিংকার
সূত্র

11

নিম্নলিখিত দাবিটি আমার কাছে জানা, তবে এটি অপ্রকাশিত বলে গণনা করা যাবে না: উল্লম্বের যে কোনও গ্রাফটি রঙিন করা যেতে পারে যাতে বেশিরভাগ তে ক্রোম্যাটিক সংখ্যার যে কোনও অনুপ্রবেশ , সর্বাধিক বর্ণ ব্যবহার করে, যেখানে । $n$ $H$ $k$ $\chi(H)+B$ $B(B+1)\leq 2kn$

এটি অন্তর্ভুক্তির দ্বারা প্রমাণ; অনুপ্রেরণাটি এমন রঙিনগুলি বিবেচনা করা ছিল যা কেবল গ্রাফেই নয় সমস্ত প্ররোচিত সাবগ্রাফগুলিতেও কয়েকটি রঙ ব্যবহার করে। যদিও আমি প্রকাশিত কোনও ফলাফল সম্পর্কে অবগত নই।

— অরবিন্দ
সূত্র

10

আপনি যা চেয়েছিলেন তা পুরোপুরি নয়, তবে এখানে একটি নিম্ন সীমাবদ্ধ - একটি গ্রাফ যার জন্য কোনও বর্ণের ফলে set রঙের দ্বারা নির্ধারিত একটি স্বাধীন সেট তৈরি হবে : $\sqrt{n}$

নিন কপি , এবং একটি একক প্রান্তবিন্দু সব ছেদচিহ্ন সংযোগ । $\sqrt{n}$ $K_{\sqrt{n}}$ $s$

স্পষ্টতই, বিভিন্ন এর উল্লম্বের প্রতিটি সেট স্বাধীন, এবং of এর প্রতিটি অনুলিপিতে আপনি কমপক্ষে একটি "নতুন" রঙ খুঁজে পেতে পারেন। $\sqrt{n}$ $K$ $K_{\sqrt{n}}$

এই নিম্ন সহজেই improved বা আরও উন্নত করা যেতে পারে যদি আমরা কে একটি একক সাথে সংযুক্ত তবে এটি কেবল রঙে থেকে যায়। $\sqrt{2n}$ $K_1,K_2,..$ $\Omega(\sqrt{n})$

— আর বি
সূত্র

দ্বিতীয় উদাহরণটি সীমাবদ্ধতার উন্নতি বলে মনে হচ্ছে না। আমি মনে করি যে কোনও আইএস ব্যবহার করে রঙিন হতে পারে । উদাহরণস্বরূপ, এন = 9 এর জন্য নীল রঙের, সবুজ এবং লাল এবং নীল, সবুজ এবং লাল দ্বারা । কোন সর্বোচ্চ 2 রং দ্বারা রঙ্গিন হয়, না 3.

2 \sqrt{2 n} / 3

$2\sqrt{2n}/3$

K_{1}

$K_1$

K_{2}

$K_2$

K_{3}

$K_3$

— user15669

আপনি কি বোঝাতে চাচ্ছেন তা আমি নিশ্চিত নই. দ্বিতীয় উদাহরণটি সীমাবদ্ধতার উন্নতি করে, তবে অ্যাসিপোটোটিকভাবে নয়। আপনি কে from থেকে ব্যবহার করে একটি color সাইজ রঙিন আইএস তৈরি করতে , কে একটি ভিন্ন রঙের সাথে, এবং আরও ( থেকে আমরা এমন একটি বর্ণের দ্বারা একটি রঙিন নেব যা এখনও বিদ্যমান নেই আমাদের আইএস)। এবং এটি প্রতিটি বর্ণের জন্য ধারণ করে ।

2 \sqrt{n}

$2\sqrt n$

K_{1}

$K_1$

K_{2}

$K_2$

K_{i}

$K_i$

G

$G$

— আরবি

এছাড়াও, আপনার উদাহরণে, যা থেকে নীল প্রান্তবিন্দু রয়েছে থেকে সবুজ থেকে লাল 3 রং দ্বারা রঙ্গিন করা হয়।

K_{1}

$K_1$

K_{2}

$K_2$

K_{3}

$K_3$

— আরবি

1

@ আরবি উদাহরণের জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। আপনার দ্বিতীয় গ্রাফটি নীচের দিকে বাধা দেয় , এটি এমন নম্বর যা ।

t \approx \sqrt{2 n}

$t \approx \sqrt{2n}$

1 + 2 + \dots + t = n

$1+2+\dots + t = n$

— ইগর শিংকার

5

নিম্নলিখিত প্রমাণ সম্পর্কে কি? যদি , তবে দাবিটি অবশ্যই স্পষ্টভাবে ধারণ করে। এর বিপরীতে ধরুন, এবং সর্বাধিক কার্ডিনালিটি সহ একটি স্বতন্ত্র সেট হয়ে । রঙ রঙ 1 এবং যাও recursively রঙ গ্রাফ সঙ্গে রং দিয়ে । এখন, যদি একটি স্বাধীন সেট , বিবেচনা । আনয়ন অনুমানের দ্বারা, সর্বাধিক রঙের সাথে বর্ণযুক্ত এবং সর্বাধিক with দিয়ে বর্ণযুক্ত $\alpha(G) \leq \sqrt{n}$ $I$ $G$ $\alpha$ $I$ $G - I$ $2,...,c$ $K$ $G$ $K' = K - I$ $K'$ $\sqrt{n-\alpha}$ $K$ $1+\sqrt{n-\alpha} \leq \sqrt{n}$ রং; বৈষম্য ধৃষ্টতা দ্বারা ঝুলিতে যে । $\alpha \geq \sqrt{n}$

— Super8
সূত্র

1

1 + \sqrt{n - \sqrt{n}} > \sqrt{n}

$1+\sqrt{n-\sqrt{n}}>\sqrt{n}$ , তবে এই প্রমাণটি সম্ভবত যে কোনও জন্য দেখানো যেতে সংশোধন করা যেতে পারে যে কোনও আইএস সর্বাধিক দ্বারা বর্ণযুক্ত colored রঙ। যাই হোক না কেন, এটি একটি রেফারেন্স অনুরোধ, প্রমাণের জন্য অনুরোধ নয়।

ϵ > 0

$\epsilon>0$

(1 + ϵ) \sqrt{n} + C_{ϵ}

$(1+\epsilon)\sqrt{n}+C_\epsilon$

— ব্যবহারকারী 15669

1

নিশ্চয় প্রমাণ প্রতিস্থাপন কাজ করা উচিত সঙ্গে । "রেফারেন্স অনুরোধ" অংশটি মিস করার জন্য আমি ক্ষমাপ্রার্থী, তবে এই ফলাফলটিকে লোককাহিনী হিসাবে বিবেচনা করা উচিত নয়? বিটিডাব্লু, আমি উপরের মতো একই ব্যক্তি তবে আমার বিভিন্ন প্রোফাইলকে একীভূত করার জন্য আমার একটি উপায় খুঁজে বের করা উচিত, আমার সম্ভবত মেটা.স্টেসিওরিস্টেসেক্সচেঞ্জের জন্য এটি জিজ্ঞাসা করা উচিত।

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

2 \sqrt{n}

$2 \sqrt{n}$

— সুপার 0

(প্রোফাইল মার্জ অনুরোধে) এই জাতীয় অনুরোধ পোস্ট করার জন্য মেটা একটি ভাল জায়গা।

— সুরেশ ভেঙ্কট