কোনও গ্রাফের প্রান্ত কভারের সংখ্যা গণনা করার জটিলতা

একটি প্রান্ত কভার একটি গ্রাফের প্রান্তগুলির একটি উপসেট যা গ্রাফের প্রতিটি শীর্ষবিন্দুটি কভারের কমপক্ষে একটি প্রান্তের সাথে সংলগ্ন থাকে। নিম্নলিখিত দুটি কাগজপত্র বলে যে কাউন্টিং প্রান্ত কভার হয় #P -complete: এজ কভার গণনা করার এক সহজ FPTAS এবং পথ গ্রাফ জেনারেট এজ কভার । তবে, আমি যদি কিছু মিস না করি তবে তারা এই দাবির জন্য কোনও প্রমাণ বা প্রমাণ সরবরাহ করে না। (প্রথম কাগজের 3 রেফারেন্সটি প্রতিশ্রুতিবদ্ধ বলে মনে হয়েছিল তবে আমি সেখানে যা চেয়েছিলাম তা আমি পাইনি))

কোনও গ্রাফের প্রান্তের কভারের সংখ্যা গণনা # পি-সম্পূর্ণ, এর প্রমাণ বা প্রমাণ আমি কোথায় পাব?

— a3nm
সূত্র

উত্তর:

আমি জানি না এটি প্রথম কোথায় প্রমাণিত হয়েছিল, তবে যেহেতু এজকভারের বুলিয়ান ডোমেইন হোল্যান্ট সমস্যা হিসাবে একটি অভিব্যক্তি রয়েছে, তাই এটি অনেকগুলি হোলান্ট ডিকোটোমি তত্ত্বগুলির অন্তর্ভুক্ত।

এজকভার (1) সালে ডিকোটমি তত্ত্বের অন্তর্ভুক্ত। উপপাদ্য 6.২ (জার্নাল সংস্করণে বা প্রিপ্রিন্টে উপপাদ্য 6.১) দেখায় যে এজকভার # পি-হার্ড ওভার প্ল্যানার 3-নিয়মিত গ্রাফের মধ্যে রয়েছে। এই দেখার জন্য, 3-নিয়মিত গ্রাফ উপর একটি Holant সমস্যা হিসেবে EdgeCover জন্য অভিব্যক্তি $\operatorname{Holant}([0,1,1,1])$ (অথবা প্রতিস্থাপন $[0,1,1,1]$ সঙ্গে $[0,1,\dotsc,1]$ ধারণকারী $k$ একই সমস্যার জন্য 1 এর $k$ নিয়মিত গ্রাফ)। এই স্বীকৃতি হ্যামিং ওজনকে ইনপুট $[0,1,1,1]$ অনুসারে একটি প্রতিসাম্য ফাংশনের আউটপুট তালিকাভুক্ত করে । সেট প্রান্তগুলির কিছু উপসেটের জন্য (যা আমরা 1 হিসাবে নির্ধারিত হিসাবে পরিপূরক সেট হিসাবে 0 হিসাবে নির্ধারিত বলে মনে করি) প্রতিটি সীমাবদ্ধতার সীমাবদ্ধতা হ'ল কমপক্ষে একটি প্রান্ত 1 নির্ধারিত হয় যা ফাংশনটি ঠিক ঠিক $[0,1,1,1]$ । প্রান্তের একটি নির্দিষ্ট উপসেটের জন্য, এর ওজন আউটপুটগুলির পণ্য is $[0,1,1,1]$ প্রতিটি শীর্ষে যদি কোনও ভার্টেক্স আচ্ছাদিত না হয় তবে এটি একটি উপাদানকে অবদান রাখে । সব ছেদচিহ্ন আচ্ছাদিত করা হয়, তাহলে সব ছেদচিহ্ন একটি গুণক অবদান , তাই ওজন হয় । তারপরে হোলান্টটি প্রতিটি সম্ভাব্য উপসেটের উপরে যোগফল এবং প্রতিটি উপসেটের সাথে যুক্ত ওজন যুক্ত করতে হবে। এই প্রতিরোধের মানটি হুবহু সমান হয় যদি আমরা প্রতিটি প্রান্তকে উপ-বিভাগ করি এবং এই নতুন ভার্টিক্সের উভয় ঘটনার কিনারা সমান হতে হবে এমন সীমাবদ্ধতা চাপিয়ে দেয়। প্রতিসম ফাংশন স্বরলিপি ব্যবহার করে, এই বাইনারি সমতা ফাংশনটি । এই গ্রাফটি দ্বিপক্ষীয়। এক অংশের উল্লম্বগুলি $0$ $1$ $1$ $[1,0,1]$ সীমাবদ্ধতা যখন অন্য অংশের শিখরে সীমাবদ্ধতা রয়েছে। হোলান্ট সমস্যা হিসাবে এর জন্য । তারপরে আপনি নিজের জন্য সেই সারিটি " " এবং কলাম " "চেক করতে পারেন $[0,1,1,1]$ $[1,0,1]$ $\operatorname{Holant}([0,1,1,1]|[1,0,1])$ $[0,1,1,1]$ "উপরে বর্ণিত উপপাদ্যের নিকটবর্তী সারণির" এইচ "রয়েছে যার অর্থ সমস্যাটি # পি-হার্ড এমনকি ইনপুট গ্রাফটি প্ল্যানার হতে হবে। $[1,0,1]$

পার্শ্ব নোট: নোট করুন যে পিনান লু এই কাগজ এবং আপনি যে প্রথমপত্রটি উদ্ধৃত করেছেন তা উভয়েরই একজন লেখক। আমি অনুমান করছি যে যখন তাদের কাগজতে "গণনা প্রান্তের কভারগুলি একটি # পি-সম্পূর্ণ সমস্যা তখনও আমরা ইনপুটটিকে 3 টি নিয়মিত গ্রাফের মধ্যে সীমাবদ্ধ রাখি", তখন তারা স্পষ্টতই উদ্ধৃত করছিলেন (1)। তারা সম্ভবত উল্লেখ করেননি যে আরও প্ল্যানার গ্রাফগুলিতে সীমাবদ্ধ থাকাকালীন কঠোরতাটিও রয়েছে যেহেতু তাদের FPTAS এই বিধিনিষেধের প্রয়োজন নেই।

পরে হোলান্ট ডাইকোটমির তত্ত্বগুলি যেমন (২,৩) --- একই কাজের সম্মেলন এবং জার্নাল সংস্করণগুলিতে --- আরও প্রমাণিত হয়েছিল। উপপাদ্য 1 (উভয় সংস্করণে) বলেছেন যে এজকভারটি জন্য # পি-হার্ড ওভার প্ল্যানার নিয়মিত গ্রাফ । এটি দেখতে, আমাদের একটি হলোগ্রাফিক ট্রান্সফর্মেশন প্রয়োগ করতে হবে। উপরে বর্ণিত, একটি Holant সমস্যা হিসেবে EdgeCover জন্য অভিব্যক্তি উপর -regular গ্রাফ হয় , যেখানে রয়েছে $k$ $k \ge 3$ $k$ $\operatorname{Holant}([0,1,\dotsc,1])$ $[0,1,\dotsc,1]$ $k$ 1 এর। এবং তদুপরি, এটি সমতুল্য । এখন আমরা দ্বারা একটি holographic রূপান্তর প্রয়োগ $\operatorname{Holant}([1,0,1]|[0,1,\dotsc,1])$ $T = \begin{bmatrix} 1 & e^{\pi i / k} \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ (বা এর বিপরীতমুখী, আপনার দৃষ্টিভঙ্গির উপর নির্ভর করে)। ভ্যালিয়েন্টের হোলান্ট উপপাদ্য দ্বারা (4,5), এটি সমস্যার জটিলতা পরিবর্তন করে না (বাস্তবে, উভয় সমস্যা আসলে একই সমস্যা কারণ তারা প্রতিটি ইনপুট আউটপুট নিয়ে একমত ... কেবলমাত্র সমস্যার প্রকাশই পরিবর্তিত হয়েছে) )। এই সমস্যার বিকল্প বিকল্প হ'ল

যেখানে সমতা ফাংশন রয়েছে

Holant ([1, 0, 1] T^{\otimes 2} | (T^{- 1})^{\otimes k} [0, 1, \dots, 1]) = Holant ([2, e^{π i / k}, e^{2 π i / k}] | =_{k}),

$\operatorname{Holant}([1,0,1] T^{\otimes 2}|(T^{-1})^{\otimes k} [0,1,\dotsc,1]) = \operatorname{Holant}([2, e^{\pi i / k}, e^{2 \pi i / k}]|=_k),$

=_{k}

$=_k$

ইনপুট। উপপাদ্য 1 প্রয়োগ করতে, আমরা স্বাভাবিক আছে

থেকে

করে মূল ফাংশন বিভাজক দ্বারা

, যা সমস্যাটির জটিলতা পরিবর্তন করে না কারণ এই মানটি ননজারো। তারপরে

এবং

মানগুলি

k

$k$

[2, e^{π i / k}, e^{2 π i / k}]

$[2, e^{\pi i / k}, e^{2 \pi i / k}]$

[2 e^{- π i / k}, 1, e^{π i / k}]

$[2 e^{-\pi i / k}, 1, e^{\pi i / k}]$

e^{π i / k}

$e^{\pi i / k}$

X

$X$

Y

$Y$ উপপাদ্যের বিবৃতিতে

এবং

। জন্য

, এক পরীক্ষা করতে পারবেন যে এই সমস্যা, তাই এইভাবে EdgeCover পাশাপাশি, # পি-হার্ড শেষ হয়ে গেছে প্ল্যানার

জন্য -regular গ্রাফ

।

X = 2

$X = 2$

Y = - 2^{k} - 1

$Y = -2^k - 1$

k \geq 3

$k \ge 3$

k

$k$

k \geq 3

$k \ge 3$

পার্শ্ব দ্রষ্টব্য: মাইকেল কোওলজিকের থিসিসে কেউ এই উপপাদ্য এবং প্রমাণ দেখতে পাবেন ।

এজেজভারকে (1) এর আগে # পি-হার্ড হিসাবে দেখানো হয়েছিল তা দেখতে আমি আমার সাহিত্য অনুসন্ধান চালিয়ে যাব।

(1) জিন-ই সি, পিনান লু, এবং মিংজি জিয়া ( জার্নাল , প্রিন্ট প্রিন্ট ) দ্বারা হলোগ্রাফিক হ্রাস, অন্তরঙ্গকরণ এবং কঠোরতা ।

(2) জন্য একটি বৈপরীত্য সঙ্গে -Regular গ্রাফ -Vertex অ্যাসাইমেন্ট এবং রিয়াল এজ কার্যাবলী $k$ $\{0,1\}$ জিন-য়ি Cai, এবং মাইকেল Kowalczyk দ্বারা।

(3) উপর দেশভাগের ফাংশন সঙ্গে -Regular গ্রাফ -Vertex অ্যাসাইমেন্ট এবং রিয়াল এজ কার্যাবলী $k$ $\{0,1\}$ জিন-য়ি Cai, এবং মাইকেল Kowalczyk দ্বারা।

(4) হোলোগ্রাফিক অ্যালগরিদম লেসলি জি ভ্যালিয়েন্টের

(৫) ভ্যালিয়েন্টসের হোল্যান্ট উপপাদ্য এবং জিন-ই কই এবং বিনয় চৌধুরী দ্বারা ম্যাচগেট টেনারগুলি

— টাইসন উইলিয়ামস
সূত্র

বাহ, আমাকে এটি দেখানোর জন্য এবং শব্দভাণ্ডারটি ব্যাখ্যা করার জন্য সময় দেওয়ার জন্য এবং প্রান্তের কভারটির সংযোগের জন্য ধন্যবাদ! আমি আপনার সাথে একমত যে (1) সুস্পষ্টভাবে প্রমাণ করে যে এজকভারটি শক্ত (এবং 3-নিয়মিত প্ল্যানার গ্রাফের জন্যও শক্ত)। আমি কেউ এডকভারের (পি) এর আগে # পি-কঠোরতা প্রমাণ করেছেন কিনা তা জানতে আগ্রহী, যদিও আমি ইতিমধ্যে বেশ খুশি হয়েছি যে এই ফলাফলটি ব্যবহার করার দরকার হলে আমার কাছে উদ্ধৃত করার কিছু ছিল (যা জিজ্ঞাসা করার সময় আমার প্রধান উদ্বেগ ছিল) )। আপনার উত্তরের জন্য আবার ধন্যবাদ!

— এএনএম

@ টাইসন উইলিয়ামস: আপনি যদি ২-৩-নিয়মিত গ্রাফ থেকে শুরু করেন এবং ডিগ্রি 2 বিভাজনের নোডগুলি চুক্তি করেন তবে আপনি একটি 3-নিয়মিত মাল্টিগ্রাফ দিয়ে সমান্তরাল প্রান্ত দিয়ে শেষ করতে পারেন । এটি কি 3-নিয়মিত সাধারণ গ্রাফগুলিতে কঠোরতা দেখানোর জন্য স্থির করা যেতে পারে ? আরও সাধারণভাবে, এই প্রশ্নটি হোলান্ট সমস্যার সমস্ত ফলাফলের জন্য জিজ্ঞাসা করা যেতে পারে, তাই আমি এখানে একটি নতুন প্রশ্ন তৈরি করেছি cstheory.stackexchange.com/q/43912/38111 , কারণ আমি মনে করি যে সমস্যাটি এই নির্দিষ্ট সমস্যাটির মধ্যে সীমাবদ্ধ নয় (গণনা প্রান্ত) কভার)। আপনি যদি একবার খেয়াল করতে পারেন তবে আমি খুশি হব :)

— এম.মনেট

অই হ্যাঁ. ভাল পর্যবেক্ষণ। সাধারণ গ্রাফগুলির জন্য কী ফলাফল রয়েছে তা আমি এখনই মনে রাখতে পারছি না।

— টাইসন উইলিয়ামস

@ টাইসন উইলিয়ামস: নিশ্চিত করার জন্য ধন্যবাদ, এবং কোনও উদ্বেগ নেই! আমার সম্প্রদায়ের "গ্রাফ" এর অর্থ সর্বদা "সরল গ্রাফ" এর অর্থ অন্যথায় না বলা হয়, সুতরাং আমি এটিকে স্পষ্টভাবে প্রশ্নের মধ্যে উল্লেখ করিনি।

— a3nm

@ টাইসন উইলিয়ামস: সর্বোপরি, আমরা খুঁজে পেয়েছি কীভাবে হলোগ্রাফিক পদ্ধতিতে সহজ গ্রাফগুলির জন্য প্রান্ত কভারগুলি গণ্য করার জন্য (যা নিয়মিত ২-৩ টি নিয়মিত বাইপারাইট এবং প্ল্যানার) কঠোরতার ফলাফল পেতে হয়। বিশদগুলি নীচে আমার উত্তরের সর্বশেষ সংস্করণে এবং আরেক্সিভ.আর . / অ্যাবস / 1703.03201 এর পরিশিষ্ট ডিতে রয়েছে । আমরা xia2006regular থেকে 3-নিয়মিত বাইপারটি প্ল্যানার গ্রাফগুলিতে ভার্টেক্স কভার গণনার কঠোরতা ব্যবহার করি: এই গ্রাফগুলিতে কোনও স্ব-লুপ নেই, আমরা প্রতিটি প্রান্তকে সমান্তরাল প্রান্তগুলি সরিয়ে ফেলা হয় এবং cai2008holographic সমস্যা তৈরি করে না। (3-নিয়মিত গ্রাফগুলি যেমন আপনার উত্তর হিসাবে, আমরা জানি না))

— a3nm

আরও কিছু সাহিত্য অনুসন্ধানের পরে, এটি প্রদর্শিত হচ্ছে যে কোনও গ্রাফের প্রান্তের কভারগুলি গণনা করার জটিলতা বার্ডউইচ ২০০8path, পরিশিষ্ট A.1 তে # পি-সম্পূর্ণ দেখানো হয়েছিল । (এটি নির্বিচার গ্রাফগুলি ইনপুট হিসাবে ধরে নিয়েছে, অর্থাত তারা ন্যূনতম ডিগ্রিটি নির্বিচারে বড় করা যায় তা পর্যবেক্ষণ ব্যতীত ইনপুট গ্রাফে কোনও অনুমান প্রয়োগ করতে পারে না)। (বর্ডিউইচ ২০০৮পথ আরও ইঙ্গিত করে যে ফলটি বুবলি ১৯৯ 7 graph অনুচ্ছেদে প্রমাণ ছাড়াই দাবি করা হয়েছে।) এই ফলাফলটি টাই, উইলিয়ামসের উত্তরে (১) হিসাবে উল্লিখিত কাই, লু এবং জিয়াকে তাদের পূর্বাভাস দিয়েছে এবং এটি হলোগ্রাফিক তত্ত্বের উপর নির্ভর করে না।

বিশেষত, ফলাফলটি গ্রিনহিল 2000 কমপ্লিক্সিতে প্রদর্শিত 3-নিয়মিত গ্রাফগুলিতে স্বাধীন সেট গণনা # পি-কঠোরতার উপর নির্ভর করে (vadhan1997 কমপ্লেক্সে প্রদর্শিত সর্বাধিক 4 ডিগ্রির গ্রাফের জন্য অ্যানালোগুলির ফলাফলের উন্নতি করা), এবং বুবলি 1997 অনুচ্ছেদের কৌশলটি ব্যবহার করে ফলাফলটি প্রমাণ করে ।

একটি শক্তিশালী ফলাফল, যথা, গণনা প্রান্তের কঠোরতা সর্বোচ্চ চারটি ডিগ্রি ডিগ্রি গ্রাফের আওতায় পড়ে (আরও চাপিয়ে দেওয়া যে প্রান্ত সেটটি চারটি ম্যাচে ভাগ করা যেতে পারে) খানা2011 প্রশ্নগুলিতে স্বাধীনভাবে অধ্যয়ন করা হয়েছিল, পরিশিষ্ট বি .1, আবার হলোগ্রাফিক সরঞ্জাম ছাড়াই । তারা 3-নিয়মিত দ্বিদলীয় গ্রাফগুলিতে স্বাধীন সেট গণনা করার কঠোরতার উপর নির্ভর করে (vadhan1997complexity এর ইন্টারপোলেশন পদ্ধতির সংশোধন দ্বারা xia2006regular এ দেখানো হয়েছে) এবং তারপরে তারা বর্ডিভিচ ২০০৮পথের কৌশলটির সংশোধন প্রয়োগ করে।

একটি আরও শক্তিশালী ফলাফল (দ্বিপক্ষীয় ২-৩ নিয়মিত গ্রাফের প্রান্তের গণনার প্রচ্ছন্নতা কমানোর কঠোরতা, যেমন একটি দ্বিদলীয় গ্রাফ যেখানে একদিকে সমস্ত অনুভূমিকায় ডিগ্রি 2 থাকে এবং অন্যদিকে সমস্ত উল্লম্বের সাথে ডিগ্রি 3 থাকে, যা অতিরিক্ত পরিকল্পনাকারী) xia2006regular এবং cai2008holographic এর ফলাফল ব্যবহার করে দেখানো হবে। এর ব্যাখ্যাগুলি আমাদের PODS'17 কাগজের সর্বশেষ সংস্করণের পরিশিষ্ট ডি হিসাবে উপস্থিত হয় । এই ক্ষেত্রে, আমরা বরং সতর্কতার সাথে পরীক্ষা করে দেখলাম যে ফলাফলটি সহজ গ্রাফগুলির জন্য ধারণ করে , অর্থাত্, গ্রাফগুলির জন্য যার স্ব-লুপ বা মাল্টি-এজস নেই (টাইসন উইলিয়ামসের উত্তরের মন্তব্য দেখুন)।

প্ল্যানার 3-নিয়মিত গ্রাফগুলিতে কঠোরতার জন্য, টাইসন উইলিয়ামসের উত্তরে একটি যুক্তি দেওয়া হয়, তবে মনে হয় এটি গ্রাফগুলিতে বহু-প্রান্ত এবং স্ব-লুপগুলিকে অনুমতি দেয়।

তথ্যসূত্র:

বোর্ডিউইচ ২০০৮পথ: ম্যাগনাস বোর্ডিউইচ, মার্টিন ডায়ার, মেরেক কার্পিনস্কি, স্টপিং টাইমস ব্যবহার করে পাথ কাপলিং এবং হাইপারগ্রাফিকস , ২০০৮ সালে স্বতন্ত্র সেট এবং রঙিন গণনা ।
বুবলি ১৯৯ 7 graph অনুচ্ছেদ: রাশ বুবলি, মার্টিন ডায়ার, গ্রাফিক ওরিয়েন্টেশন বিনা ডোবায় এবং # স্যাট , ১৯৯ 1997- এর একটি হার্ড কেসটির জন্য একটি অনুমান হিসাবে online :-(
cai2008holographic: J. Cai, P. Lu, M. Xia, হলোগ্রাফিক কমানো, অন্তরঙ্গকরণ এবং কঠোরতা , ২০০
গ্রিনহিল 2000 কমপ্লিটসিটি: ক্যাথারিন গ্রিনহিল, স্পারস গ্রাফ এবং হাইপারগ্রাফ , 2000 এ রঙিন এবং স্বতন্ত্র সেট গণনা জটিলতা
খান্না ২০১১ এর প্রশ্নাবলী: সঞ্জীব খান্না, সুদীপা রায়, ভাল ট্যানেন, সম্ভাব্য ডেটাবেসগুলির মধ্যে পার্থক্য সহ প্রশ্নাবলী , ২০১১ Qu
vadhan1997 কমপ্লেক্সটি: সলিল পি। বধন, স্পারস, নিয়মিত এবং প্ল্যানার গ্রাফগুলিতে গণনার জটিলতা , 1997 1997 কিছু ফলাফল সম্ভবত মূলত একটি থিসিসে উপস্থিত হয়েছিল, তবে আমি পরীক্ষা করে দেখিনি।
xia2006regular: মিংজি জিয়া, ওয়েঙ্কো ঝাও, # 3-নিয়মিত বাইপারটিট প্লানার ভার্টেক্স কভারটি # পি-সম্পূর্ণ , 2006 No কোনও মুক্ত-অ্যাক্সেস সংস্করণ অনলাইনে উপলব্ধ বলে মনে হচ্ছে না। :-( দ্রষ্টব্য যে প্রথম লেখক এছাড়াও টাইসন উইলিয়ামসের উত্তরে (1) এর একজন লেখক।

ডিক্লেইমার: আমি এই কাগজপত্রগুলিতে কেবলমাত্র একটি অতিমাত্রায় নজর রেখেছি এবং আমি এই ক্ষেত্রে কোনও বিশেষজ্ঞ নই, সুতরাং উপরের আমার সারাংশে ত্রুটি থাকতে পারে।

আমাকে অজ্ঞাতনামা পিওডিএস'১ re রেফারিকে ধন্যবাদ জানাই আমাকে খান্না ২০১১ প্রশ্নগুলিতে নির্দেশ করার জন্য, যা এই উত্তরটি লেখার জন্য আমাকে প্ররোচিত করেছে।

— a3nm
সূত্র