ইনপুট "আকার" হিসাবে কলমোগোরভ জটিলতা ব্যবহার করছে

$S$

আমি (এন) = {W \in এস : | W | = এন}

$I(n) = \{w \in S : |w| = n\}$

n

$n$

T (w)

$T(w)$

A

$A$

w

$w$

A

$A$

চ_{এন} = \underset{W \in আমি (এন)}{সর্বোচ্চ} টি (W) ।

$f_n = \max_{w \in I(n)} T(w).$

আসুন এখন সংজ্ঞায়িত করুন এবং জটিলতা সহ সমস্ত ইনপুটগুলির জন্য , এবং আসুন ক্রমটি সংজ্ঞায়িত করি এখানে গড় চলমান সময় ক্রম ছাড়া যেখানে ইনপুট "আকার" এর পাশে তাদের Kolmogorov জটিলতা তাদের দৈর্ঘ্য হল।

I^{K} (n) = {w \in S : K (w) = n}

$I^K(n) = \{w \in S : K(w) = n \}$

n

$n$

f_{n}^{K} = \frac{1}{| I^{K} (n) |} \sum_{w \in I^{K} (n)} T (w) .

$f^K_n = \frac{1}{\left|I^K(n)\right|} \sum_{w \in I^K(n)} T(w).$

f^{K}

$f^K$

A

$A$

এমন কি কি অ্যালগরিদম রয়েছে যার জন্য $f_n$ তাত্পর্যপূর্ণভাবে আলাদা ? যদি তা হয় তবে অ্যালগোরিদমগুলি বিশ্লেষণের এই বিভিন্ন উপায়ে ব্যবহার করার সময়গুলির জটিলতাগুলি কী পরিবর্তন হয়? $f^K_n$

— অ্যান্ড্রু
সূত্র

দুর্দান্ত প্রশ্ন! এমন একটি যা আমি প্রায়শই ভাবতাম - আমি আশা করি এটির কিছু ভাল উত্তর পেয়েছে। (আমি ট্যাগটি প্যারামিটারাইজড-জটিলতা বি / সি যোগ করেছি আপনি এটিকে উদাহরণস্বরূপ, স্যাট প্যারামিটারাইজড জটিলতার প্রশ্ন হিসাবে দেখতে পারেন, যেখানে প্যারামিটারটি

— কোলমোগোরভ

এলোমেলো স্ট্রিংগুলি, ওরফে বেশিরভাগ স্ট্রিংগুলিতে তাদের মূল দৈর্ঘ্যের নিকটে কোলমোগোরভ জটিলতা রয়েছে। ইনপুটগুলির বিশাল সংখ্যাগরিষ্ঠদের জন্য

f_{n} = f_{n}^{K}

$f_{n} = f_{n}^{K}$ আপনি যদি কলমোগোরভ জটিলতার পরিবর্তে গণ্য গভীরতার বিষয়ে জিজ্ঞাসা করেন তবে আপনি আরও আকর্ষণীয় ফলাফল পেতে পারেন। google.com/…

— চাদ ব্রুবেকার

গঠনের জন্য শক্ত ভাষায় পার্টির কয়েকটি উদাহরণ মিশ্রিত করে

S

$S$ (উদাহরণস্বরূপ, প্রতিটি উদাহরণকে কিছুটা টগল দিয়ে উপস্থাপন করে উদাহরণটি কোন ভাষা থেকে এসেছে), তাহলে

f_{n}^{K}

$f^K_n$ চেয়ে ছোট হবে । আপেক্ষিক ঘনত্বের উপর নির্ভর করে কত ছোট।

f_{n}

$f_n$

— অ্যান্ড্রেস সালামন

একটি জায়গা এখানে বধনের

— usul

@ অ্যান্ড্রেসালামন, হ্যাঁ, আমি আশা করি আমি খুব opিলু হব না, তবে আমি মনে করিমূলত ব্যস্ত-বিভার ফাংশন হওয়া উচিত।

n \mapsto max_{w : K (w) = n} | w |

$n \mapsto \max_{w: K(w)=n} |w|$

— usul

উত্তর:

সমতা ফাংশন (বা অন্য কোনও ফাংশন যা ইনপুটটির সমস্ত / বেশিরভাগ বিটের উপর নির্ভর করে) বিবেচনা করুন। সমতা ফাংশনের জন্য, । সুতরাং অন্যদিকে, $T(w) = \Theta(|w|)$

f_{n} = Θ (n) .

$f_n = \Theta(n).$

f_{n}^{K} = Θ (\frac{1}{| I^{K} (n) |} \sum_{w : K (w) = n} | w |) \geq Ω (\frac{1}{2^{n}} max_{w : K (w) = n} | w |) .

$f_n^K = \Theta\left(\frac{1}{|I^K(n)|} \sum_{w:K(w) = n} |w|\right) \geq \Omega\left(\frac{1}{2^n} \max_{w:K(w) = n} |w|\right).$

লক্ষ করুন যে । এভাবে এবং । একইভাবে, ; এভাবে "খুব দ্রুত বৃদ্ধি পায়"। জন্য কোনও গণনামূলক উচ্চতর আবদ্ধ নেই তা দেখতে অসুবিধা হয় না । $K(2^{2^n}) = O(n)$

max_{w : K (w) = n} | w | \geq 2^{2^{Ω (n)}}

$\max_{w:K(w) = n} |w| \geq 2^{2^{\Omega(n)}}$

f_{n}^{K} \geq 2^{2^{Ω (n)}} / 2^{n} \to \infty

$f_n^K \geq 2^{2^{\Omega(n)}} / 2^n \to \infty$

K (2^{\dots^{2^{2^{n}}}}) = O (n)

$K(2^{\dots^{2^{2^n}}}) = O(n)$

f_{n}^{K} \geq 2^{\dots^{2^{2^{Ω (n)}}}} / 2^{n}

$f_n^K \geq 2^{\dots^{2^{2^{\Omega(n)}}}}/2^n$

f_{n}^{K}

$f_n^K$

— ইউরি
সূত্র

এই প্রশ্নের আগ্রহের কারণে, আমি ভেবেছিলাম যে উত্তরটি দিয়ে আমাদের মোটেও অবাক হওয়া উচিত নয় এবং প্রশ্নটি আরও পরিমার্জন করার জন্য কিছু দিকনির্দেশ দেওয়ার চেষ্টা করার কারণটি আরও স্পষ্টভাবে উল্লেখ করা সহায়ক হতে পারে। এটি কিছু মন্তব্য সংগ্রহ করে এবং প্রসারিত করে। এটি "সুস্পষ্ট" হলে ক্ষমা চাই!

কলমোগোরভ জটিলতার স্ট্রিংগুলির সেট বিবেচনা করুন : সর্বাধিক আছে যেমন স্ট্রিং যেমন আছে, দৈর্ঘ্য বর্ণনা । তবে লক্ষ্য করুন যে এই সেটটি সাধারণ জন্য অনির্বচনীয় (অন্যথায়, আমরা কেবল থেকে এবং সদস্যতা পরীক্ষা করে গণনা করতে পারি । তদ্ব্যতীত, ফাংশন $n$

J^{K} (n) = {w : K (w) = n} .

$J^K(n) = \{w : K(w) = n\}.$

2^{n}

$2^n$

2^{n}

$2^n$

n

$n$

n

$n$

K (w)

$K(w)$

n = 1

$n=1$

| w |

$|w|$

J^{K} (n)

$J^K(n)$

g^{K} (n) = max_{w \in J^{K} (n)} | w |

$g^K(n) = \max_{w \in J^K(n)} |w|$ অসম্পূর্ণভাবে দ্রুত বৃদ্ধি পায়। এটি ব্যস্ত-বিভার ফাংশনের একটি বৈকল্পিক: বিবরণ দৈর্ঘ্য এর টিউরিং মেশিনের দ্বারা দীর্ঘতম আউটপুট কত ? এটি যদি কোনও কম্পিউটিংযোগ্য ফাংশনের চেয়ে ধীর গতিতে বেড়ে যায়, তবে আমরা থামার সমস্যাটি স্থির করতে পারি: একটি টিএম ,

যা

অনুকরণ করে এবং প্রতিটি পদক্ষেপে

প্রিন্ট করে। তাহলে বিবরণ দৈর্ঘ্য

হয়

, তারপর করুন:

এ সবচেয়ে স্থগিত

পদক্ষেপ; বা

থামবে না।

n

$n$

M

$M$

M^{'}

$M'$

M

$M$

1

$1$

M^{'}

$M'$

n

$n$

M

$M$

g^{K} (n)

$g^K(n)$

M

$M$

এখন, অ্যান্ড্রুয়ের প্রশ্নে, আমাদের কাছে আছে যে , যেখানে মূল ভাষা। একমাত্র উপায় এড়াতে তাই ইনপুট খুব বড় ধারণকারী হবে যদি খুব uncompressible স্ট্রিং ধারণ করে শুধুমাত্র। (নোট যে, অন্যথায়, আমরা সম্পূর্ণরূপে খারাপ-কেস এবং গড়-কেস বিশ্লেষণ মধ্যে পার্থক্য এখানে উপেক্ষা করতে পারেন, কারণ আমরা সর্বাধিক উপর গড় স্ট্রিং কিন্তু বৃহত্তম স্ট্রিং এর আকার কোন গণনীয় ফাংশন তুলনায় দ্রুততর বাড়ছে $I^K(n) = S \cap J^K(n)$ $S$ $I^K(n)$ $n$ $S$ $2^n$ $n$ ।)

আমি অনুভব করি যে কোনও ননড্রাইভাল (অর্থাত্ অসীম) নির্মাণ করা অসম্ভব যা কেবলমাত্র সংকোচনযোগ্য স্ট্রিংগুলি ধারণ করে, তবুও এটি নির্ধারণযোগ্য। তবে আমি জানি না। যাইহোক, আশা করছি এই কেন আমরা আশা করি করা উচিত নয় বেশির ভাগ ভাষায় আছে হিসাবে জন্য স্বজ্ঞা দেয় একটি গণনীয় ফাংশন চেয়ে ক্রমবর্ধমান ধীর। $S$ $f^K_n$

কিছুটা পিছিয়ে যেতে, প্রশ্নটি দৈর্ঘ্য ইনপুটগুলির পারফরম্যান্সের সাথে ইনপুটগুলির পারফরম্যান্সের সাথে তুলনা করা হবে যা দৈর্ঘ্য সংকুচিত হতে পারে । তবে আমাদের মধ্যে সংকোচনের ধারণা রয়েছে যা কোলমোগোরভ জটিলতার চেয়ে অনেক বেশি ট্র্যাকটেবল (এবং কম শক্তিশালী)। একটি সহজ উপায় আকারের একটি বর্তনী দিতে হয় , যা ইনপুটের বাইনারি সংখ্যাকে উৎপন্ন ম বিট । নোট করুন যে এখানে ইনপুট আকারের ব্লুপআপটি সর্বাধিক ঘনিষ্ঠভাবে হয় (আকার এর একটি সার্কিটের মধ্যে প্রায় সম্ভাব্য ইনপুট থাকে)। $n$ $n$ $n$ $b$ $b$ $w$ $n$ $2^n$

সুতরাং আমরা লেট করে প্রশ্ন ভিন্নরূপে বা অন্য কথায় পারেন আর সংজ্ঞায়িত অনুরূপভাবে। এখানে আশার কারণ হ'ল বেশিরভাগ স্ট্রিংয়ের জন্য প্রায় একই স্ট্রিংয়ের মতো একটি সার্কিটের প্রয়োজন হয় এবং কোনও স্ট্রিং প্রয়োজনীয় সার্কিটের চেয়ে তাত্পর্যপূর্ণ বৃহত্তর হয় না। সম্ভবত এই ক্ষেত্রে আমরা এমন ভাষার সন্ধান করতে পারি যেখানে এবং asympototically একই রকম similar

I^{C} (n) = {w \in S : the smallest circuit implicitly specifying w has size n} .

$I^C(n) = \{ w \in S : \text{the smallest circuit implicitly specifying $w$ has size $n$}\}.$

f_{n}^{C}

$f^C_n$

f_{n}

$f_n$

f_{n}^{C}

$f^C_n$

I M P L I C I T_S A T = {circuits C : C implicitly specifies w, w \in S A T} .

$\mathsf{IMPLICIT\_SAT} = \{ \text{circuits $C$}: \text{$C$ implicitly specifies $w$}, w \in \mathsf{SAT}\}.$

w

$w$

w

$w$

f_{n}^{C} = Θ (f_{n})

$f^C_n = \Theta(f_n)$

w

$w$

আশা করি এটি সহায়ক / আকর্ষণীয়!

আমি এমন পাঠ্যপুস্তকের বিষয়ে নিশ্চিত নই যা অন্তর্নিহিত সমস্যার কথা উল্লেখ করেছে তবে এখানে কিছু বক্তৃতা নোট রয়েছে: http://people.seas.harvard.edu/~salil/cs221/spring10/lec8.pdf

— উসূল
সূত্র

| J^{K} (n) | = 2^{n}

$\left|J^K(n)\right| = 2^n$

@ অ্যান্ড্রুম্যাকফি, ডানদিকে, "সর্বাধিক" হওয়া উচিত। ঠিক করবে.

— usul

f_{n}^{K}

$f^K_n$

$S$ $S$ $L$ $n$ $2^n-n$ $f^K_{n}$ $2^{f_n}$

— আন্দ্রেস সালামন
সূত্র

নোট করুন যে ইউরির উত্তরটি এটির সাথে যুক্ত হয়েছে এবং "অঞ্চলে থাকতে পারে" সুনির্দিষ্ট করে তোলে।

— আন্দ্রেস সালামন