কঠোরতা অন্তর্দৃষ্টি অন্তর্ভুক্ত

Question

ম্যাথওভারফ্লোতে, টিমোথি গাওয়ার্স " সেই কঠোরতা প্রদর্শন গুরুত্বপূর্ণ " শীর্ষক একটি প্রশ্ন করেছিলেন asked বেশিরভাগ আলোচনার ক্ষেত্রে প্রমাণগুলির গুরুত্ব দেখানো মামলাগুলি সম্পর্কে ছিল, যেগুলি সম্পর্কে সিএসথেরির লোকদের সম্ভবত বিশ্বাস করার প্রয়োজন নেই। আমার অভিজ্ঞতার প্রমাণগুলিতে অবিচ্ছিন্ন গণিতের অনেকগুলি অংশের তুলনায় তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞানে আরও কঠোর হওয়া দরকার, কারণ আমাদের স্বজ্ঞাতগুলি প্রায়শই বিযুক্ত কাঠামোর জন্য ভুল হতে থাকে এবং বাস্তবায়ন তৈরির ড্রাইভটি আরও বিশদ যুক্তি উত্সাহিত করে। একজন গণিতবিদ অস্তিত্ব প্রমাণের সাথে সন্তুষ্ট থাকতে পারে তবে একটি তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞানী সাধারণত একটি গঠনমূলক প্রমাণ খোঁজার চেষ্টা করবেন। লোভেজ স্থানীয় লেমা একটি দুর্দান্ত উদাহরণ [1]।

আমি তাই জানতে চাই

তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞানের এমন কি নির্দিষ্ট উদাহরণ রয়েছে যেখানে বিশ্বাসী-হতে-সত্য বক্তব্যটির কঠোর প্রমাণ অন্তর্নিহিত সমস্যার প্রকৃতি সম্পর্কে নতুন অন্তর্দৃষ্টি নিয়েছে?

সাম্প্রতিক একটি উদাহরণ যা সরাসরি অ্যালগরিদম এবং জটিলতা তত্ত্ব থেকে আসে না তা হ'ল প্রুফ-তাত্ত্বিক সংশ্লেষণ , প্রাক-এবং উত্তর-পরবর্তী অবস্থা থেকে সঠিক এবং দক্ষ অ্যালগরিদমের স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রাপ্ত [2]।

• [1] রবিন এ। মসর এবং গ্যাবার তারদোস, জেনারেল লোভেজ স্থানীয় লেমা , জ্যাকএএম 57 , নিবন্ধ 11, 2010 এর একটি গঠনমূলক প্রুফ http: // http://doi.acm.org/10.1145/1667053.1667060
• [২] সৌরভ শ্রীবাস্তব, সুমিত গুলওয়ানি, এবং জেফরি এস ফস্টার, প্রোগ্রাম যাচাইকরণ থেকে প্রোগ্রাম সংশ্লেষণে , এসিএম সিগপ্ল্যান নোটিস ৪৫ , ৩১৩-৩66, ২০১০. http://doi.acm.org/10.1145/1707801.1706337

---

সম্পাদনা:আমার মনে যে ধরণের উত্তর ছিল তা স্কট এবং ম্যাটাসের মতো। কাভাহ যেমন পরামর্শ দিয়েছেন, এটি এমন কিছু যা লোক প্রমাণ করতে চেয়েছিল তার একটি ট্রিপল (তবে "পদার্থবিজ্ঞান", "হ্যান্ডউইভিং" বা "স্বজ্ঞাত" যুক্তি দ্বারা এটি অপ্রত্যাশিত ছিল না), একটি প্রমাণ এবং "অন্তর্নিহিত সমস্যা" এর পরিণতি যা প্রত্যাশিত ছিল না এমন প্রমাণটি অনুসরণ করেছে (সম্ভবত একটি প্রমাণ তৈরির জন্য অপ্রত্যাশিত নতুন ধারণা প্রয়োজন, বা স্বাভাবিকভাবেই একটি অ্যালগরিদমের দিকে পরিচালিত করে, বা অঞ্চলটি সম্পর্কে আমরা কীভাবে ভাবছি তার পরিবর্তিত হয়েছে)। প্রমাণ বিকাশের সময় বিকশিত কৌশলগুলি হ'ল তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞানের বিল্ডিং ব্লক, সুতরাং এই কিছুটা বিষয়গত প্রশ্নের মান ধরে রাখতে স্কট দ্বারা সরবরাহ করা যেমন ব্যক্তিগত অভিজ্ঞতা, বা রেফারেন্স দ্বারা ব্যাক আপ করা একটি যুক্তির উপর মনোযোগ কেন্দ্রীভূত করা উচিত, যেমন ম্যাটাস করেছে। তাছাড়া, আমি ' আমি কিছু যোগ্যতা অর্জন করে কিনা তা নিয়ে যুক্তি এড়াতে চেষ্টা করছি; দুর্ভাগ্যক্রমে প্রশ্নের প্রকৃতি অভ্যন্তরীণভাবে সমস্যাযুক্ত হতে পারে।

জটিলতায় "বিস্ময়কর" ফলাফল সম্পর্কে আমাদের ইতিমধ্যে একটি প্রশ্ন রয়েছে: জটিলতায় বিস্ময়কর ফলাফল (জটিলতা ব্লগ তালিকার উপরে নয়) তাই আদর্শভাবে আমি এমন উত্তরগুলির সন্ধান করছি যা কঠোর প্রমাণের মানকে কেন্দ্র করে , অগত্যা ব্রেকথ্রুটির আকার নয়।

Comments

আমরা কি প্রতিদিন এটি করি / করি না?

— ডেভ ক্লার্ক

"অন্তর্নিহিত সমস্যা" বলতে আসলে কী বোঝায়? আপনি কি কেবলমাত্র সেই সমস্যাগুলিকেই বোঝাতে চান যেখানে কোনও নির্দিষ্ট বিবরণের চেয়ে গভীর সমস্যা আছে? আমি এমন কোনও সমস্যার কথা ভাবছিলাম যা অ্যালগরিদমের অস্তিত্বের গঠনমূলক প্রমাণের সাথে জড়িত (যেমন, একেেস প্রাইমালিটি পরীক্ষা যে প্রাইমস পি তে রয়েছে তা প্রমাণ করার জন্য) কঠোর প্রমাণের মাধ্যমে "নতুন অন্তর্দৃষ্টি" বাড়ে, তবে আপনি যদি কেবল কথা বলছেন কোনও সমস্যার মধ্যে ছোট ছোট বিবৃতি সম্পর্কে, এটি বোধগম্য হবে না।

— ফিলিপ হোয়াইট

কেবলমাত্র আমি আপনার প্রশ্নটি বুঝতে পেরেছি তা নিশ্চিত করার জন্য, আপনি কি একটি ট্রিপল (স্টেটমেন্ট এস, প্রুফ পি, অন্তর্দৃষ্টি আমি) চাইছেন, যেখানে বক্তব্য এস সত্য বলে জানা / বিশ্বাস করা হয়েছে, তবে কেউ উপস্থিত হলে আমরা একটি নতুন অন্তর্দৃষ্টি (আই) পাই এস জন্য নতুন প্রমাণ পি সঙ্গে আপ?

— কাভেহ

[অব্যাহত] যেমন এলএলএল ক্ষেত্রে, আমাদের কাছে এলএলএল (এস) এর জন্য অ- গঠনমূলক প্রমাণ ছিল , তবে নতুন গঠনমূলক প্রুফ আর্কাইভ (পি) আমাদের একটি নতুন অন্তর্দৃষ্টি (আই) দেয়।

— কাভেহ

হুম ... নির্দিষ্ট অ্যালগরিদম দিয়ে শুরু করার এবং তারপরে সেগুলি সাধারণকরণের জন্য ডেটা পয়েন্ট হিসাবে ব্যবহার করার বিষয়ে কী? যেমন, লোকে কয়েকটি লোভী অ্যালগরিদম ডিজাইন করে এবং শেষ পর্যন্ত ক্ষেত্রটি সর্বোত্তম কাঠামোগত একটি সমস্যার ধারণা তৈরি করে।

— অ্যারন স্টার্লিং

Answer 1

আন্দ্রেস, আপনি সম্ভবত জানেন যে, আপনি যে বিষয়ে কথা বলছেন তার অনেকগুলি উদাহরণ রয়েছে যেটি কোথায় শুরু করবেন তা জানা প্রায় অসম্ভব! যাইহোক, আমি মনে করি এই প্রশ্নটি আসলে একটি ভাল হতে পারে, যদি লোকেরা তাদের নিজস্ব অভিজ্ঞতা থেকে উদাহরণ দেয় যেখানে তাদের শহরতলিতে বহুল-বিশ্বাসী অনুমানের প্রমাণ নতুন অন্তর্দৃষ্টি নিয়েছিল।

যখন আমি একজন আন্ডারগ্রাড ছিলাম, তখন প্রথম টিসিএসের প্রথম সমস্যাটি হ'ল এটি ছিল: প্রত্যেকটি বুলিয়ান ভেরিয়েবলের একটি ওআর এর মূল্যায়ন করার জন্য দ্রুততম কোয়ান্টাম অ্যালগরিদম কী? এটি আমার জন্য এবং অন্য যে সকলের সাথে আমি কথা বলেছিলাম তা বেদনাদায়কভাবে স্পষ্ট ছিল যে আপনি করতে পারেন সর্বোত্তম হ'ল গ্রোভারের অ্যালগরিদমকে পুনরাবৃত্তভাবে প্রয়োগ করা, ওআর এবং এ্যান্ডএস উভয় ক্ষেত্রেই। এটি একটি ও (logn লগ (এন)) উপরের সীমাবদ্ধ করেছে। (আসলে আপনি লগ ফ্যাক্টর শেভ করতে পারেন তবে আসুন আপাতত এটিকে উপেক্ষা করুন))

আমার প্রচণ্ড হতাশার জন্য, যদিও আমি তুচ্ছ any (এন ^1/4 ) এর চেয়ে কম নিম্ন সীমাটি প্রমাণ করতে পারিনি । "যান পদার্থবিদ" এবং "উত্তরটি হ্যান্ডওয়েভ" এর চেয়ে বেশি আবেদনময়ী মনে হয়নি! :-D

কিন্তু এর কয়েক মাস পরে, অ্যান্ড্রিস অ্যামবাইনিস তার কোয়ান্টাম প্রতিপক্ষ পদ্ধতিটি নিয়ে বেরিয়ে এলেন , যার মূল প্রয়োগটি প্রথমে ওআর-অফ-অ্যান্ডস-এর জন্য একটি bound ()n) নিম্ন প্রান্তে ছিল। এই ফলাফলটি প্রমাণ করার জন্য, অ্যান্ডিস একটি কোয়ান্টাম অ্যালগরিদমকে বিভিন্ন ইনপুটগুলির একটি সুপারপজিশন খাওয়ানোর কল্পনা করেছিলেন ; তারপরে তিনি অধ্যয়ন করেন যে কীভাবে ইনপুট এবং অ্যালগরিদমের মধ্যে জড়িয়ে যায় প্রতিটি প্রশ্নের সাথে অ্যালগরিদম তৈরি হয়। কোয়ান্টাম অ্যালগরিদম গণনা করার চেষ্টা করছিল যে ফাংশনটির খুব সাধারণ সংশ্লেষযুক্ত বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে এই পদ্ধতির আপনাকে কীভাবে "অগোছালো," অ-প্রতিসম সমস্যাগুলির জন্য এমনকি নিম্ন-সীমাবদ্ধ কোয়ান্টাম কোয়েরি জটিলতা দেখাতে দেয়।

একটি বিরক্তিকর সমস্যার কোয়ান্টাম কোয়েরি জটিলতা যেহেতু প্রত্যেকেই এটি প্রত্যাশা করেছিল তা নিশ্চিত করার আগেই এই কৌশলগুলি শোর এবং গ্রোভারের অ্যালগরিদমের পর থেকে কোয়ান্টাম কম্পিউটিং তত্ত্বের অন্যতম বৃহত অগ্রগতির প্রতিনিধিত্ব করেছিল। এর পর থেকে তারা কয়েক ডজন অন্যান্য কোয়ান্টাম নিম্ন সীমাটি প্রমাণ করতে ব্যবহৃত হয়েছিল এবং এমনকি নতুন ধ্রুপদী নিম্নতর সীমানা পেতে পুনঃপ্রেরণ করা হয়েছিল ।

অবশ্যই, এটি "গণিত এবং টিসিএসের অপূর্ব বিশ্বে আরও একটি দিন"। এমনকি যদি সবাই "ইতিমধ্যে জানেন" এক্স সত্য, প্রতিপাদন খুব প্রায়ই এক্স নতুন কৌশল যে তারপর দূরে বহুদূরে এক্স প্রয়োগ করুন উদ্ভাবন প্রয়োজন, এবং বিশেষ করে সমস্যার, যার জন্য সঠিক উত্তর অনেক কম সুস্পষ্ট ছিল অবরোহমার্গী ।

Answer 2

সমান্তরাল পুনরাবৃত্তি আমার অঞ্চল থেকে একটি দুর্দান্ত উদাহরণ:

সমান্তরাল পুনরাবৃত্তি একটি সংক্ষিপ্ত ব্যাখ্যা। ধরুন আপনি একটি ভাষার জন্য দুই prover প্রমাণ ব্যবস্থা আছে : প্রদত্ত ইনপুট , সবাই পরিচিত, একটি যাচাইকারী প্রশ্ন পাঠায় prover 1 এবং প্রশ্নের prover 2. provers উত্তর উত্তরের সঙ্গে এবং যথাক্রমে ছাড়া যোগাযোগ। যাচাইকারী এবং ( উপর নির্ভর করে ) কিছু পরীক্ষা করে এবং গ্রহণ করে বা প্রত্যাখ্যান করে কিনা তা স্থির করে। যদি এক্সে থাকে তবে সেখানে একটি প্রভার কৌশল রয়েছে যা যাচাইকারী সর্বদা গ্রহণ করে। যদি$L$$x$$q_1$$q_2$$a_1$$a_2$$a_1$$a_2$$q_1,q_2$$x\in L$$x\not\in L$কোন provers কৌশল জন্য, যাচাইকারী সর্বাধিক সম্ভাবনা সঙ্গে গ্রহণ করে ( "ত্রুটি সম্ভাব্যতা")।$s$

এখন ধরুন আমরা একটি ছোট ত্রুটির সম্ভাবনা চাই। হয়তো পাসে হবে , এবং আমরা চাই । একটি প্রাকৃতিক পদ্ধতির সমান্তরাল পুনরাবৃত্তি হবে : যাচাইকারী প্রতিটি প্রবাদের কাছে স্বতন্ত্র প্রশ্নগুলি প্রেরণ করুন , এবং , প্রফর্মদের কাছ থেকে উত্তর পেয়েছেন এবং , এবং উত্তরগুলিতে পরীক্ষা করে।$s$$1$$s = 10^{-15}$$k$$q_1^{(1)},\ldots,q_1^{(k)}$$q_2^{(1)},\ldots,q_2^{(k)}$$a_1^{(1)},\ldots,a_1^{(k)}$$a_1^{(1)},\ldots,a_1^{(k)}$$k$

ইতিহাস. প্রথমে, এটি "স্পষ্ট" ছিল যে ত্রুটির সম্ভাবনাটি like মতো হ্রাস পেতে হয়েছিল , ঠিক যেমনটি যাচাইকারী সিক্যুয়াল চেক তৈরি করে । কিংবদন্তিটি বলে যে এটি একটি ছাত্রকে প্রমাণ করার জন্য দেওয়া হয়েছিল, এটি বোঝার আগেই যে "স্পষ্ট" বিবৃতিটি কেবল মিথ্যা। এখানে একটি কাউন্টারেরেক্সামালটির প্রকাশ রয়েছে: http://www.cs.washington.edu/education/courses/cse533/05au/na-game.pdf । এটি কিছুক্ষণ (এবং বেশ কয়েকটি দুর্বল ফলাফল) গ্রহণ করেছিল, অবশেষে রন রাজ নিশ্চিত হয়েছিলেন যে ত্রুটির সম্ভাবনা প্রকৃতপক্ষে তাত্পর্যপূর্ণভাবে হ্রাস পাচ্ছে, তবে তার কিছুটা জটিল আচরণ রয়েছে: এটি , যেখানে বর্ণমালা$s^{k}$$k$$s^{\Omega(k/\log|\Sigma|)}$$\Sigma$আসল সিস্টেমে সম্ভাব্য প্রভার উত্তরগুলির সেট is প্রমাণ তথ্য তাত্ত্বিক ধারণা ব্যবহার করে, এবং বলা হয় যোগাযোগ জটিলতার মধ্যে Razborov একটি ধারণা দ্বারা অনুপ্রাণিত। রানের আসল প্রমাণের একটি অগোছালো অংশ পরে থমাস হোলেনস্টেইনের দ্বারা সুন্দরভাবে সরল করা হয়েছিল, যার ফলে আমার প্রিয় প্রমাণগুলির একটি হয়েছিল।

সমস্যা এবং আরও ফলাফলের জন্য অন্তর্দৃষ্টি। প্রথমে তাত্ক্ষণিক জিনিসগুলি রয়েছে: সমান্তরাল পুনরাবৃত্তির পরিমাণগত আচরণের একটি আরও ভাল বোঝার, এবং বর্ণমালা যে ভূমিকা পালন করে, প্রবাদীরা যখন সমান্তরাল প্রশ্নগুলি প্রতারণার জন্য ব্যবহার করতে পারে তার আরও ভাল বোঝা, এর গুরুত্ব সম্পর্কে আরও ভাল বোঝার প্রশ্নগুলির জোড়া (পরে ফেগে এবং কিলিয়ান দ্বারা আনুষ্ঠানিকভাবে) মধ্যে সমান্তরাল পুনরাবৃত্তিতে স্বাধীনতা ।$\Sigma$$k$

তারপরে, এমন কিছু এক্সটেনশান রয়েছে যেগুলি সম্ভব হয়েছিল: অনুপ রাও বিশ্লেষণটি রূপান্তর করতে সক্ষম হন তা দেখানোর জন্য যে আসল প্রুফ সিস্টেমটি যখন {\ ইম প্রজেকশন গেম is হয়, অর্থাৎ প্রথম প্রবাদটির উত্তর সর্বাধিক এক গ্রহণযোগ্য উত্তর নির্ধারণ করে দ্বিতীয় প্রবাদটি, বর্ণমালার উপর কোনও নির্ভরতা নেই এবং ঘোরের ধ্রুবকটি উন্নত করা যায়। এটি গুরুত্বপূর্ণ কারণ সর্বাধিক কাছাকাছি ফলাফলের কঠোরতা প্রজেকশন গেমগুলির উপর ভিত্তি করে এবং অনন্য গেমগুলি প্রজেকশন গেমগুলির একটি বিশেষ ক্ষেত্রে। গেমের প্রসারকগুলিতে (রিকি রোজেন এবং রান রাজার দ্বারা) এবং আরও অনেকের পরিমাণগত উন্নতি রয়েছে।

তারপরে, এর সুদূরপ্রসারী পরিণতি রয়েছে। কয়েকটি উদাহরণ: রাজের কাগজ থেকে প্রাপ্ত একটি তথ্য তাত্ত্বিক লেমমা অন্যান্য অনেক প্রসঙ্গে (ক্রিপ্টোগ্রাফিতে, নমুনা ও অনুসন্ধানের সমতুল্যতা ইত্যাদিতে) ব্যবহৃত হয়েছিল। হোলেনস্টেইন যে "সম্পর্কযুক্ত স্যাম্পলিং" কৌশলটি ব্যবহার করেছিলেন তা অন্যান্য অনেক কাজে (যোগাযোগের জটিলতায়, পিসিপি ইত্যাদিতে) প্রয়োগ হয়েছিল।

Comments

এটি একটি দুর্দান্ত উদাহরণ!

— সুরেশ ভেঙ্কট

Answer 3

সত্য বলে বিশ্বাস করা হয়েছিল এমন বিবৃতিগুলি প্রমাণ করার জন্য কঠোরতার (এবং নতুন কৌশল) আরও একটি ভাল উদাহরণ প্রয়োজন: স্মুথ বিশ্লেষণ। দুটি ক্ষেত্রে:

• সিমপ্লেক্স অ্যালগরিদম
• কে-মানে অ্যালগরিদম

উভয় পদ্ধতির জন্য, এটি "সুপরিচিত" ছিল যে তারা অনুশীলনে ভালভাবে কাজ করেছে এবং প্রথমটির জন্য, এটি সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে তাত্পর্যপূর্ণ সময় নেয় বলে জানা গিয়েছিল। ধীরে ধীরে বিশ্লেষণ উভয় ক্ষেত্রেই ভাল অভিজ্ঞতামূলক আচরণ "ব্যাখ্যা" হিসাবে দেখা যায়। দ্বিতীয়, যখন এটা পরিচিত ছিল সবচেয়ে খারাপ-কেস জটিলতা যে -means ছিল , এটা জানা ছিল না আছে কিনা নিম্ন সীমা যে সূচকীয় ছিল , এবং এখন আমরা জানি এটি সত্য, এমনকি বিমানও!$k$$O(n^{c \cdot kd})$$n$

Answer 4

আমি মনে করি যে নিম্নলিখিত উদাহরণটি প্রচুর গবেষণার জন্ম দিয়েছে যা আপনি যে ধরনের সন্ধান করছেন তার ফলাফল রয়েছে, যদি আমি আপনার এলএলএল উদাহরণের চেতনাকে অনুসরণ করি তবে যদি তা হয় তবে।

রবার্ট ই। শাপ্পায়ার দুর্বল শেখার শক্তি। মেশিন লার্নিং, 5 (2): 197-227, 1990।

এই কাগজটি প্রশ্নের সমাধান করেছে: শক্তিশালী এবং দুর্বল পিএসি শেখার সমতুল্য? আমি আপনাকে নির্দিষ্ট করে বলতে পারি না যে সেই বৃত্তের লোকেরা (স্ক্যাপায়ার, ভ্যালেন্ট, কেয়ার্নস, অ্যাভিরিম ব্লাম, ..) একরকম বা অন্যরকমভাবে দৃ strongly়ভাবে অনুভব করেছে (যেমন এটি যদি আপনি ইতিপূর্বে যা খুঁজছেন তার উদাহরণ) তবে আমার কিছু আছে সন্দেহ এবং আপনি তারপরে কাগজপত্র দেখে নিজের তৈরি করতে পারেন। সংক্ষেপে (এবং আনুমানিক / সম্ভবত), একটি সমস্যা পিএসি শেখার (একটি অনুমানের শ্রেণি দ্বারা, একটি বিতরণের জন্য) যদি কোনও থাকে তবে একটি ('দক্ষ') অ্যালগরিদম রয়েছে যা দিয়ে উত্পাদন করতে পারে সম্ভাব্যতা কমপক্ষে most সর্বাধিক ত্রুটিযুক্ত একটি অনুমানের । আপনি যদি সন্তুষ্ট করতে পারতেন তবে$\epsilon>0, \delta>0$$1-\delta$$\epsilon$$\epsilon$$\delta$, তারপরে যতক্ষণ না তুচ্ছ ছিল না ('তুচ্ছ' কিছু বিশদের উপর নির্ভরশীল, যেহেতু আমি 'দক্ষ' এর অর্থ ছাড়ছি), বারবার পরীক্ষাগুলি আত্মবিশ্বাসকে বাড়িয়ে তুলবে । তবে এর পরিবর্তে যদি আপনি কেবল এলোমেলো অনুমানের চেয়ে কিছু সুবিধা অর্জন করতে পারেন (একই 'তুচ্ছতা' শর্তটি প্রযোজ্য), আপনি কি কোনওভাবে চূড়ান্তভাবে এই ফলাফলটিকে নির্বিচারে ভাল ত্রুটি অর্জন করতে উত্সাহ দিতে পারেন?$\delta$$\delta$$\gamma$

যাইহোক, স্ক্যাপিয়ারের কাগজের পরে জিনিসগুলি খুব আকর্ষণীয় হয়ে উঠল। তার সমাধানটি মূল শ্রেণীর হাইপোথিসির চেয়ে সংখ্যাগরিষ্ঠ-সংখ্যাগরিষ্ঠতা তৈরি করেছিল। তারপরে এসেছিল:

ইওভা ফ্রেন্ড und সংখ্যাগরিষ্ঠভাবে একটি দুর্বল শেখার অ্যালগরিদম বাড়ানো তথ্য ও গণনা, 121 (2): 256--285, 1995।

এই কাগজটিতে স্ক্যাপিয়ারের ফলাফলের 'তিরস্কার' ছিল, তবে এখন নির্মিত অনুমানটি কেবল একক সংখ্যাগরিষ্ঠ ব্যবহার করে। এই রেখাগুলির পাশাপাশি, দু'জনে আবার অ্যাডাবুস্ট নামে আরও একটি ত্রুটি তৈরি করেছিলেন:

ইওভা ফ্রেন্ড এবং রবার্ট ই। শাপ্পায়ার। অন-লাইন শিক্ষার একটি সিদ্ধান্ত-তাত্ত্বিক সাধারণীকরণ এবং উত্সাহ দেওয়ার জন্য একটি অ্যাপ্লিকেশন। কম্পিউটার এবং সিস্টেম সায়েন্সেস জার্নাল, 55 (1): 119-139, 1997।

দুর্বল / শক্তিশালী শেখার প্রশ্নটি প্রাথমিকভাবে তাত্ত্বিক উদ্বেগ হিসাবে শুরু হয়েছিল, তবে 'তিরস্কার' এর এই ধারাবাহিকতায় একটি সুন্দর অ্যালগরিদম হয়েছিল, মেশিন লার্নিংয়ের অন্যতম প্রভাবশালী ফলাফল। আমি এখানে সমস্ত ধরণের স্পর্শকাতর উপর যেতে পারি কিন্তু নিজেকে সংযত করব। টিসিএসের প্রসঙ্গে, এই ফলাফলগুলি (1) গুণিত ওজন অ্যালগরিদম এবং (2) হার্ড-কোর সেট ফলাফলের প্রেক্ষিতে অনেকটা জীবনকে শ্বাস দেয়। (১) সম্পর্কে, আমি কেবল স্পষ্ট করে বলতে চাই যে অ্যাডা বুস্টকে ওয়ার্মুথ / লিটলস্টোন (ফ্রেউন্ড একজন ওয়ারমুথ শিক্ষার্থী ছিলেন) এর গুণক ওজন / উইনো কাজের উদাহরণ হিসাবে দেখা যেতে পারে, তবে উত্সাহ দেওয়ার ক্ষেত্রে অনেক নতুন অন্তর্দৃষ্টি রয়েছে ফলাফল নেই। সম্পর্কে (2), আমি '

Historicalতিহাসিক নির্ভুলতার জন্য আমার এও বলা উচিত যে আমার উদ্ধৃতিগুলির তারিখগুলি সম্ভবত কিছু লোকের প্রত্যাশা নয়, কারণ এর কয়েকটিটির জন্য আগে সম্মেলনের সংস্করণ ছিল।

আপনার প্রশ্নের প্রকৃতি ফিরে। এখানে 'কঠোরতার' মূল মানটি ছিল হাইপোথিসিস ক্লাস ওয়ান (মূল হাইপোথিসিস ক্লাসের ওজনযুক্ত মেজরিটি) এবং সেগুলি খুঁজে পাওয়ার জন্য দক্ষ অ্যালগরিদমগুলি শেখানো।

Answer 5

এই উদাহরণটি ডানা এবং স্কটের উত্তরের লাইনের সাথে রয়েছে।

এটি "স্পষ্টতই" যে -র একটি আনবাউন্ডেড ফ্যান-ইন সার্কিটের সাথে বিটের PARITY গণনা করার সর্বোত্তম উপায় হ'ল নীচের পুনরাবৃত্ত কৌশল। যখন গভীরতা হয় 2, সমস্ত পদগুলির সিএনএফ (বা ডিএনএফ) লেখার চেয়ে ভাল আর কিছুই করার নেই । যখন চেয়ে বড় হয়, তখন ইনপুট ভেরিয়েবলগুলির সেটটিকে অংশে ভাঙ্গুন, প্রতিটি অংশের সমতা অনুমান করুন (ফ্যান-ইন একটি OR নিন ), এবং সমমান যোগ করে এমন অনুমানগুলির জন্য প্রতিটি অংশের সমস্যাগুলি পুনরাবৃত্তভাবে সমাধান করুন (ফ্যান-ইন এর একটি নিন এবং নিন take ) গভীরতা$n$$d$$d$$2^{n-1}$$d$$2$$n^{1/(d-1)}$$2^{n^{1/(d-1)}}$$1$$n^{1/(d-1)}$$d-1$বর্তনী। যদি আপনি ANDs এবং ORs এর মধ্যে একটি পুনরাবৃত্তির প্রতিটি স্তরে বিকল্প হন (পরিপূরক গ্রহণ), আপনি গভীরতা এবং আকার একটি সার্কিট দিয়ে শেষ করেন যা পার্থক্যকে গণনা করে।$2^{n^{1/(d-1)}}$$2^{n^{1/(d-1)}}$$d$$2^{O(n^{1/(d-1)})}$

1985 সালে, হস্তাদ প্রমাণ করলেন যে "স্পষ্টতই সেরা" গভীরতার সার্কিটটি বেদীগুলির ধ্রুবকগুলির কাছে সর্বোত্তম। এটি করার জন্য, তিনি স্যুইচিং লেমাকে প্রমাণ করেছেন যা সার্কিট, সমান্তরাল অ্যালগরিদম এবং প্রুফ সিস্টেমের জন্য নিম্ন সীমানা প্রমাণ করার জন্য অত্যন্ত মূল্যবান একটি সরঞ্জাম হয়ে দাঁড়িয়েছে। এটি এমন কয়েকটি উদাহরণের মধ্যে একটি যেখানে আমরা জানি যে একটি নির্দিষ্ট প্রাকৃতিক অ্যালগরিদম অনুকূল হয় এবং এটি এর পাওয়ার সম্পর্কে একটি বিশদ বোধগম্যতার দিকে পরিচালিত করে ।এ সি $d$$AC^0$

Answer 6

রসবরোভ এবং রুডিচের কাগজ "প্রাকৃতিক প্রুফ" বেদনাদায়ক স্পষ্ট বিবৃতিটির (একটি আনুষ্ঠানিককরণ) একটি কঠোর প্রমাণ সরবরাহ করে "" পি ≠ এনপি প্রমাণ করা সত্যিই কঠিন "।

Comments

"P ≠ NP" "প্রাকৃতিক প্রমাণগুলি সম্ভবত P ≠ NP প্রমাণ করবে না" এর সমতুল্য নয় তা প্রমাণ করা সত্যিই শক্ত। রিলেটিভেশন এবং অ্যালজেব্রাইজেশন এর মতো অন্যান্য প্রতিবন্ধকতা রয়েছে। আসলে, আরও অনেক বাধা থাকতে পারে

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তানি

পুনঃনির্মাণ কেবল "P ≠ NP প্রমাণ করা শক্ত" " Algebraization পরে এসেছিলেন, কিন্তু এটি একটি formalization "-এর এটা সত্যিই সত্যিই পি ≠ দ্বারা NP প্রমাণ করা কঠিন।" (হা হা শুধুমাত্র গুরুতর।)

— জেফি

Answer 7

কিছু অ্যালগরিদমিক সমস্যার জন্য 50 এর দশক এবং সম্ভবত এর আগে উত্থাপিত সমস্ত সম্ভাবনার উপর এক ক্ষতিকারক সংখ্যক পদক্ষেপের বা এক্সঅসোভেটিভ অনুসন্ধানের ধারণাটি উত্থাপিত হয়েছিল। (অবশ্যই, কম্পিউটারগুলি সবকিছু করতে পারে এমন প্রতিযোগী নিষ্পাপ ধারণাটিও সাধারণ ছিল)) কুক এবং লেভিনের প্রধান অগ্রগতি ছিল এই ধারণাটিকে কঠোর কারণে put এটি অবশ্যই সবকিছু বদলেছে।

আপডেট: আমি ঠিক বুঝতে পেরেছিলাম যে তুর্কিস্তানের চমৎকার উত্তরের মতো আমার উত্তরটি "কঠোরতা অন্তর্দৃষ্টির দিকে পরিচালিত করে" প্রশ্নের শিরোনামে সম্বোধন করেছে তবে সম্ভবত "নির্দিষ্ট করা একটি তাত্ত্বিকের কঠোর প্রমাণ" সম্পর্কে নির্দিষ্ট শব্দবন্ধ নয়।

Answer 8

অ্যালান টুরিং টুরিং মেশিন ব্যবহার করে অ্যালগরিদম (কার্যকর গণনাযোগ্যতা) ধারণাটি আনুষ্ঠানিকভাবে প্রবর্তন করেছিলেন। তিনি এই নতুন আনুষ্ঠানিকতা ব্যবহার করে প্রমাণ করেছেন যে হ্যালটিং সমস্যাটি অনস্বীকার্য (যেমন হ্যালটিং সমস্যাটি কোনও অ্যালগোরিদম দ্বারা সমাধান করা যায় না)। এটি একটি দীর্ঘ গবেষণা কর্মসূচীর দিকে পরিচালিত করে যা হিলবার্ট দশম সমস্যার অসম্ভবতা প্রমাণ করে। মাটিয়াসিভিচ ১৯ 1970০ সালে প্রমাণ করেছিলেন যে কোনও অ্যালগরিদম নেই যা সিদ্ধান্ত নিতে পারে যে কোনও পূর্ণসংখ্যা ডায়োফান্টাইন সমীকরণের একটি পূর্ণসংখ্যার সমাধান আছে কিনা decide

Comments

@ কাভেঃ এমআরডিপি কী?

— মোহাম্মদ আল-তুর্কিস্তিনি

অসম্পর্কিত পুনরাবৃত্তীয়ভাবে গণনাযোগ্য (আরই) সেট রয়েছে (যেমন হ্যালটিং সমস্যা)। মাতিয়াসিভিচ প্রমাণ করেছেন যে যে কোনও পুনরাবৃত্তভাবে গণনাযোগ্য সেট হলেন ডায়োফানটাইন। এটি তত্ক্ষণাত হিলবার্টের দশম সমস্যাটির অসম্ভবতাটিকে বোঝায়।

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তানি

@ কাভেহ, আপনি কেন আপনার "কঠোর" পরীক্ষার প্রথম উত্তর জমা দেন নি? যতদূর আমি জানি, প্রাকৃতিক প্রমাণই কেবল পি বনাম এনপি প্রমাণিত করতে বাধা দেয় না।

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তিনি

@Kaveh, "এটা প্রমাণ করার জন্য যে সত্যিই কঠিন সম্ভবত প্রমাণ করতে হবে প্রাকৃতিক নিদর্শন সমতূল্য নয়" । অন্যান্য বাধা আছে। পি ≠ এন $P\ne NP$$P\ne NP$

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তানি

আমি মনে করি এটি একটি দুর্দান্ত উত্তর।

— গিল কালাই