রৈখিক প্রোগ্রামিংয়ের জন্য দৃ pol়ভাবে বহুপদী অ্যালগরিদমের অস্তিত্বের ফলাফল?

Question

অ্যালগরিদম ডিজাইনের পবিত্র গ্রিলগুলির মধ্যে একটি লিনিয়ার প্রোগ্রামিংয়ের জন্য একটি শক্তিশালী বহুবর্ষীয় অ্যালগরিদম সন্ধান করছে, অর্থাত্, একটি অ্যালগরিদম যার রানটাইমটি ভেরিয়েবল এবং সীমাবদ্ধতার সংখ্যায় বহুপদী দ্বারা আবদ্ধ এবং পরামিতিগুলির প্রতিনিধিত্বের আকারের থেকে পৃথক (ধরে নিলে) ইউনিট খরচ গাণিতিক)। এই প্রশ্নটি সমাধান করার ক্ষেত্রে লিনিয়ার প্রোগ্রামিংয়ের জন্য আরও ভাল অ্যালগরিদমের বাইরে কোনও প্রভাব রয়েছে? উদাহরণস্বরূপ, এই জাতীয় অ্যালগরিদমের অস্তিত্ব / অস্তিত্বের জ্যামিতি বা জটিলতা তত্ত্বের কোনও পরিণতি হবে?

সম্পাদনা: সম্ভবত আমার পরিণতি দ্বারা আমি কী বোঝাতে চাই তা পরিষ্কার করা উচিত। আমি গাণিতিক পরিণতি বা শর্তসাপেক্ষ ফলাফলগুলি খুঁজছি, এমন প্রভাবগুলি যা এখন সত্য বলে পরিচিত । উদাহরণস্বরূপ: "বিএসএস মডেলের এলপির জন্য একটি বহুপদী আলগোরিদিম বিচ্ছিন্ন করা হবে বীজগণিত জটিলতা ক্লাস FOO এবং BAR" বা "যদি কোনও শক্তভাবে বহুবর্ষীয় অ্যালগরিদম না থাকে তবে এটি পলিটোপগুলি সম্পর্কে এই জাতীয়-অনুমানের সমাধান করে" বা "এ" সমস্যা X এর জন্য জোরালোভাবে বহুপদী অ্যালগরিদম যা এলপি যেমন প্রণয়ন করা যেতে পারে আকর্ষণীয় ফল হবে বাজে কথা "। হির্চ অনুমান একটি ভাল উদাহরণ হতে পারে, ব্যতীত এটি কেবল তখনই প্রযোজ্য যদি সিমপ্লেক্স বহুপদী হয়।

Comments

এটিও বলার অপেক্ষা রাখে না যে এই ফলাফলটি দেখানোর জন্য ব্যবহৃত প্রমাণ কৌশলটি দীর্ঘমেয়াদী প্রভাবের ফলাফলের চেয়ে আরও আকর্ষণীয় হতে পারে।

— সুরেশ ভেঙ্কট

Answer 1

এটি দেখায় যে সমতা এবং গড়- পেওফ গেমগুলি পি তে রয়েছে See দেখুন সুইভেন স্কিও। প্যারিটি এবং পেওফ গেমস থেকে লিনিয়ার প্রোগ্রামিং পর্যন্ত। এমএফসিএস ২০০৯।

Comments

চমৎকার। আমি আশা করি আমি এটি আরও এক +1 দিতে পারতাম। এটি একটি দুর্দান্ত ফলাফল।

— সুরেশ ভেঙ্কট

কেউ কীভাবে এলপির পক্ষে দৃ strongly়ভাবে বহুপদী অ্যালগোরিদমকে বোঝাতে পারে তা ব্যাখ্যা করতে পারেন? স্কিও দ্বিগুণ তাত্পর্যপূর্ণ সংখ্যক সংখ্যার সাথে এলপির বহু-আকারের উদাহরণ তৈরি করে। ফাইন। এখন আমরা এর উপর দৃ strongly়ভাবে বহুপদী সময় অ্যালগরিদম চালাই। তবে আমাদের কি এই গাণিতিক ক্রিয়াকলাপগুলি অনুকরণ করার দরকার নেই যা এই অ্যালগরিদম করে? অতি-বহু-সময় ব্যয় না করে কীভাবে এই সিমুলেশনটি করা হয়? (মনে রাখবেন যে সংখ্যাগুলি দ্বিগুণ ঘৃণ্য; আমি মনে করি যে কেউ চাইনিজ বাকী কৌশল করতে পারে তবে আমরা কী বহু সংখ্যায় এভাবে সংখ্যার তুলনা করতে পারি?)।

— স্লিমটন

আমি এখনও কাগজটি মনোযোগ সহকারে পড়িনি, তবে আমি বুঝতে পেরেছি যে তারা কেবল সমস্যাটি প্রমাণ করছে রিয়েল র‌্যাম / বিএসএস মডেল ( en.wikedia.org/wiki/Blum%E2%80%93Shub%E2) তে % 80% 93 সামলে_ম্যাচাইন ) পি এর সাধারণ সংস্করণ নয়, আপনি যে কোনও রিং আর ( গণতন্ত্রের মডেলগুলি / ams.org/notices/200409/fea-blum.pdf দেখুন ) এর জন্য গণনার মডেলগুলি সংজ্ঞায়িত করতে পারেন । ওভার আমরা স্বাভাবিক টুরিং মেশিন পেতে, এবং ওভার reals R আমরা বাসস মডেল পেতে। প্রতিটি রিংয়ের পি এর নিজস্ব সংস্করণ রয়েছে যা মানক পি এর সমান নাও হতে পারে$\mathbb{Z}_2$$\mathbb{R}$

— ইয়ান

আমার পূর্ববর্তী মন্তব্যে স্পষ্টতা: এলপির পক্ষে যদি দৃ strongly়ভাবে বহুপদী আলগোরিদিম থাকে তবে এটি বিএসএস মডেলটিতে বহুপদী হয়, এই ক্ষেত্রে কাগজটি সমতা এবং পেওফ গেমগুলি বিএসএস মডেলটিতে পিতেও বোঝায়।

— আয়ান

@ আইয়ান: অন্য কথায়: এই উত্তরটি কিছুটা বিভ্রান্তিকর ছিল (তবে এটি আপনাকে বৈধ উত্তর হিসাবে গ্রহণ করতে বাধা দেয় না)।

— স্লিমটন

Answer 2

এটি উত্তরের উপর নির্ভর করে। অ্যালগরিদম নির্মিত চলমান থাকে তাহলে সময় , তাহলে এটি খুব সামান্য প্রভাব হবে। অন্যদিকে, যদি এটি এলপিগুলি সমাধানের জন্য একটি নতুন উপায়ে নিয়ে যায় তবে এটির প্রচণ্ড প্রভাব থাকতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমি ইতিহাসটি সঠিকভাবে মনে করি (এবং আমি সম্পূর্ণ ভুল হতে পারি)$(d n)^{Ackerman(10000)}$) উপবৃত্তাকার অ্যালগোরিদম উদাহরণস্বরূপ, এর তাত্ত্বিক তাত্পর্য ছাড়াও, অভ্যন্তরীণ বিন্দু পদ্ধতির বিকাশে নেতৃত্ব (?), যা কিছু ক্ষেত্রে সিম্প্লেক্স অ্যালগরিদমের চেয়ে দ্রুত ছিল। উভয় পন্থা কী করা যায় তার সর্বাধিক সীমাবদ্ধতার জন্য নিঃসরণ করা হওয়ায় এটি অনুশীলনে তাত্পর্যপূর্ণ গতিরোধের দিকে পরিচালিত করে।

Comments

তবে এই শর্তগুলি যে কোনও তাত্ত্বিক ফলাফলকে ধরে রাখে: রানটাইমের উপর নির্ভর করে এটি কার্যকর হতে পারে এবং নাও হতে পারে এবং ফলস্বরূপ কৌশলগুলি / ধারণাগুলি ভবিষ্যতের অগ্রগতির দিকে পরিচালিত করতে পারে।

— ইয়ান

আসলে তা না. হির্চ অনুমানের কিছু ফর্ম যদি সত্য হয় এবং প্রমাণটি গঠনমূলক হয়, তবে এটি প্রায় অবশ্যই এলপির পক্ষে দ্রুত সমাধানকারীদের দিকে নিয়ে যায়। সংক্ষেপে, যদি প্রশ্নটি সুনির্দিষ্ট হয় তবে এর প্রভাবগুলি স্পষ্ট, এবং যদি প্রশ্নটি প্রশস্ত হয় তবে এটি কিছুতেই নাও পারে। বা অন্যভাবে বলা যায়, এলপির পক্ষে বহুবর্ষীয় সময়ের অ্যালগোরিদমের একমাত্র নিশ্চিত পরিণতি হ'ল আমরা এখনকার চেয়ে সমস্যাটি আরও ভালভাবে বুঝতে পারি।

— সারিয়েল হার-পিলড

Answer 3

জ্যামিতির জন্য এখানে একটি পরিণতি: সিমপ্লেক্স অ্যালগরিদমের কোনও বৈকল্পিক (এলোমেলোভাবে বা ডিটারমিনিস্টিক) এর জন্য দৃ strongly়-বহুভুজের সাথে আবদ্ধ হওয়া কোনও পলিটোপ গ্রাফের ব্যাসের উপর বহুপদী বা আবদ্ধ বোঝায়। এ থেকে বোঝা যায় যে হির্চ অনুমানের "বহুবর্ষীয় সংস্করণ" সত্য।

Comments

তবে এটি বিশ্বাস করার কোনও কারণ নেই যে এলপিগুলির জন্য দৃ strongly়ভাবে বহুপদী সময় অ্যালগরিদমকে সিম্পলেক্স পদ্ধতিতে যেতে হয়। এখন পর্যন্ত সর্বাধিক পরিচিত পদ্ধতিগুলি (subexponential) এলোমেলোভাবে স্যাম্পিং + পুনরাবৃত্তি কৌশল ব্যবহার করে।

— সুরেশ ভেঙ্কট

উফ। আমি বিন্দু মিস।

— শিব কিন্তালী

এটি কেবল তখনই ধারণ করে যদি সিমপ্লেক্স দৃ strongly়ভাবে বহুপদী হয়। আমি ফলাফলগুলি খুঁজছি যা আরও সাধারণভাবে ধারণ করে। এটি হতে পারে যে বহুবর্ষীয় হির্চ অনুমানটি মিথ্যা তবে অন্য একটি অ্যালগোরিদম দৃ strongly়ভাবে বহুপদী, বা বহুবর্ষীয় হির্চ অনুমানটি সত্য তবে সরল সরল কারণ এটি বহু-কালীন সময়ে একটি ছোট পথ খুঁজে পায় না।

— ইয়ান

@Suresh: বাস্তবিক, আমি প্রায় নিশ্চিত subexponential র্যান্ডম স্যাম্পলিং + + পুনরাবৃত্তির কৌশল আপনি উল্লেখ করছি (? ক্লার্কসন-Matoušek-Sharir-Welzl / কালাই, ডান) হয় একটি দ্বৈত সিমপ্লেক্স অ্যালগরিদম। (তবে এটি আপনার বক্তব্যের বিরোধিতা করে না))

— জেফ

অপেক্ষা কর. মাইকেল গোল্ডওয়াসার একটি চুক্তি নিবন্ধে অনেক আগে কাজ করে নি? হুম। এখন আমার যেতে হবে এবং খনন করা উচিত।

— সুরেশ ভেঙ্কট