নির্বিচারে প্রতিসাম্য ক্রিয়াকলাপ বোকা

Question

একটি বিতরণ বলা হয় -fool একটি ফাংশন যদি । এবং বলা হয় যে এটি একটি শ্রেণির ফাংশনকে বোকা বানাবে যদি সে class শ্রেণীর প্রতিটি ফাংশন বোকা করে। এটি জানা যায় যে ভিত্তিক স্থানগুলি -বিভাগগুলির চেয়ে শ্রেণির শ্রেণিগুলিকে বোকা করে। ( এমন জায়গাগুলির কয়েকটি সুন্দর নির্মাণের জন্য অ্যালন-গোল্ডরিচ-হস্তাদ-পেরালটা দেখুন )। আমি যে প্রশ্নটি জিজ্ঞাসা করতে চাই তা হ'ল স্বেচ্ছাচারিতা প্রতিসাম্যিক কার্যগুলির একটি সাধারণীকরণ to$\mathcal{D}$$\epsilon$$f$$|E_{x\in U}(f(x)) - E_{x\in \mathcal{D}}(f(x))| \leq \epsilon$

$\epsilon$

প্রশ্ন: ধরুন আমরা কিছু সাবসেটের তুলনায় নির্বিচারে প্রতিসাম্য কার্যকারিতা বর্গ গ্রহণ করি, আমাদের কি বন্টন আছে (ছোট সমর্থন সহ) যা এই শ্রেণিকে বোকা বানায়?

কিছু ছোট পর্যবেক্ষণ:

• সঠিক প্রান্তিক অংশগুলি বোকা বানানোর পক্ষে এটি যথেষ্ট (( {পাঠ্য {ETh} ^ S_k (x)$\text{ETh}^S_k(x)$ 1 হয় এবং কেবলমাত্র এস এর সূচকগুলির মধ্যে $x$ এর ঠিক $k$ থাকে )। কোনও সঠিক বিতরণ \ এপসিলন-এই সঠিক প্রান্তিক স্তরেরগুলিকে এন \ এপসিলন সমস্ত বিস্ময়কর কার্যক্রমে এন বিটগুলিতে বোকা বানাবে । (এটি কারণ প্রতিটি প্রতিসাম্যিক ফাংশন এই সঠিক প্রান্তিকের একটি বাস্তব লিনিয়ার সংমিশ্রণ হিসাবে লেখা যেতে পারে যেখানে সংমিশ্রণের সহগগুলি 0 বা 1 হয় expect প্রত্যাশার লাইনারিটি তারপরে আমাদের যা চায় তা দেয়) একই ধরণের যুক্তিটি সাধারণ থ্রেশহোল্ডগুলির জন্যও কাজ করে ( \ পাঠ্য {থ} ^ এস_কি (এক্স) 1 হয় এবং কেবলমাত্র x এর কমপক্ষে কে থাকে$S$$\epsilon$$n\epsilon$$n$
  
  $\text{Th}^S_k(x)$$x$$k$সূচকগুলির মধ্যে $S$ )

• LOGSPACE এর জন্য নিসানের PRG এর মাধ্যমে n ^ {O (\ লগ এন) with সমর্থন সহ একটি বিতরণের সুস্পষ্ট নির্মাণ রয়েছে ।$n^{O(\log n)}$

• স্বেচ্ছাসেবী ps $\epsilon$ ভিত্তিক স্পেস কাজ করবে না। উদাহরণস্বরূপ, যদি $S$ সব সেট $x$ যেমন যে x এর মধ্যে বেশী সংখ্যা নন-জিরো গেলিক ভাষার 3, এই আসলে $\epsilon$ -biased খুব ছোট জন্য $\epsilon$ (ক থেকে Arkadev Chattopadyay ফল )। তবে পরিষ্কারভাবে এটি এমওডি 3 ফাংশনটিকে বোকা বানাবে না।

একটি আকর্ষণীয় সাব-সমস্যাটি নিম্নলিখিত হতে পারে: ধরুন আমরা কেবল সমস্ত এন সূচকগুলিতে প্রতিসাম্যিক কার্যগুলি বোকা বানাতে চাই , আমাদের কি খুব সুন্দর জায়গা আছে? উপরের পর্যবেক্ষণ দ্বারা, আমাদের কেবল বেটের উপরের থ্রেশহোল্ড ফাংশনগুলিকে বোকা বানাতে হবে, এটি কেবল ফাংশনগুলির একটি পরিবার । সুতরাং কেউ কেবল নিষ্ঠুরতা দ্বারা বিতরণ চয়ন করতে পারেন। তবে এমন জায়গাগুলির আরও সুন্দর উদাহরণ রয়েছে যা প্রতি এর জন্য ' বোকা করে ?$n$$n+1$$\text{Th}^{[n]}_k$$k$

Comments

এই মন্তব্য সাহায্য করতে পারে। লিনিয়াল এবং নিসানের অনুমানটি সম্প্রতি মার্ক ব্র্যাভারম্যান মীমাংসিত করেছেন। কাগজের শিরোনাম হ'ল "বহুগোলিতত্বের স্বাধীনতা বোকা এসি ^ 0 সার্কিট"। cs.toronto.edu/~mbraverm/Pers/FoolAC0v7.pdf

— মিরমজতাবা ঘারবি

Answer 1

হ্যাঁ, এই সমস্যার একটি সাধারণ সমাধান সম্প্রতি পেরিকিত গোপালান, রঘু মেকা, ওমর রিইনগোল্ড এবং ডেভিড জাকারম্যান দিয়েছেন, সম্মিলিত আকারের জন্য সিউডোরান্ডম জেনারেটর দেখুন ।

সেই কাগজটি আরও সাধারণ সেটিংস পরিচালনা করে, যেখানে জেনারেটর লগ এম- বিট ব্লকগুলি আউটপুট দেয়, যা পরে নির্বিচারে বুলিয়ান ফাংশনগুলিতে খাওয়ানো হয়, যার এন আউটপুটগুলি পরে বুলিয়ান প্রতিসম ফাংশনে খাওয়ানো হয়।$n$ $\log m$$n$

বিভিন্ন সাব-কেস ইতিমধ্যে জানা ছিল; উদাহরণস্বরূপ দেখুন সিউডোরান্ডম বিট জেনারেটর মডুলার অঙ্কের বোকা যে , বেষ্টিত স্বাধীনতা ফুল Halfspaces এবং বহুপদী বিক্রেতার কাজকর্মের জন্য সিউডোরান্ডম জেনারেটর । প্রথম হ্যান্ডেলগুলি অঙ্কের মডুলো । দ্বিতীয় এবং তৃতীয় হ্যান্ডেলটি আপনি উল্লেখ করেছেন ঠিক থ্রোসোল্ড পরীক্ষাগুলি, তবে ত্রুটিটি প্রতিটি প্রতিসাম্যিক ক্রিয়াকলাপের জন্য ফলাফল পাওয়ার জন্য আপনার যুক্তি প্রয়োগ করার পক্ষে যথেষ্ট নয়।$p$

Comments

তবে গোপালান-মেকা-রেইনগোল্ড-জুকারম্যান ইনভার্স পলিনোমিয়াল ত্রুটির জন্য কোনও সেরা পিআরজি দিচ্ছেন না? ধ্রুবক জন্য এটি সর্বোত্তম। তবুও, পয়েন্টারের জন্য আপনাকে অনেক ধন্যবাদ। $\varepsilon$

— রামপ্রসাদ

আসলে তারা তা করে না সাধারণভাবে একটি কঠিন লক্ষ্য যে, এবং সাহিত্যে অপেক্ষাকৃত কম স্থানেই যা একটি লগারিদমিক নির্ভরতা হয় এটা করা যায়। $\epsilon$

— মনু