গাউসিয়ান জটিলতায় নিম্ন সীমানা

Question

ম্যাট্রিক্সকে উপরের ত্রিভুজাকার আকারে আনতে প্রয়োজনীয় প্রাথমিক সারি এবং কলামের অপারেশনগুলির ন্যূনতম সংখ্যার জন্য একটি ম্যাট্রিক্সের গাউসীয় জটিলতার সংজ্ঞা দিন । এটি এবং (গাউসিয়ান এলিমেন্টের মাধ্যমে) এর মধ্যে একটি পরিমাণ । ধারণাটি যে কোনও ক্ষেত্রেই উপলব্ধি করে।0 n $n \times n$$0$$n^2$

এই সমস্যাটি অবশ্যই খুব প্রাথমিক বলে মনে হচ্ছে এবং এটি অবশ্যই অধ্যয়ন করা উচিত। আশ্চর্যের বিষয়, আমি কোনও উল্লেখ জানি না of সুতরাং, আমি যে কোনও রেফারেন্স নিয়ে খুশি হব। তবে অবশ্যই মূল প্রশ্নটি হ'ল:

কোন তুচ্ছ স্পষ্ট নিম্ন নিম্ন সীমার জানা আছে?

অযৌক্তিকভাবে আমি সুপারলাইনার বোঝায়। কেবল পরিষ্কার করার জন্য: সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রগুলির ওপরে একটি গণনা যুক্তি দেখায় যে একটি এলোমেলো ম্যাট্রিক্সের জটিলতার অর্ডার n ^ 2 রয়েছে (একই ধরণের দাবি অসীম ক্ষেত্রগুলির তুলনায় সত্য হওয়া উচিত)। সুতরাং, আমরা যা খুঁজছি তা হ'ল ম্যাট্রিক্সের একটি সুস্পষ্ট পরিবার, যেমন হ্যাডমার্ড ম্যাট্রিক্স es এটি বুলিয়ান সার্কিট জটিলতার সাথে একই যেখানে আমরা জানি যে একটি এলোমেলো ফাংশনটির উচ্চ জটিলতা রয়েছে তবে আমরা এই সম্পত্তিটির সাথে সুস্পষ্ট ফাংশন সন্ধান করছি।

Comments

আমি এখানে পুরোপুরি নিশ্চিত নই যে এখানে প্রশ্নটি কী। আপনি কি ম্যাট্রিকের নির্দিষ্ট ফর্ম সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করছেন, বা সাধারণ ক্ষেত্রে (কোন ক্ষেত্রে একটি সাধারণ গণনা যুক্তি কাজ করে বলে মনে হচ্ছে)?

— জো ফিটজসিমনস

@ জো, উল্লিখিত হিসাবে, আমি ম্যাট্রিকের একটি সুস্পষ্ট পরিবার, যেমন, হাডামারড ম্যাট্রিক্সের জন্য জিজ্ঞাসা করছি । যথারীতি, এলোমেলো ম্যাট্রিকগুলি প্রতারণা করছে। এটি অনেকটা একইভাবে যেমন আমরা এলোমেলোভাবে ফাংশনটির জন্য বড় সার্কিটের প্রয়োজন হয় তা নিয়ে সন্তুষ্ট নই। আমি এই বিষয়টিকে চাপ দেওয়ার জন্য একটি অনুচ্ছেদ যুক্ত করেছি।

— মরিটজ

সম্ভবত এটি একটি উত্তর হিসাবে পোস্ট করা উচিত :)

— সুরেশ ভেঙ্কট

ঠিক আছে, তাই করবে।

— জো ফিটজসিমনস

আসলে, আমি বিশ্বাস করি যে আমার পদ্ধতিটি ত্রুটিযুক্ত হতে পারে।

— জো ফিটজসিমন্স

Answer 1

এটি একটি বহুল আলোচিত-অধ্যায়ের সাথে সম্পর্কিত, একটি খুব কঠিন সমস্যা বলে মনে হচ্ছে।

ধরা যাক আমরা একটি বর্গাকার অবিচ্ছিন্ন ম্যাট্রিক্স এ বিবেচনা করি এবং সি (এ) কে স্বীকৃতি ম্যাট্রিক্সে কমাতে প্রয়োজনীয় প্রাথমিক সারির অপারেশনগুলির ন্যূনতম সংখ্যার হিসাবে সংজ্ঞায়িত করি। এই জটিলতার পরিমাপটি মরিটসের পরামর্শের চেয়ে বড়, সুতরাং এর জন্য সুপারলাইনার সীমানা প্রমাণ করা কেবল সহজতর হতে পারে।

এখন, সারি ক্রিয়াকলাপগুলি প্রত্যাহারযোগ্য । এটি অনুসরণ করে যে সি (এ) পরিচয় ম্যাট্রিক্স থেকে শুরু করে এ উত্পাদন করতে প্রয়োজনীয় ন্যূনতম সংখ্যার সংখ্যার হিসাবে সমানভাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে ।

লক্ষ্য করুন যে এ জাতীয় ফ্যাশনে এ উত্পাদন করা অংককে এক্সে নিয়ে যাওয়া মানচিত্রের গণনা করার জন্য পাটিগণিতের সার্কিটকে জন্ম দেয়। প্রতিটি গেটের ফ্যানিন 2 এবং নন-ইনপুট গেটের সংখ্যা সারি ক্রিয়াকলাপের সংখ্যার সাথে মিলে যায়।

বিপরীত দিকটিতে কোনও স্পষ্ট হ্রাস নেই (সার্কিট থেকে সারি-অপ সিকোয়েন্সগুলিতে)। তবুও, আমরা একটি সীমিত সার্কিট মডেলের অক্ষের গাণিতিক সার্কিট জটিলতার নিরিখে সি (এ) চিহ্নিত করতে পারি: আমি দাবি করি যে সি (এ) এ এর ​​জন্য একটি গাণিতিক সার্কিটের ন্যূনতম সংখ্যার এক-অর্ধের সমান of ফ্যানিন সর্বাধিক 2 এবং প্রস্থ এন, যেখানে আমরা ফ্যানিন 1 এর গেটগুলির দিকে যাওয়ার প্রান্তগুলি চার্জ করি না। (আমি এখানে সার্কিট প্রস্থের স্বাভাবিক ধারণাটি ব্যবহার করছি)) এটি আগে স্কেচ করা সহজ ধারণাটি ব্যবহার করে দেখানো যেতে পারে।

এখন এখানে সু-অধ্যয়নিত সমস্যাগুলির সংযোগটি: এটি একটি সুস্পষ্ট রৈখিক মানচিত্র এক্স (যে কোনও সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের উপরে) প্রদর্শন করার জন্য 30 বছরেরও বেশি সময় ধরে একটি বিখ্যাত উন্মুক্ত সমস্যা যার জন্য একটি ফ্যানিন -2 সার্কিটের একটি সুপারলাইনার সংখ্যার গেটের প্রয়োজন। ক্লাসিক রেফারেন্সটি ভ্যালেন্ট, "নিম্ন-স্তরের জটিলতায় গ্রাফ-তাত্ত্বিক যুক্তি" এবং লোকামের সাম্প্রতিক এফটিটিটিএসএস সমীক্ষাও সহায়ক।

সি (এ) অধ্যয়ন করার সময় আমরা একটি অতিরিক্ত প্রস্থের বিধিনিষেধ আরোপ করছি, তবে যেহেতু আমাদের বিধিনিষেধটি এতটা দুর্বল (প্রস্থ এন) সমস্যাটি আরও সহজ হয়ে উঠবে বলে আমি প্রত্যাশা করি না। তবে আরে - আমি ভুল প্রমাণ করতে চাই।

Comments

এছাড়াও, তার ব্লগে গাওয়ার্সের গাউসিয়ান নির্মূলের জটিলতার সাথে আলোচনা ছিল। আমি এটি মনোযোগ সহকারে পড়িনি (এটি দীর্ঘ সংলাপের আকারে) তবে এটি সহায়ক হতে পারে: gowers.wordpress.com/2009/11/03/…

— অ্যান্ডি

কেবল এটি সঠিকভাবে বুঝতে, প্রস্থের সীমাবদ্ধতা চলে আসে কারণ আপনার প্রতি কলামে সর্বাধিক n অপারেশন রয়েছে এবং আপনি কলাম অনুসারে কলামটি এগিয়ে যেতে পারেন?

— মরিটজ

আমি সারি অপারেশন পদ বিবেচনা করছি। প্রস্থ এন বিধিনিষেধ সত্যতাটির সাথে মিলে যায় যে আমাদের সাথে কাজ করার জন্য এন সারি রয়েছে যাতে আমাদের মধ্যবর্তী কাজগুলি সমস্ত ঘটবে। গভীরতার টিতে এন সার্কিট গেটগুলি সারি ক্রিয়াকলাপের টি প্রয়োগের পরে এন সারির রাজ্যগুলিকে প্রতিনিধিত্ব করে। (সম্ভবত আপনি আমার মতো একই কথা বলছেন)

— অ্যান্ডি ড্রাগার

আমরা যদি এর পরিবর্তে আমাদের গাউসিয়ান নির্মূলের অতিরিক্ত 'সহায়ক ওয়ার্কস্পেস' সারিগুলিকে মঞ্জুরি দিয়ে থাকি তবে আমি বিশ্বাস করি যে আমরা পরিচয় A তে হ্রাস করার জটিলতা এবং অক্ষের রৈখিক গাণিতিক সার্কিট জটিলতার (যা মূলত পাটিগণিত ckt জটিলতা) থেকেই সঠিক চিঠিপত্র পেতে পারি I গুণগুলি একটি ধ্রুবক ফ্যাক্টরের বাইরে রৈখিক কার্যগুলি গণনা করতে সহায়তা করে না)।

— অ্যান্ডি ড্রাগার

হ্যাঁ, এটাই আমি বোঝাতে চাইছিলাম আমি দ্বিতীয় বিবৃতিতেও একমত। একটি সাধারণ লিনিয়ার সার্কিট নতুন ধরণের সারি তৈরি করতে পারে যখনই এটি করতে চায় :-)

— মরিটজ

Answer 2

উল্লেখ আছে, এবং তারা বেশ পুরানো। আমি বুলিয়ান ম্যাট্রিক্স গুণনের জন্য সম্মিলিত আলগোরিদিমগুলিতে কাজ করার সময় তাদের জুড়ে এসেছি।

$\Theta(n^2/log n)$$\log n$

জে ডাব্লু মুন এবং এল মোসার। একটি ম্যাট্রিক্স হ্রাস সমস্যা। গণনা 20 (94) এর গণিত: 328– 330, 1966।

নিবন্ধটি JSTOR এ অ্যাক্সেসযোগ্য হওয়া উচিত।

আমি নিশ্চিত যে নিম্ন সীমাটি কেবল একটি গণনা যুক্তি, এবং নিম্ন সীমা অর্জনকারী কোনও সুস্পষ্ট ম্যাট্রিক দেওয়া হয়নি।