পার্টিশনের আর একটি রূপ

আমি একটি নির্দিষ্ট সময়সূচী সমস্যার সাথে নিম্নলিখিত পার্টিশন সমস্যার হ্রাস পেয়েছি:

ইনপুট: একটি তালিকা $a_1\leqslant\cdots\leqslant a_n$ অ কমে অনুক্রমে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয়।

প্রশ্ন: সেখানে কি ভেক্টর রয়েছে $(x_1,\ldots,x_n)\in\{-1,1\}^n$ যেমন

\sum_{i = 1}^{n} a_{i} x_{i} = 0 and

$\sum_{i=1}^na_ix_i=0\qquad\text{and}$

\sum_{i = 1}^{k} a_{i} x_{i} ⩾ 0 for all k \in {1, \dots, n}

$\sum_{i=1}^ka_ix_i\geqslant 0\quad\text{for all }k\in\{1,\ldots,n\}$

দ্বিতীয় শর্ত ছাড়াই এটি কেবল পার্টিশন, সুতরাং এনপি-হার্ড। তবে দ্বিতীয় শর্তটি অনেকগুলি অতিরিক্ত তথ্য সরবরাহ করে। আমি ভাবছি যে এই রূপটি সিদ্ধান্ত নেওয়ার কার্যকর উপায় আছে কি না। নাকি এখনও শক্ত?

— টমাস কালিনোভস্কি
সূত্র

$(a_1,\dots, a_n)$ $a_1\leq a_2\leq \dots \leq a_n$

$N$ $N = (\sum_{i=1}^n |a_i|) + 1$

\underset{5 n times}{\underset{⏟}{N, \dots, N}}, N + a_{1}, \dots, N + a_{n}, \underset{n times}{\underset{⏟}{4 N, \dots, 4 N}}

$\underbrace{N, \dots, N}_{5n \text{ times}}, N + a_1, \dots, N+a_n,\underbrace{4N, \dots, 4N}_{n \text{ times}}$

$x_1,\dots, x_n$
$\underset{4 n times}{\underset{⏟}{1, \dots, 1}}, - x_{1}, \dots, - x_{n}, x_{1}, \dots, x_{n}, \underset{n times}{\underset{⏟}{- 1, \dots, - 1}}$ $\underbrace{1, \dots, 1}_{4n \text{ times}},-x_1,\dots,-x_n,x_1,\dots,x_n,\underbrace{-1,\dots,-1}_{n \text{ times}}$
$(x_1,\dots,x_{5n},y_1,\dots, y_n, z_1,\dots,z_n)$ $\sum_{i=1}^n a_i y_i \equiv 0 \pmod N$
$\sum_{i = 1}^{n} a_{i} y_{i} = 0.$ $\sum_{i=1}^n a_i y_i = 0.$ $(y_1,\dots, y_n)$

— ইউরি
সূত্র

ধন্যবাদ ইউরি আমার অ্যাপ্লিকেশনটিতে এটি প্রয়োজনীয় যে ইনপুট তালিকাটি হ্রাস-বিহীনভাবে অর্ডার করা উচিত এবং আপনার হ্রাসের ইনপুট নয়। অর্ডার প্রয়োজনীয়তা আরও সুস্পষ্ট করতে আমি প্রশ্নটি পরিবর্তন করব।

(N, a_{1}, \dots, a_{n}, N)

$(N,a_1,\ldots,a_n,N)$

— থমাস ক্যালিনোভস্কি

@ থমাস: আমি এটা লক্ষ্য করিনি। এখন আমি আমার সমাধান আপডেট করেছি।

— ইয়ুরি