প্রদত্ত

জান্তা শেখার অনুরূপ স্বাদে এখানে একটি সমস্যা রয়েছে:

ইনপুট: একটি ফাংশন $f: \{0,1\}^n \rightarrow \{-1,1\}$ , সদস্যপদ ওরাকল দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করে, অর্থাত্ একটি প্রদত্ত ওরাকল যা $x$ , $f(x)$ ।

গোল: একটি subcube খুঁজুন $S$ এর $\{0,1\}^n$ ভলিউমের সাথে $|S|=2^{n-k}$ এমন $\left|\mathbb{E}_{x \in S} f(x) \right| \ge 0.1$ । আমরা ধরে নিই যে এ জাতীয় একটি সাবক्यूब রয়েছে।

একটি অ্যালগরিদম পাওয়া সহজ যা সময় সঞ্চালিত হয় $n^{O(k)}$ এবং সম্ভাব্যতার সাথে একটি সঠিক উত্তর দেয় একটি সাবকিউব চয়ন করার জন্য $\ge 0.99$ সমস্ত $(2n)^k$ উপায় চেষ্টা করে এবং প্রতিটিটিতে গড় নমুনা দিয়ে with

আমি টাইম চলে এমন একটি অ্যালগরিদম সন্ধানে আকর্ষণীয় $poly(n,2^k)$ । বিকল্পভাবে, একটি নিম্ন সীমা মহান হবে। জান্টা শেখার ক্ষেত্রে সমস্যার একই স্বাদ রয়েছে, তবে আমি তাদের গণনীয় অসুবিধার মধ্যে প্রকৃত সংযোগ দেখতে পাচ্ছি না।

আপডেট: @ নীচে থমাস প্রমাণ করেছেন যে এই সমস্যার নমুনা জটিলতা হল $poly(2^k,\log n)$ । মজার বিষয় হ'ল, এখনও, সমস্যার গণ্য জটিলতা।

সম্পাদনা করুন: আপনি সরলতার জন্য ধরে নিতে পারেন যে সাথে একটি সাবকিউব রয়েছে $\left|\mathbb{E}_{x \in S} f(x) \right| \ge 0.2$ (নোটিশ ফাঁক: আমরা সঙ্গে গড় একটি subcube খুঁজছেন $\ge 0.1$ ।) আমি প্রায় নিশ্চিত ফাঁক দিয়ে সমস্যার কি কোন সমাধান এছাড়াও ফাঁক ছাড়া সমস্যার সমাধান হবে নই।

— মবিয়াস ডাম্পলিং
সূত্র

এখানে নমুনা জটিলতার উপর আরও ভাল আবদ্ধ। (যদিও গণনার জটিলতা এখনও ।) $n^k$

উপপাদ্য। ধরে একটি subcube অস্তিত্ব আছে আকারের যেমন যে । সঙ্গে নমুনা আমরা পারি, হাই সম্ভাব্যতা সঙ্গে, একটি subcube চিহ্নিত আকার যেমন যে $S$ $2^{n-k}$ $|\mathbb{E}_{x \in S}[f(x)]| \geq 0.12$ $O(2^k \cdot k \cdot \log n)$ $S'$ $2^{n-k}$ । $|\mathbb{E}_{x \in S'}[f(x)]| \geq 0.1$

প্যারামিটারগুলিতে ক্ষুদ্র ক্ষতির বিষয়টি লক্ষ করুন ( গ্যারান্টির তুলনায় অনুকূল )) $0.12$ $0.1$

প্রুফ। চয়ন করুন পয়েন্ট অবিশেষে র্যান্ডম এবং কোয়েরি এ প্রতিটি । $m$ $P \subset \{0,1\}^n$ $f$ $x \in P$

আকার এর একটি সাবকিউব স্থির করুন । আমরা আশা করি আপনি । একটি চেরনোফ আবদ্ধ, এছাড়াও $S$ $2^{n-k}$ $\mathbb{E}[|S \cap P|]=m 2^{-k}$

P [| S \cap P | < m 2^{- k - 1}] \leq 2^{- Ω (m 2^{- k})} .

$\mathbb{P}[|S \cap P| < m 2^{-k-1}] \leq 2^{-\Omega(m 2^{-k})}.$

P [| E_{x \in S \cap P} [f (x)] - E_{x \in S} [f (x)] | > ε] \leq 2^{- Ω (| S \cap P | ε^{2})} .

$\mathbb{P}[| \mathbb{E}_{x \in S \cap P}[f(x)] - \mathbb{E}_{x \in S}[f(x)] | > \varepsilon] \leq 2^{-\Omega(|S \cap P| \varepsilon^2)}.$

সমস্ত উপর আবদ্ধ একটি ইউনিয়ন দ্বারা পছন্দ, আমরা ${n \choose k}2^k$ $S$ সুতরাংআমরা নিশ্চিত করতে পারি যে কমপক্ষেসম্ভাব্যতার সাথেআমরাসমস্ত উপক्यूबএরজন্যমধ্যেঅনুমান করতে পারিআকার

P [\forall S | E_{x \in S \cap P} [f (x)] - E_{x \in S} [f (x)] | \leq ε] \geq 1 - (\binom{n}{k}) 2^{k} 2^{- Ω (m 2^{- k} ε^{2})} .

$\mathbb{P}[\forall S ~~ | \mathbb{E}_{x \in S \cap P}[f(x)] - \mathbb{E}_{x \in S}[f(x)] | \leq \varepsilon] \geq 1 - {n \choose k} 2^k 2^{-\Omega(m 2^{-k} \varepsilon^2)}.$

m = O (2^{k} / ε^{2} \cdot k \log n)

$m = O(2^k/\varepsilon^2 \cdot k \log n)$

0.99

$0.99$

E_{x \in S} [f (x)]

$\mathbb{E}_{x \in S}[f(x)]$

ε

$\varepsilon$

S

$S$

2^{n - k}

$2^{n-k}$ ।

নির্ধারণ করে আমরা উপপাদ্যটি প্রমাণ করি: বৃহত্তম সহ সাবকিউব বাছাই উচ্চ সম্ভাবনা সহ, প্রয়োজনীয়তা পূরণ করবে। Qed $\varepsilon=0.01$ $| \mathbb{E}_{x \in S \cap P}[f(x)]|$

— টমাস
সূত্র

ওহ, whow, কিভাবে আমার নিরীহ: হ্যাঁ, মৌলিক ধারণা যে যদি আপনি নমুনা

পয়েন্ট, তারপর প্রত্যাশিত

তাদের এত পরিমিত মান, প্রতিটি subcube থাকবে

যে একটি বৃহৎ যথেষ্ট নমুনা দেয় সমস্যাটি সমাধান করার জন্য আকার, এমনকি সমস্ত

চেরনফ সীমানা জুড়েই ইউনিয়ন- সীমাবদ্ধ। এছাড়াও, আমি দৃ sure়ভাবে নিশ্চিত যে 0.1 এবং 0.12 এর মধ্যে ব্যবধান দূর করতে যে কোনও সমাধান রূপান্তর করা যেতে পারে, তাই আমি এটিকে প্রশ্নের মন্তব্য হিসাবে এটিকে যুক্ত করব। ধন্যবাদ !!

C \cdot 2^{k}

$C \cdot 2^k$

C

$C$

C

$C$

n^{k}

$n^k$

— মোবিয়াস ডাবলিং

এটি দেখার আর একটি উপায় হ'ল আপনি যে পরিসীমা স্থানটি বর্ণনা করেছেন তাতে বিচ্ছুর মাত্রা সীমাবদ্ধ এবং তাই ভিসি মাত্রা সীমাবদ্ধ এবং তারপরে আপনি এপস-সান্নিধ্যের উপপাদনটি নিক্ষেপ করেন।

— সুরেশ ভেঙ্কট