আনুমানিক # পি-হার্ড সমস্যা

9

ক্লাসিকাল # পি-সম্পূর্ণ সমস্যাটি বিবেচনা করুন # 3 এস্যাট, অর্থাত্, ভেরিয়েবলগুলি সন্তুষ্টিকর সাথে 3 সিএনএফ করার জন্য মূল্যায়নের সংখ্যা গণনা করতে । আমি অ্যাডিটিভ আনুমানিকতা আগ্রহী । স্পষ্টতই, er -ররর অর্জনের জন্য তুচ্ছ একটি অ্যালগরিদম রয়েছে তবে , যদি একটি কার্যকর আনুমানিক অ্যালগরিদম পাওয়া সম্ভব হয়, বা এই সমস্যাটিও # পি-হার্ড ? $n$ $2^{n-1}$ $k<2^{n-1}$

— user0928
সূত্র

তাহলে

k = 2^{n - 1} - p o l y (n)

$k=2^{n-1}-\mathrm{poly}(n)$ , তারপর সেখানে যুত ত্রুটি সহ বহু সময় আলগোরিদিম

k

$k$ । তাহলে

k = 2^{n} / p o l y (n)

$k=2^{n}/\mathrm{poly}(n)$ , তারপর সেখানে যুত ত্রুটি সহ এলোমেলোভাবে বহু-টাইম অ্যালগরিদম হবে

k

$k$ । যখন

k

$k$ উল্লেখযোগ্যভাবে ছোট হয় (তবে বহুমাত্রিকভাবে ছোট নয়), আমি আশা করি এটি এনপি-হার্ড হবে, তবে # পি-হার্ড নয়, কারণ # পি কঠোরতা সাধারণত এটি একটি নিখুঁত গণনা হিসাবে নির্ভর করে।

— থমাস

আপনি কি প্রথম দুটি দাবির জন্য রেফারেন্স সরবরাহ করতে পারেন? দুঃখিত আমি একটি শিক্ষানবিস ...

— user0928

10

আমরা # 3SAT- তে অ্যাডিটিভ আনুমানিককরণে আগ্রহী। প্রদত্ত অর্থাৎ 3CNF উপর ভেরিয়েবল বরাদ্দকরণ পরিতৃপ্ত সংখ্যা গণনা (এই কল যুত ত্রুটি পর্যন্ত) । $\phi$ $n$ $a$ $k$

এখানে এর কয়েকটি প্রাথমিক ফলাফল রয়েছে:

কেস 1: $k=2^{n-1}-\mathrm{poly}(n)$

এখানে একটি নির্জনবাদী বহু-কালীন অ্যালগরিদম রয়েছে: আসুন । এখন স্বেচ্ছাচারী ইনপুটগুলিতে মূল্যায়ন করুন (যেমন অভিধানের প্রথম ইনপুটগুলি)। মনে করুন these এই ইনপুটগুলির সন্তুষ্ট । তারপরে আমরা কমপক্ষে অসন্তুষ্ট থাকার মতো অ্যাসাইনমেন্ট রয়েছে এমন কমপক্ষে সন্তোষজনক কার্যভার এবং রয়েছে বলে আমরা জানি । এই ব্যবধানটির দৈর্ঘ্য । তাই আপনি যদি আমরা আউটপুট মিডপয়েন্ট এই মধ্যে $m=2^n-2k = \mathrm{poly}(n)$ $\phi$ $m$ $m$ $\ell$ $\phi$ $a \geq \ell$ $\ell$ $a \leq 2^n - (m-\ell)$ $m-\ell$ $2^n - (m-\ell) - \ell = 2k$ $2^{n-1} -m/2 + \ell$ $k$ সঠিক উত্তর, প্রয়োজন হিসাবে।

কেস 2: $k=2^n/\mathrm{poly}(n)$

এখানে আমাদের একটি এলোমেলোনাযুক্ত বহু-সময় অ্যালগরিদম রয়েছে: র্যান্ডম পয়েন্টে এ মূল্যায়ন । আসুন এবং । আমরা আউটপুট । এটি বেশিরভাগ তে ত্রুটিযুক্ত হওয়ার জন্য আমাদের যা সমতুল্য দ্বারা একটি Chernoff আবদ্ধ , হিসাবে $\phi$ $m$ $X_1, \cdots, X_m \in \{0,1\}^n$ $\alpha = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \phi(X_i)$ $\varepsilon = k/2^n$ $2^n \cdot \alpha$ $k$

k \geq | 2^{n} α - a | = 2^{n} | α - a / 2^{n} |,

$k \geq |2^n \alpha - a| = 2^n |\alpha - a/2^n|,$

| α - a / 2^{n} | \leq ε .

$|\alpha - a/2^n| \leq \varepsilon.$

P [| α - a / 2^{n} | > ε] \leq 2^{- Ω (m ε^{2})},

$\mathbb{P}[|\alpha - a/2^n| > \varepsilon] \leq 2^{-\Omega(m \varepsilon^2)},$

E [ϕ (X_{i})] = E [α] = a / 2^{n}

$\mathbb{E}[\phi(X_i)]=\mathbb{E}[\alpha]=a/2^n$ । এর থেকে বোঝা যায় যে, আমরা যদি (এবং একটি পাওয়ার নিশ্চিত করি বেছে নিই , তবে সম্ভাব্যতার সাথে কমপক্ষে ত্রুটিটি সর্বাধিক ।

m = O (1 / ε^{2}) = p o l y (n)

$m=O(1/\varepsilon^2) = \mathrm{poly}(n)$

m

$m$

2

$2$

0.99

$0.99$

k

$k$

কেস 3: জন্য $k=2^{cn + o(n)}$ $c < 1$

এই ক্ষেত্রে সমস্যাটি # পি-হার্ড: আমরা # 3SAT থেকে হ্রাস করব do একটি 3CNF নিন উপর ভেরিয়েবল। চয়ন করুন যেমন যে - এই প্রয়োজন। যাক ব্যতীত এখন ভেরিয়েবল বদলে । তাহলে হয়েছে পরিতৃপ্ত বরাদ্দকরণ, তারপর হয়েছে পরিতৃপ্ত বরাদ্দকরণ, যেমন "মুক্ত" ভেরিয়েবল কোনো মান একটি পরিতৃপ্ত কার্যভারে গ্রহণ করতে পারেন। এখন অনুমান করা আছে যে এই ধরনের $\psi$ $m$ $n \geq m$ $k < 2^{n-m-1}$ $n = O(m/(1-c))$ $\phi=\psi$ $\phi$ $n$ $m$ $\psi$ $b$ $\phi$ $b \cdot 2^{n-m}$ $n-m$ $\hat{a}$ $|\hat{a}-a| \leq k$ - যে নিয়োজন পরিতৃপ্ত সংখ্যা প্রায় সঠিক পরিমাপ যুত ত্রুটি সহ । তারপরে যেহেতু একটি পূর্ণসংখ্যা, এর মানে হল আমরা সঠিক মূল্য নির্ধারণ করতে পারেন থেকে । অ্যালগরিদমভাবে # পি-সম্পূর্ণ সমস্যা # 3SAT সমাধান করার জন্য এর সঠিক মান নির্ধারণ করা হয় । এই উপায়ে এটি # পি-হার্ড গনা যে । $\hat{a}$ $\phi$ $k$

| b - \hat{a} / 2^{n - m} | = | \frac{a - \hat{a}}{2^{n - m}} | \leq \frac{k}{2^{n - m}} < 1 / 2.

$|b-\hat{a}/2^{n-m}| = \left| \frac{a - \hat{a}}{2^{n-m}}\right| \leq \frac{k}{2^{n-m}} < 1/2.$

b

$b$

b

$b$

\hat{a}

$\hat{a}$

b

$b$

\hat{a}

$\hat{a}$

— টমাস
সূত্র

4

এখানে বারডউইচ, ফ্রিডম্যান, লোভেস এবং ওয়েলশের একটি উল্লেখ রয়েছে যা এই বিষয়টিকে কিছুটা হলেও বিকশিত করে।

— মার্টিন শোয়ার্জ
সূত্র