রেফারেন্সের অনুরোধ: সাবমডুলার মিনিমাইজেশন এবং মোনোটোন বুলিয়ান ফাংশন

পটভূমি: মেশিন লার্নিংয়ে আমরা প্রায়শই উচ্চ মাত্রিক সম্ভাব্যতা ঘনত্বের কার্যকারিতা উপস্থাপনের জন্য গ্রাফিক্যাল মডেলগুলির সাথে কাজ করি । যদি আমরা একটি ঘনত্ব 1 (সংখ্যার) সাথে সংহত করে যে প্রতিবন্ধকতাটি বাতিল করি তবে আমরা একটি অস্বাভাবিক গ্রাফ-কাঠামোগত শক্তি ফাংশন পাই ।

ধরা যাক আমাদের একটি এনার্জি ফাংশন, , গ্রাফ সংজ্ঞায়িত করেছেন । গ্রাফের প্রতিটি ভার্টেক্সের জন্য একটি ভেরিয়েবল রয়েছে এবং সেখানে বাস্তব-মূল্যবান এবং ফাংশন রয়েছে, এবং যথাক্রমে । সম্পূর্ণ শক্তি হয় $E$ $G = (\mathcal{V}, \mathcal{E})$ $x$ $\theta_i(x_i) : i \in \mathcal{V}$ $\theta_{ij}(x_i, x_j) : ij \in \mathcal{E}$

E (x) = \sum_{i \in V} θ_{i} (x_{i}) + \sum_{i j \in E} θ_{i j} (x_{i}, x_{j})

$E(\mathbf{x}) = \sum_{i \in \mathcal{V}} \theta_i(x_i) + \sum_{ij \in \mathcal{E}} \theta_{ij}(x_i, x_j)$

যদি সমস্ত বাইনারি হয় তবে আমরা সদস্যতার ইঙ্গিত হিসাবে এবং একটি ক্ষুদ্রতর অপব্যবহারের সাথে সাবমোডুলারটির কথা বলতে পারিএই ক্ষেত্রে, একটি শক্তি ফাংশন submodular হয় । আমরা শক্তিটি হ্রাস করে এমন কনফিগারেশনটি সন্ধান করতে আগ্রহী, । $x \in \mathbf{x}$ $x$ $\theta_{ij}(0, 0) + \theta_{ij}(1, 1) \le \theta_{ij}(0, 1) + \theta_{ij}(1, 0)$ $\mathbf{x}^* = \arg \min_{\mathbf{x}} E(\mathbf{x})$

একটি submodular শক্তি ফাংশন এবং একঘেয়ে বুলিয়ান ফাংশন হ্রাস করার মধ্যে একটি সংযোগ আছে বলে মনে হয়: আমরা যদি কোনও জন্য কিছু এর শক্তি কম করি (যেমন, এটি "সত্য" হিসাবে অগ্রাধিকার বৃদ্ধি করে) তবে সর্বোত্তম এর যে কোনও ভেরিয়েবলের অ্যাসাইনমেন্ট কেবলমাত্র 0 থেকে 1 ("মিথ্যা" থেকে "সত্য") তে পরিবর্তন হতে পারে। যদি সমস্ত 0 বা 1 এর মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকে তবে আমাদের একঘেয়ে বুলিয়ান ফাংশন: $\theta_i(x_i=1)$ $x_i$ $x_i^* \in \mathbf{x}^*$ $\theta_i$ $|\mathcal{V}|$

f_{i} (θ) = x_{i}^{*}

$f_i(\mathbf{\theta}) = x_i^*$

যেখানে উপরে রয়েছে, $\mathbf{x^*} = \arg \min_{\mathbf{x}} E(\mathbf{x})$ ।

প্রশ্ন: পদগুলি পৃথক করে এই সেটআপটি ব্যবহার করে আমরা সমস্ত মনোটোন বুলিয়ান ফাংশনগুলিকে উপস্থাপন করতে পারি ? আমরা যদি কে একটি স্বেচ্ছাসেবী সাবমডুলার এনার্জি ফাংশন হতে দিই ? বিপরীতে, আমরা একটি সেট হিসাবে সমস্ত submodular মিনিমাইজেশন সমস্যা উপস্থাপন করতে পারি? একঘেয়ে বুলিয়ান ফাংশন? $\theta_{ij}$ $E$ $|\mathcal{V}|$

আপনি কি এমন রেফারেন্স প্রস্তাব করতে পারেন যা এই সংযোগগুলি আরও ভাল করে বোঝার জন্য আমাকে সহায়তা করবে? আমি কোনও তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞানী নই, তবে আমি বুঝতে চেষ্টা করছি যে মনোোটোন বুলিয়ান ফাংশন সম্পর্কে অন্তর্দৃষ্টি রয়েছে যা সাবমোডুলার মিনিমাইজেশন শর্তাবলী বিবেচনা করে ধরা পড়ে না।

— dan_x
সূত্র

আমি যতদূর বুঝতে পেরেছি, সাবমোডুলার মিনিমাইজেশন কেসটি সেখানে মনোোটোন বুলিয়ান কেস সম্পর্কে বলতে হবে এবং বাইনারি সাবমোডুলার বুলিয়ান ফাংশনগুলি সমস্ত সাবমোডুলার বুলিয়ান ফাংশন প্রকাশ করতে পারে। তবে, ডোমেনটি যদি অ-বুলিয়ান হয়, তবে বাইনারি সাবমোডুলার ফাংশনগুলি সমস্ত সাবমোডুলার ফাংশন প্রকাশ করার জন্য যথেষ্ট নয়, এমনকি যদি লুকানো ভেরিয়েবলগুলি প্রবর্তন করা যায়। (আমি আপনার সুনির্দিষ্ট সমস্যা ফ্রেসিংয়ে কোনও সূক্ষ্মতা অনুভব করতে চাইলে দুঃখিত।)

শিল্পের রাজ্যটি এই দুর্দান্ত কাগজটিতে আলোচিত হয়েছে যার সাথে সম্পর্কিত কাজের সাথে প্রচুর লিঙ্ক রয়েছে এবং এটি কম্পিউটার দর্শনের লিঙ্কগুলিকেও বেশ স্পষ্ট করে তুলেছে:

স্ট্যানিস্লাভ আইভানি, ডেভিড এ। কোহেন, পিটার জি। জেভনস, বাইনারি সাবমোডুলার ফাংশনগুলির এক্সপ্রেশনাল পাওয়ার , ড্যাম 157 3347–3358, ২০০৯. ডুই: 10.1016 / জে.ড্যাম .2009.07.001 ( প্রিন্ট )

আপনার পরবর্তী প্রশ্নটি যদি প্রায় অনুমানের বিষয়ে হয় তবে এই সাম্প্রতিক কাগজটি আনুমানিক সংস্করণটি দেখে:

ডরিত এস। হচবাম , সাবমডুলার সমস্যা - আনুমানিকতা এবং অ্যালগরিদম , আরএক্সিব : 1010.1945

সম্পাদনা: স্থির লিঙ্ক।

— আন্দ্রেস সালামন
সূত্র

যদিও (প্রিপ্রিন্ট) লিঙ্কটি আমাকে ডোয়ের চেয়ে আলাদা কাগজে নিয়ে যায়: লিঙ্কটি করে।

— dan_x

@ লাডান এক্স: লিঙ্কটি ঠিক করেছেন, মাথা উঁচু করার জন্য ধন্যবাদ।

— আন্দ্রে সালামন