নেতিবাচক ওজন প্রান্ত সঙ্গে সর্বাধিক কাটা

আসুন ওজন ফাংশন গ্রাফ হতে । সর্বাধিক-কাটা সমস্যাটি হ'ল: যদি ওজন ফাংশনটি অ-নেতিবাচক (যেমন সমস্ত জন্য )), তবে সর্বোচ্চ-কাটের জন্য অনেকগুলি অত্যন্ত সাধারণ 2-অনুমানের রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, আমরা করতে পারি: $G = (V, E, w)$ $w:E\rightarrow \mathbb{R}$

\arg max_{S \subset V} \sum_{(u, v) \in E : u \in S, v \notin S} w (u, v)

$\arg\max_{S \subset V} \sum_{(u,v) \in E : u \in S, v \not \in S}w(u,v)$

w (e) \geq 0

$w(e) \geq 0$

e \in E

$e \in E$

শীর্ষে এর একটি এলোমেলো উপসেট চয়ন করুন $S$ ।
ছেদচিহ্ন উপর একটি ক্রম, চয়ন করুন এবং সাগ্রহে প্রতিটি প্রান্তবিন্দু স্থান $v$ মধ্যে $S$ বা $\bar{S}$ বাড়ানোর লক্ষ্যে প্রান্ত পর্যন্ত কাটা
স্থানীয় উন্নত করুন: যদি সেখানে কোন প্রান্তবিন্দু হয় $S$ যে সরানো যাবে না $\bar{S}$ (বিপরীতভাবে বা ভাইস) কাটা বৃদ্ধি, স্থানান্তর করা।

এই সমস্ত অ্যালগরিদমের স্ট্যান্ডার্ড বিশ্লেষণ আসলে দেখায় যে ফলস্বরূপ কাটা কমপক্ষে cut as হিসাবে বড় $\frac{1}{2}\sum_{e \in E}w(e)$ , যা উপরের একটি আবদ্ধ $1/2$ সর্বোচ্চ কাটা ওজন যদি $w$ অ নেতিবাচক হয় - তবে কিছু প্রান্ত নেতিবাচক ওজন রাখার অনুমতি হয়, নয়!

উদাহরণস্বরূপ, অ্যালগরিদম 1 (শীর্ষে একটি এলোমেলো উপসেট চয়ন করুন) নেতিবাচক প্রান্তের ওজন সহ গ্রাফগুলিতে স্পষ্টভাবে ব্যর্থ হতে পারে।

আমার প্রশ্নটি হ'ল:

গ্রাফগুলিতে সর্বাধিক-কাট সমস্যার সাথে একটি ও (1) সমাপ্তি পাওয়া যায় এমন একটি সাধারণ সমন্বয়মূলক অ্যালগরিদম রয়েছে যার নেতিবাচক প্রান্তের ওজন থাকতে পারে?

সর্বাধিক কাটা মান গ্রহণের এর সম্ভবত স্টিকি সমস্যাটি এড়াতে $0$ , আমি allow এর অনুমতি দেব $\sum_{e \in E}w(e) > 0$ এবং / বা অ্যালগরিদমে সন্তুষ্ট হতে পারি যার ফলে ছোট সংযোজন ত্রুটি ছাড়াও হয় একটি গুণক গুণক আনুমানিক।

— হারুন রথ
সূত্র

"সাধারণ সমন্বয়কারী" শর্তটি কি এখানে প্রয়োজনীয়?

— হিসিয়েন-চিহ চাং 之之

আমি ইতিবাচক ওজন ক্ষেত্রে 2-অনুমানের মতো একটি সাধারণ, সংযুক্ত অ্যালগরিদমে সবচেয়ে আগ্রহী in নোট করুন যে আমি যে কোনও ও (1) সান্নিধ্য সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করছি, তাই আমি আশা করব যে কোনও অ্যালগরিদম যদি এটি অর্জন করতে পারে তবে এটি একটি সাধারণ দ্বারা সম্ভব হওয়া উচিত। তবে আমি নেতিবাচক প্রান্তের ওজনযুক্ত গ্রাফগুলিতে এসডিপি অ্যালগরিদমগুলির জন্য পারফরম্যান্স গ্যারান্টিগুলির মধ্যে কী আগ্রহী তা প্রমাণ করতে বা থাকলে কোনও ধ্রুবক-ফ্যাক্টর সান্নিধ্যে অ্যালগরিদমের উপস্থিতি প্রমাণ করতে আগ্রহী ।

P \neq N P

$P \ne NP$

— অ্যারন রথ

উত্তর:

এখানে একটি যুক্তিতে আমার প্রথম চেষ্টা ছিল। এটি ভুল ছিল, তবে আমি এটি "সম্পাদনা:" এর পরে ঠিক করেছিলাম

যদি আপনি নেতিবাচক প্রান্তের ওজন নিয়ে সর্বাধিক কাটা সমস্যাটি দক্ষতার সাথে সমাধান করতে পারেন তবে আপনি কী ইতিবাচক প্রান্তের ওজন সহ সর্বাধিক কাটা সমস্যার সমাধান করতে পারবেন না? একটি সর্বোচ্চ কাটা সমস্যা যার অনুকূল সমাধান সমাধান করতে চান দিয়ে শুরু করুন । এখন, এবং মধ্যে একটি বড় নেতিবাচক ওজন প্রান্ত (ওজন ) রাখুন । নতুন সমস্যার সর্বোত্তম সমাধান , তাই আমাদের অনুমানের সমীকরণ অ্যালগরিদম আপনাকে সর্বাধিক কাটযুক্ত একটি সমাধান পাবেন যার মান সর্বাধিক সর্বোত্তমের চেয়ে খারাপ। মূল গ্রাফটিতে সর্বাধিক কাটটি এখনও সর্বোচ্চ অনুকূলের চেয়ে খারাপ। আপনি যদি পাসে $b$ $-a$ $u$ $v$ $b-a$ $(b-a)/2$ $(b-a)/2$ $a$ $b$ , এটি অযৌক্তিকতার ফলাফলটিকে লঙ্ঘন করে যে যদি পি Neq এনপি হয় তবে আপনি ফ্যাক্টরের চেয়ে আরও বেশি করে কাটতে পারবেন না । $\neq$ $16/17$

সম্পাদনা করুন:

উপরের অ্যালগরিদম কাজ করে না কারণ আপনি গ্যারান্টি দিতে পারবেন না যে এবং নতুন গ্রাফের কাটার বিপরীত দিকে রয়েছেন, এমনকি সেগুলি মূলত ছিল। যদিও আমি নীচে এটি ঠিক করতে পারি। $u$ $v$

আসুন ধরে নেওয়া যাক আমাদের একটি আনুমানিক অ্যালগরিদম আছে যা যতক্ষণ না সমস্ত প্রান্তের ওজনের যোগফল ইতিবাচক হয় ততক্ষণ পর্যন্ত আমাদের ওপিটির 2 এর একটি ফ্যাক্টরের মধ্যে একটি কাট দেয়।

উপরে হিসাবে, প্রান্তে সমস্ত অ-নেতিবাচক ওজন সহ একটি গ্রাফ দিয়ে শুরু করুন। আমরা কিছু নেতিবাচক ওজন সহ একটি পরিবর্তিত গ্রাফ যাব যে আমরা যদি 2 a এর একটি ফ্যাক্টরের মধ্যে এর সর্বাধিক কাটটি অনুমান করতে পারি তবে আমরা এর সর্বাধিক খুব ভালভাবে অনুমান করতে পারি । $G$ $G^*$ $G^*$ $G$

এবং দুটি উল্লম্ব নির্বাচন করুন এবং আশা করুন যে তারা সর্বোচ্চ কাটার বিপরীতে রয়েছে। (আপনি সব সম্ভব এই পুনরায় রিপিট করতে পারেন তা নিশ্চিত করার জন্য একটি ব্যবহার করে দেখুন কাজ করে।) এখন, একটি বৃহৎ নেতিবাচক ওজন করা সব প্রান্ত উপর এবং জন্য , এবং একটি বড় ইতিবাচক ওজন কিনারায় । ধরে অনুকূল কাটা ওজন আছে যা । $u$ $v$ $v$ $-d$ $(u,x)$ $(v,x)$ $x \neq u,v$ $a$ $(u,v)$ $OPT$

মান সহ কোনো কাটা মধ্যে , যেখানে ছেদচিহ্ন এবং কাটা একই দিকে হয়, এখন মূল্য আছে যেখানে কাটা ওপারে ছেদচিহ্ন সংখ্যা। মূল মান সাথে বিপরীত দিকে দিয়ে কাটা এখন মান । সুতরাং, যদি আমরা নির্বাচন বৃহৎ যথেষ্ট, আমরা সঙ্গে সব মধ্যেও জোর করতে পারেন এবং একই দিকে নেতিবাচক মান আছে, তাই যদি ইতিবাচক মান সঙ্গে কোনো কাটা আছে, তারপর অনুকূল কাটা থাকবে এবং $c$ $G$ $u$ $v$ $c - 2dm$ $m$ $(u,v)$ $c$ $c + a - (n-2)d$ $d$ $u$ $v$ $G^*$ $u$ $v$ বিপরীত দিকে। নোট করুন যে আমরা ও সাথে বিপরীত দিকগুলিতে যে কোনও কাটকে একটি নির্দিষ্ট ওজন করছি । $(a - (n-2)d)$ $u$ $v$

যাক । এমন চয়ন করুন যাতে (আমরা এটি পরে ন্যায়সঙ্গত করব)। ওজন সঙ্গে একটি কাটা মধ্যে না থাকার এবং বিপরীত দিক থেকে এখন ওজন সঙ্গে একটি কাটা হয়ে । এর অর্থ এর সর্বোত্তম কাটার ওজন । আমাদের নতুন অ্যালগরিদম কমপক্ষে ওজনের সাথে এ একটি কাট খুঁজে পায় । এটি কমপক্ষে ওজন সহ মূল গ্রাফ তে একটি (যেহেতু ধনাত্মক ওজন পৃথক করে সমস্ত কাট রয়েছে $f=(a - (n-2)d)$ $a$ $f \approx - 0.98 OPT$ $c$ $G$ $u$ $v$ $c - 0.98 OPT$ $G^*$ $0.02 OPT$ $G^*$ $0.01 OPT$ $G$ $0.99OPT$ $G^*$ $u$ এবং ), যা অপ্রয়োজনীয় ফলাফলের চেয়ে ভাল। $v$

এবং এর সাথে একই দিক নেতিবাচকভাবে কোনও কাট করার জন্য যথেষ্ট বড় বাছাইতে সমস্যা নেই , যেহেতু আমরা আমাদের পছন্দ মতো বেছে নিতে পারি। কিন্তু আমরা কিভাবে বেছে নিলেন যাতে যখন আমরা জানেন না ? আমরা অনুমান করতে পারে সত্যিই ভাল ... যদি আমরা দিন প্রান্ত ওজন এর সমষ্টি হতে , আমরা জানি । সুতরাং জন্য আমাদের মানগুলির একটি মোটামুটি সংকীর্ণ পরিসীমা রয়েছে এবং আমরা উপর এবং মধ্যে সমস্ত মান গ্রহণ করতে $d$ $u$ $v$ $d$ $a$ $f \approx -.99OPT$ $OPT$ $OPT$ $T$ $G$ $\frac{1}{2}T \leq OPT \leq T$ $f$ $f$ $-.49T$ $-.99T$ এর । এর মধ্যে একটি অন্তর জন্য, আমরা গ্যারান্টিযুক্ত যে , এবং সুতরাং এই পুনরাবৃত্তিগুলির একটিতে ভাল কাটা ফেরত দেওয়ার গ্যারান্টিযুক্ত। $0.005T$ $f \approx -0.98 OPT$

অবশেষে, আমাদের যাচাই করা দরকার যে নতুন গ্রাফের প্রান্তের ওজন রয়েছে যার সমষ্টিগত। আমরা একটি গ্রাফ যার প্রান্ত ওজন সমষ্টি ছিল দিয়ে শুরু , এবং যোগ প্রান্ত ওজন এর সমষ্টি করতে। যেহেতু , আমরা করছি ঠিক আছে $T$ $f$ $-.99T \leq f \leq -.49T$

— পিটার শোর
সূত্র

তবে আপনার এবং কি? সর্বোচ্চ কাটা সমস্যা স্বাভাবিক তৈয়ার কোন "বিশেষ নোড" নেই যে প্রয়োজন পৃথক করা হয়।

u

$u$

v

$v$

— Jukka Suomela

হাই ইয়ান - আমি মনে করি না যে এটি কাজ করে। মূল গ্রাফের সর্বাধিক কাটা দ্বারা পৃথককৃত কোনও

এবং

থাকা দরকার কেন এবং কেন তাদের মধ্যে ভারী নেতিবাচক প্রান্ত যুক্ত হওয়ার পরে সর্বোচ্চ কাটা দ্বারা পৃথক থাকবে? উদাহরণস্বরূপ সম্পূর্ণ গ্রাফটি বিবেচনা করুন - যে কোনও জায়গায় একক, নির্বিচারে নেতিবাচক প্রান্ত যুক্ত করা কাট মানটিকে মোটেই পরিবর্তন করে না।

u

$u$

v

$v$

— অ্যারন রথ

একটি সমস্যা হ'ল আপনি যদি প্রতিটি জোড়ের কোণের মধ্যে একটি নেতিবাচক প্রান্ত যোগ করেন, তবে আপনি বিভিন্ন কাটের মানকে বিভিন্ন পরিমাণে পরিবর্তন করছেন। (আমরা বিয়োগ, বলো,

কেটে মান থেকে

)। সুতরাং আমাদের সমস্যা আছে যে পরিবর্তিত গ্রাফের সর্বাধিক কাটের পরিচয়টি মূল গ্রাফের সর্বাধিক কাটারের সাথে মিলে যায় না।

| S | \cdot | \bar{S} | \cdot a

$|S|\cdot|\bar{S}|\cdot a$

S

$S$

— হারুন রথ

@Peter: এক আমি উদ্ধৃত পর অনুচ্ছেদ আপনি চয়ন

পর্যাপ্ত করতে ছোট

। আপনি নিরাপদে

একটি অনুচ্ছেদে পর্যাপ্ত পরিমাণে বড় এবং পরবর্তীটিতে যথেষ্ট ছোট হতে পারবেন না ! বিশেষত,

সমস্ত

এবং একই সাথে

তা নিশ্চিত করার জন্য

এবং

নির্বাচন করার কোনও উপায় নেই

a

$a$

f \approx - 0.98 O P T

$f \approx -0.98 OPT$

a

$a$

a

$a$

d

$d$

c + a - (n - 2) d > c - d m

$c+a-(n-2)d>c-dm$

0 \leq m \leq n

$0\le m \le n$

। এটি অনুসরণ করে কারণ

জন্য সমস্ত

বোঝায় যে

।

a - (n - 2) d = f \approx - 0.98 \cdot O P T

$a-(n-2)d = f\approx -0.98 \cdot OPT$

c + a - (n - 2) d > c - d m

$c+a-(n-2)d>c-dm$

0 \leq m \leq n

$0\le m \le n$

f = a - (n - 2) d > 0

$f=a-(n-2)d > 0$

— ওয়ারেন শুডি

@ ওয়ারেন, আপনি যথেষ্ট পরিমাণে

পছন্দ করেন যাতে

সমস্ত কাটার জন্য। পর্যাপ্ত পরিমাণে

নির্বাচন করে এটি করা যেতে পারে । আপনি তারপর চয়ন

সঠিক মাপ যাতে অনুকূল কাটা মাত্র সবে উপরে

। আমার উত্তরের শেষ দুটি অনুচ্ছেদ পড়ুন।

d

$d$

c - d m < 0

$c-dm<0$

d

$d$

a

$a$

0

$0$

— পিটার শর

এস হার-প্লেডের " আনুমানিক ম্যাক্স কাট " নিবন্ধে , কাগজের শেষ পংক্তিতে উল্লেখ করা হয়েছে যে ম্যাক্স-কাটের আসল ওজনযুক্ত সংস্করণে আলোচনা করা হয়েছে

গ্রোথেনডিকের অসমতার মধ্য দিয়ে কাট-আদর্শকে নিকটস্থ করা , নোগা অ্যালন এবং আসফ নাওর, সিয়াম জার্নাল অন কম্পিউটিং, 2006।

এটি সত্যই একটি এসডিপি অ্যালগরিদম, এবং এটি আমার কাছে মনে হয় যে আনুমানিক অনুপাত 0.56, যদিও আমি নিশ্চিত নই যে কাগজে আলোচিত হ্রাসটি অনুপাত সংরক্ষণ করে কিনা is কাগজটির আরও গভীর দৃষ্টিভঙ্গি সাহায্য করবে!

— হিসিয়েন-চিহ চাং 張顯之
সূত্র

অ্যালন-নাওরে সমস্যা একই রকম তবে আমি মনে করি না যে অনুপাত সংরক্ষণের একটি অনুপাত আছে। তাদের সমস্যার বাড়ানোর লক্ষ্যে হয়

যেখানে

এবং

একটি হল

ম্যাট্রিক্স। সর্বোচ্চ কাটা এবং তার নিকট আত্মীয় জন্য এটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ যে

x^{T} M y

$x^TMy$

x, y \in {\pm 1}^{n}

$x, y \in \{\pm 1\}^n$

M

$M$

n \times n

$n \times n$

x = y

$x = y$

— Sasho Nikolov

@ সাশোনিকোলোভ: কাটা আদর্শের জন্য এটি অবিচলিত, ধ্রুবক কারণগুলির মধ্যে, আমরা

দাবি করি না কেন।

x = y

$x=y$

— ডেভিড

@ ডেভিড আমি এই হ্রাস জানি, কিন্তু যে বিবৃতিটি সত্য তা হ'ল

যেখানে সব সর্বোচ্চ ধরে আছে

, এবং

নন-নেগেটিভ তির্যক সঙ্গে প্রতিসম হয়। তবে সমস্যাটি

max_{x} | x^{T} M x | \leq max_{x, y} x^{T} M y \leq 4 max_{x} | x^{T} M x |

$\max_x |x^TMx| \leq \max_{x, y}{x^TMy} \leq 4 \max_x |x^TMx|$

{- 1, 1}^{n}

$\{-1, 1\}^n$

M

$M$

max_{x} | x^{T} M x |

$\max_x |x^TMx|$

(যা আমাদের ম্যাক্সকাটের জন্য প্রয়োজন) থেকে খুব আলাদা মান থাকতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, বিবেচনা

, যেখানে

হয়

সব বেশী ম্যাট্রিক্স। আপনি দেখতে পারেন

সম্পর্কে

, যখন

হয়

।

max_{x} x^{T} M x

$\max_x x^TMx$

M = I - J

$M = I-J$

J

$J$

n \times n

$n\times n$

max_{x} x^{T} M x

$\max_{x}{x^TMx}$

n / 2

$n/2$

max_{x} | x^{T} M x |

$\max_{x}{|x^TMx|}$

n^{2} - n

$n^2 - n$

— সাশো নিকোলভ

চতুর্ভুজ প্রোগ্রামিং সমস্যা হ্রাস করে আপনার সমস্যার লোগারিথমিক আনুমানিকতা রয়েছে।

MaxQP সমস্যা দ্বিঘাত ফর্ম approximating এর সমস্যা একটি জন্য ম্যাট্রিক্স , যেখানে ওভার রেঞ্জ । এই ফর্মটিতে সেট করে ম্যাক্সকুট লেখা যেতে পারে $x^TMx$ $n \times n$ $M$ $x$ $\{\pm 1\}^n$ যেখানেপরিচয় ম্যাট্রিক্স এবংসন্নিহিত অবস্থা ম্যাট্রিক্স হয়। চরিকর এবং Wirth এর MaxQP অ্যালগরিদমএকটি দেয়দীর্ঘ হিসাবে হিসাবে MaxQP জন্য পড়তাএকটি অ-নেতিবাচক তির্যক হয়েছে। সুতরাং যতক্ষণ না, নেতিবাচক ওজনযুক্ত ম্যাক্সকাটের একটি লোগারিথমিক আনুমানিক has $M = \frac{1}{2n}(\sum{w_e})I - \frac{1}{2}A$ $I$ $A$ $O(\log n)$ $M$ $\sum{w_e} \geq 0$

— সাশো নিকোলভ
সূত্র