এর একটি নির্দিষ্ট-গভীরতার বৈশিষ্ট্য ?

এটি সার্কিট জটিলতা সম্পর্কে একটি প্রশ্ন। (সংজ্ঞাগুলি নীচে রয়েছে))

ইয়াও এবং Beigel-Tarui দেখিয়েছেন যে যে আকারের বর্তনী পরিবার আকারের একটি সমতুল্য সার্কিট পরিবার আছে গভীরতা দুই , যেখানে আউটপুট গেট একটি প্রতিসম ফাংশন এবং দ্বিতীয় স্তর গঠিত এর এর দরজা $ACC^0$ $s$ $s^{poly(\log s)}$ $AND$ $poly(\log s)$ ফ্যান-ইন। এটি একটি সার্কিট পরিবারের মোটামুটি উল্লেখযোগ্য "গভীরতা ধসের": একটি গভীরতার 100 সার্কিট থেকে আপনি গভীরতা 2-এ কমিয়ে আনতে পারবেন, কেবলমাত্র একটি আধাসঙ্গিক-বহুপদী ঘাটতি (এবং শীর্ষে একটি অভিনব তবে এখনও সীমাবদ্ধ গেট) দিয়ে।

আমার প্রশ্ন: সার্কিট পরিবারকে একইভাবে প্রকাশ করার কোনও উপায় আছে কি? আরও উচ্চাভিলাষী, একটি সার্কিট পরিবার সম্পর্কে কি ? সম্ভাব্য উত্তর ফর্ম প্রয়োগ করা হবে: "প্রত্যেক আকারের বর্তনী আকারের একটি গভীরতা টি পরিবার দ্বারা স্বীকৃত হতে পারে , যেখানে আউটপুট গেট ধরনের একটি ফাংশন ও দরজা আছে টি দ্বিতীয় স্তর প্রকার থাকা " । $TC^0$ $NC^1$ $TC^0$ $s$ $f(s)$ $X$ $Y$

এটা না আছে গভীরতা টি হতে, নির্দিষ্ট গভীরতা ফলাফলের কোনো ধরনের আকর্ষণীয় হবে। প্রতিটি সার্কিটকে কেবলমাত্র প্রতিসাম্য ফাংশন গেট সমন্বিত একটি সার্কিট দ্বারা গভীরতা 3 তে উপস্থাপন করা যায় তা প্রমাণ করা খুব আকর্ষণীয় হবে। $TC^0$

কিছু ছোটখাট পর্যবেক্ষণ:

তাহলে উত্তরের জন্য তুচ্ছ হয় কোনো বুলিয়ান ফাংশন (আমরা একটি কোন ফাংশন প্রকাশ করতে পারেন এর গুলি)। সংক্ষিপ্ততার জন্য, আসুন । $f(n)=2^n$ $OR$ $2^n$ $AND$ $f(n) = 2^{n^{o(1)}}$
উত্তরটিও তুচ্ছ হয় যদি বা উভয়ই একটি নির্বিচার ফাংশন হিসাবে গণ্য হতে দেওয়া হয় ... :) আমি স্পষ্টতই "সরল" ফাংশনে আগ্রহী, এর অর্থ যাই হোক না কেন। এটি সংজ্ঞায়িত করার জন্য এটি কিছুটা পিচ্ছিল কারণ সাম্প্রতিক ক্রিয়াকলাপ রয়েছে এমন পরিবারগুলি যা আপোনাযোগ্য। (এখানে আনারি ভাষা রয়েছে যা আপত্তিজনক নয়)) যদি আপনি পছন্দ করেন তবে আপনি এবং প্রতিস্থাপনের ক্ষেত্রে প্রতিসাম্যিক ফাংশনগুলির সাথে প্রতিস্থাপন করতে পারেন , তবে আমি গেটগুলির অন্য কোনও সুস্পষ্ট পছন্দে আগ্রহী হব। $X$ $Y$ $TC^0$ $X$ $Y$

(এখন স্বরলিপিটির কিছু সংক্ষিপ্ত প্রত্যাহারের জন্য:

$ACC^0$ $AND$ $OR$ $MOD_m$ $m > 1$ $MOD_m$ $1$ $m$

$TC^0$ $MAJORITY$

$NC^1$ $AND$ $OR$ $NOT$

$ACC^0 \subseteq TC^0 \subseteq NC^1$

cc.complexity-theory circuit-complexity upper-bounds

— রায়ান উইলিয়ামস
সূত্র

k

$k$

k + 1

$k+1$

T C^{0}

$TC^0$

T C^{0}

$TC^0$

N C^{1}

$NC^1$

রায়ান, আপনি এখানে কোন ধরণের উত্তর চাইছেন তা আমি দেখতে পাচ্ছি না। আপনি যদি সত্যই তখন প্রতিসামগ্রী দরজা সম্পর্কে কথা বলছেন (যেহেতু এগুলি সংখ্যাগরিষ্ঠতার সাথে দুটি দ্বারা অনুকরণ করা যায়) আপনার প্রশ্নটি টিসি 0 এর ধ্রুবক গভীরতায় পতনের সমতুল্য (সম্ভবত আকারে কিছুটা হালকা সুপার-বহুবর্ষীয় বৃদ্ধি সহ) - একটি সুপরিচিত ওপেন সমস্যা আপনি যদি "শিথিল" প্রতিসামগ্রী করতে ইচ্ছুক হন, তবে ব্যারিংটনের ফলাফল আপনি আশা করতে পারেন তেমন ভাল বলে মনে হচ্ছে?

— নোট

@ নোয়াম: আমি দেখতে চাই যে অন্য কোনও আকর্ষণীয় উত্তর আছে কিনা; যদি সেখানে না থাকে, তবে আমি ল্যান্সকে 300 দেব। মধ্যবর্তী সম্ভাবনাগুলিও রয়েছে, যেমন আউটপুটটিতে প্রতিসাম্যিক ফাংশন সহ গভীরতা-তিনটি সার্কিট তবে অপর দুটি স্তরের সামঞ্জস্যগতভাবে অগত্যা নয়। যাইহোক, আপনাকে এটি সম্পর্কে 5 মিনিটের জন্য ভাবতে পারা ইতিমধ্যে 300 বাউটিটির মূল্য।

— রায়ান উইলিয়ামস

এবং এখন (8 নভেম্বর পরে) আমরা এই প্রশ্নের উত্স জানি ...

— স্লিমটন

$TC^0$ $AC^0$ $TC^0$ $A$ $TC^0$ $f$ $\sharp AC^0$ $k$

$x \in A$ $f(x) = 2^{|x|^k}$

$\sharp AC^0$ $Z$ $x_i$ $1-x_i$

এটি দেওয়া হিসাবে, বোয়াজ তার উত্তরে উল্লেখ করেছেন যে, পাটিগণিত সার্কিটগুলির জন্য একটি তুচ্ছ তাত্পর্যপূর্ণ গভীরতা হ্রাস রয়েছে, এটি খতিয়ে দেখার মতো কিছু হতে পারে।

— ক্রিস্টোফার আরনসফেল্ট হ্যানসেন
সূত্র

$NC^1$

— ল্যান্স ফোর্তনো
সূত্র

আমি সম্মত হই যে ব্যারিংটনের উপপাদ্যটি এখানে আকর্ষণীয় কিছু বোঝায়। তবে এই আউটপুট গেটটি একটি খুব "অ-প্রতিসাম্যহীন" ফাংশন :)

— রায়ান উইলিয়ামস

প্রকৃতপক্ষে মনে হচ্ছে আপনি একটি গভীরতা 1 সার্কিট পেয়েছেন ... একটি 5x5 বুলিয়ান ম্যাট্রিক্স হিসাবে একটি অনুক্রমের প্রতিনিধিত্ব করে, এটি কেবলমাত্র ক্রম-গুণন গেটের অনুমান।

— নোট

$f:{0,1}^n\rightarrow{0,1}^n$ $O(\log n)$ $O(n)$ $g$ $NC_0[n^{\epsilon}]$ $f$ $2^{n-o(n)}$ $f$ $g$ $NC^1$

— বোয়াজ বারাক
সূত্র

T C^{0}

$TC^0$

O (n / (ε \log \log n))

$O(n/(\varepsilon \log \log n))$

ε \log n

$\varepsilon \log n$

g

$g$

f

$f$

ক্রিস্টোফার, আপনি কি পৃথক উত্তর হিসাবে আপনার লিঙ্কটি যুক্ত করতে পারেন? ধন্যবাদ!

— রায়ান উইলিয়ামস

o (n)

$o(n)$

n^{ϵ}

$n^{\epsilon}$

2^{n - o (n)}

$2^{n-o(n)}$