এলোমেলো সীমাবদ্ধতা এবং বুলিয়ান ফাংশনগুলির মোট প্রভাবের সংযোগ

Question

বলুন আমাদের একটি বুলিয়ান ফাংশন রয়েছে $f:\{-1,1\}^n\rightarrow \{-1,1\}$ এবং আমরা আবেদন $\delta$-র্যান্ডম সীমাবদ্ধতা $f$। এছাড়াও, সিদ্ধান্ত গাছ বলে$T$ যে গণনা $f$ আকার সঙ্কুচিত $O(1)$এলোমেলো সীমাবদ্ধতার ফলস্বরূপ। এটি কি বোঝায়?$f$ একটি খুব কম মোট প্রভাব আছে?

Comments

$\delta$ 0 এবং 1 এর মধ্যে একটি ধ্রুবক এবং এটি এন এর উপর নির্ভর করে না?

— কাভেঃ

হ্যাঁ. প্রকৃতপক্ষে$\delta\in[0,1]$।

— অমিত লেভি

আমি নিশ্চিত না যে এটি আপনি যা খুঁজছেন তা যদি না হয় তবে স্যুইচিং লেমা দ্বারা যদি কোনও ফাংশনকে একটি ছোট-প্রস্থের ডিএনএফ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যায়, তবে এইচপি এটি স্থির আকারের সিদ্ধান্তের গাছটিতে সঙ্কুচিত হবে। ছোট-প্রস্থের ডিএনএফ-এর মোট মোট প্রভাব কম, এবং কেউ ডিএনএফ-এর মাধ্যমে সিদ্ধান্ত গাছ প্রকাশ করতে পারে, তাই নৈতিকভাবে মনে হয় যে এটিই এটি is

Answer 1

দাবি: যদি$\delta$-র্যান্ডম সীমাবদ্ধতা $f$ আকারের সিদ্ধান্ত গাছ আছে $O(1)$ (প্রত্যাশায়), তারপরে এর সম্পূর্ণ প্রভাব $f$ হয় $O(\delta^{-1})$।

প্রুফ স্কেচ: আমাদের প্রভাবের সংজ্ঞা অনুসারে $Inf(f) = n \cdot \Pr_{x,i}[f(x) \neq f(x+e_i)]$। আসুন প্রথমে একটি পুনরুদ্ধার প্রয়োগ করে তারপরে আসুন, তারপর বাকী স্থানাঙ্কগুলির মধ্যে বাছাই করে , এবং এখানে স্থির করা যাক ব্যতীত এলোমেলো সব কিছু ।$\Pr_{x,i}[f(x) \neq f(x+e_i)]$$\delta$$i \in [n]$$x_i$

এখন, যদি -restriction সিদ্ধান্ত গাছ হ্রাস মাপ , তারপর বিশেষ করে এর -restriction উপর নির্ভর করে সমন্বিত। আসুন এখন আমরা একটি এলোমেলোভাবে অনিকল্পিত স্থানাঙ্ক বাছাই করি ( ) এবং অন্য সকলকে এলোমেলোভাবে স্থির করি। যেহেতু এর -restriction সর্বাধিক উপর নির্ভর করে স্থানাঙ্ক, আমরা (এক বিট দিকে) একটি ফাংশন যে সর্বাধিক সম্ভাবনা সঙ্গে ধ্রুবক নয় পেতে । অতএব required, প্রয়োজনীয়।$\delta$$f$$O(1)$$\delta$$f$$r = O(1)$$\delta n$$\delta$$f$$r$$\frac{r}{\delta n}$$Inf(f) = n \cdot \Pr_{x,i}[f(x) \neq f(x+e_i)] \leq \frac{r}{\delta}$

মন্তব্য: বিটগুলিতে সমতা ফাংশন নিয়ে উপরের দাবিটি শক্ত is$O(1/\delta)$