"ক্ষুদ্র" গ্রাফ isomorphism

অসম্পূর্ণ গ্রাফের পরীক্ষা সংক্রান্ত জটিলতার কথা চিন্তা করার সময় ( সিস্টেরিতে আমার সম্পর্কিত প্রশ্নটি দেখুন ), আমার মনে একটি পরিপূরক প্রশ্ন এসেছিল।

ধরুন যে আমরা একটি বহুপদী সময় টুরিং মেশিন আছে যে ইনপুট উপর গ্রাফ উত্পন্ন সঙ্গে নোড। $M$ $1^n$ $G_{M,n}$ $n$

আমরা সমস্যার বর্ণনা করতে পারেন : $\Pi_M$

( "ক্ষুদ্র" জি আই): গ্রাফ দেওয়া হল করার isomorphic ? $G=(V,E)$ $G$ $G_{M,|V|}$

অন্য কথায়, আমাদের অবশ্যই একটি নির্দিষ্ট বহুবর্ষ সময় টুরিং মেশিন দ্বারা উত্পন্ন একই আকারের "রেফারেন্স" গ্রাফের সাথে একটি প্রদত্ত গ্রাফ তুলনা করতে হবে । $M$

সমস্ত বহুবর্ষের জন্য ট্যুরিং মেশিন , আমাদের কাছে এবং তাদের অনেকের জন্যই আমাদের । তবে এটি কি সমস্ত পক্ষে সত্য ? সমস্যাটি কি জানা আছে? $M$ $\Pi_M \in NP$ $\Pi_M \in P$
$M$

এক নজরে, আমি ভেবেছিলাম যে প্রতি চেয়ে অনেক সহজ হওয়া উচিত , যে কারণ কেবলমাত্র একটি "রেফারেন্স" যে আকারের গ্রাফ আছে এবং সম্ভবত symmetries / দ্বারা উত্পন্ন গ্রাফ এর asymmetries শোষিত করা যাবে এবং একটি দক্ষ অ্যাড-হক isomorphism পরীক্ষক নির্মিত হতে পারে ... কিন্তু এটা সত্য নয়: বহুপদী কিছু বাছাই থাকতে পারে শেষ হয়েছে ইউনিভার্সাল টুরিং মেশিন যে ব্যবহার (ইউনারী) ইনপুট যেমন রেফারেন্স গ্রাফ সম্পূর্ণ ভিন্ন জেনারেট করতে (কাঠামো) বাড়ে। $\Pi_M$ $GI$ $n$ $M$ $M$ $1^n$ $n$

graph-isomorphism

— মারজিও দে বিয়াসি
সূত্র

আকর্ষণীয়, আপনি কি পি-টাইম টুরিং মেশিন

উদাহরণ জানেন যা গ্রাফ

M

$M$

G_{M, N}

$G_{M,N}$

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তান

@ MohammadAl-Turkistany: একটি তুচ্ছ উদাহরণ, যার জন্য

, একটি টি এম হল

যে কেবল আউটপুট

বিচ্ছিন্ন ছেদচিহ্ন (অথবা অন্য এক একটি টি এম যে আউটপুট হয়

)। সাধারণতার ক্ষতি ছাড়াই আমরা এমন একটি মডেলটিও ভাবতে পারি যেটিতে বাইনারি বর্ণমালার উপরে প্রতিটি বহুবর্ষের সময় টিএম একটি রেফারেন্স গ্রাফ উত্পন্ন করে: টেপটি থামার পরে প্রথম

বিট বেছে নিন এবং এটি

এর সংলগ্ন ম্যাট্রিক্স হিসাবে ব্যাখ্যা করুন

।

Π_{M} \in P

$\Pi_M \in P$

M

$M$

n

$n$

K_{n}

$K_n$

n^{2}

$n^2$

G_{M, n}

$G_{M,n}$

— মার্জিও দে বায়াসি

টি এম জন্য

যে নিশ্চয়তা যে

হ্যামিল্টনিয়ান চক্র আছে, তারপর আমি অনুমান

নয়

।

M

$M$

G_{M, n}

$G_{M,n}$

Π_{M}

$\Pi_M$

P

$P$

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তি

@ MohammadAl-Turkistany: আমার মনে হয় এটা সত্য নয়: শুধু যে কেবল একটি চক্র তৈরী করে একটি টি এম বাছাই

নোড সব জন্য

রেফারেন্স গ্রাফ - একটি হ্যামিল্টনিয়ান চক্র আছে - বহুপদী সময় সহজে checkable হয়। আমার মনে একটি (তত সরল) জেনারেটরের একটি অপ্রয়োজনীয় উদাহরণ রয়েছে যার জন্য সমস্যাটি

দেখানো কঠিন বলে মনে হয় ; তবে আমি প্রশ্নের সাথে যুক্ত করার আগে নটি দিয়ে কিছু পরীক্ষা করতে চাই।

n

$n$

n

$n$

P

$P$

— মারজিও ডি বায়াসি

"ইটস বিটসি" জিআই সম্পর্কে কী যেখানে স্থির এম এবং এন এর জন্য আমাদের সিদ্ধান্ত নিতে হবে যে 1 ^ n এ উত্পন্ন দুটি গ্রাফ একই রকম কিনা? (এটি

— অখণ্ড

উত্তর:

[এটি উত্তরের চেয়ে কয়েকটি বর্ধিত মন্তব্যের বেশি]]

1) যদি , তবে সমস্ত এর সময় জটিলতার উপর কোনও নির্দিষ্ট-বহুবর্ষের সীমাবদ্ধ নেই , এমনকি জন্য কেবল সময় লাগে, বলুন, : সর্বকালের জন্য যদি , , তারপরে নীচে জিআই-এর জন্য বহু-কালীন অ্যালগরিদম রয়েছে। ইনপুট , একটি ঘড়ি সহ একটি টুরিং মেশিন নির্মাণ করুন যা নিশ্চিত করে $GI \notin \mathsf{P}$ $\Pi_{M}$ $M$ $n^3$ $n^3$ $M$ $\Pi_{M} \in \mathsf{DTIME}(n^k)$ $(G, H)$ $M_{G}$ $M_{G}$ কখনো বেশি জন্য রান আকারের ইনপুট উপর পদক্ষেপ , এবং যেমন যে , এবং তারপর সমাধান সময় । $n^3$ $n$ $M_{G}(1^{|V(G)|}) = G$ $\Pi_{M_G}(H)$ $O(n^k)$

২) যেহেতু যে কোনও , জিআই এর চেয়ে শক্ত নয়, তাই কেউ মনে করতে পারে যে " তে নেই বলে মনে হচ্ছে " এর লাইন ধরে সেরা ফলাফলটি জিআই-সম্পূর্ণতার ফলাফল আশা করতে পারে। যাইহোক, এটা আমার কাছে সম্ভবনা যে কোনো এক জি আই-সম্পূর্ণ হবে, অন্তত নিম্নলিখিত কারণের জন্য: $M$ $\Pi_{M}$ $\Pi_M$ $\mathsf{P}$ $\Pi_M$

আমি জানি যে সমস্ত জিআই সম্পূর্ণতা ফলাফলগুলি প্রতিটি আকারের একক গ্রাফের চেয়ে বরং বড় শ্রেণীর গ্রাফের জন্য। এমনকি যদি আপনি দক্ষতা প্রয়োজন সম্পূর্ণরূপে ড্রপ, আমি গ্রাফ কোন তালিকার জানি না যেমন যে (বা এমনকি ) যেমন -তে আইসোমরফিজম পরীক্ষা করা জিআই-সম্পূর্ণ। $G_1, G_2, \dotsc$ $|V(G_n)| = n$ $poly(n)$ $G_n$
একটি সম্পর্কিত নোট অন, সবচেয়ে (? সব) জি আই-সম্পূর্ণতার ফলাফল নিছক অনেকগুলি এক কমানোর হয় না, কিন্তু নিচের ফর্মটি আছে: একটি ফাংশন আছে যেমন যে একটি দৃষ্টান্ত দেওয়া জি আই এর অন্যান্য জিআই-সম্পূর্ণ সমস্যার উদাহরণ। (এগুলি কেবল সমতুল্য সম্পর্কের পলি-টাইম মোর্ফিজমস, বা ফোর্টনউ এবং আমি " কর্নাল কমানো" বলেছিলাম )) আমরা সহজেই নিঃশর্তভাবে দেখাতে পারি যে জিআই থেকে কোনও তেমন কোনও হ্রাস নেই (এমনকি আপনি সংজ্ঞায়িত করার জন্য সংজ্ঞাটি সংশোধন করেও $f$ $(G,H)$ $(f(G), f(H))$ $\Pi_M$ $M$ একাধিক গ্রাফ আউটপুট)। ইঙ্গিত: এই জাতীয় কোনও অবশ্যই সম্পূর্ণরূপে থাকা উচিত তা দেখিয়ে একটি বৈপরীত্য পান । $f$ $\{G_{M,n}\}_{n \geq 0}$

3) যদিও কেউ প্রশ্ন অনুসারে একটি ইউনিভার্সাল টিএম এর ভিত্তিতে নির্মাণ করতে পারে , সম্ভবত এখনও একটি দক্ষ পরীক্ষক তৈরি করতে পারে, কেবল দক্ষতার সাথে নয়। অর্থাৎ হয়তো প্রত্যেকের জন্য , রয়েছে ? $M$ $M$ $\Pi_{M}$ $\mathsf{P/poly}$

— জোশুয়া গ্রোচো
সূত্র

আমি আপনার প্রশ্নের কোন উত্তর আছে কিন্তু একটি সীমাবদ্ধ সংস্করণ বিবেচনা করার প্রস্তাব করছি , যার জন্য আমরা দেখাতে পারি যে এটা পি এই ব্যবস্থার সবচেয়ে গুরত্বপূর্ণ $\Pi_M$

আসুন আমরা কেবল গ্রাফের পরিবারগুলিকেই বিবেচনা করি যে প্রান্তগুলির সংখ্যা লোগারিথিকভাবে বৃদ্ধি পায়। আমি আপনার সমস্যা গঠনের পুনরায় চাপ দিয়ে এটি আনুষ্ঠানিক করব, এটিও আমি সঠিকভাবে বুঝতে পেরেছি কিনা তা দেখার জন্য।

প্রান্ত সহ একটি নির্দেশিত গ্রাফ একটি দ্বারা বর্ণিত হতে পারে $G$ $n$ লম্বা বিটস্ট্রিং, কেবলউপরের ত্রিভুজটিতেসংলগ্ন ম্যাট্রিক্সের এন্ট্রিগুলিকে একত্রিত করুন। সুতরাং $\frac{n^2-n}{2}$ $G$ শীর্ষে সম্ভাব্য গ্রাফ। এটি অনুসরণ করে যে কোনও ক্রিয়ামতো $2^{\frac{n^2-n}{2}}$ $n$ $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ সবার জন্যগ্রাফ একটি পরিবার বর্ণনা করে। কোন দক্ষতার গণনীয় যেমন ফাংশন জন্যআমরা সংজ্ঞায়িতযেমন $0 \leq f(n) < 2^{\frac{n^2-n}{2}}$ $n$ $f$ $\Pi_f$

G \in Π_{f} ⟺ G is isomorph to the graph described by f (| V (G) |)

$G \in \Pi_f \iff G \text{ is isomorph to the graph described by $f(|V(G)|)$}$

একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা জন্য এর বাইনারি উপস্থাপনায় 1 এর সংখ্যা হবে be এখন, আমাদের শুধুমাত্র বিবেচনা করা যাক দক্ষতার গণনীয় কাজকর্মের জন্য যার জন্য ঝুলিতে যে উপরে বর্ণিত যে, গ্রাফ, যার জন্য প্রান্ত সংখ্যা শুধুমাত্র logarithmically বৃদ্ধি পরিবারকে হয় । $x$ $b_1(x)$ $\Pi_f$ $f$

b_{1} (f (n)) \in O (\log n)

$b_1(f(n)) \in \mathcal{O}(\log n)$

আমরা দেখাই যে, ফাংশন এই শ্রেণীর জন্য পি হয় $\Pi_f$

যাক যেমন একটি ফাংশন হতে হবে এবং সঙ্গে একটি ইনপুট গ্রাফ হতে ছেদচিহ্ন। আসুন রেফারেন্স গ্রাফ কে বলি । রেফারেন্স গ্রাফে সর্বাধিক প্রান্ত রয়েছে। এভাবে প্রত্যেক এমসিসি (সর্বাধিক সংযুক্ত উপাদান) সর্বাধিক গঠিত হতে পারে ছেদচিহ্ন যার সেখানে সর্বাধিক হতে পারে । মনে রাখবেন, শুধুমাত্র সঙ্গে গ্রাফ কোন যুগল যে ছেদচিহ্ন আমরা জাভাস্ক্রিপ্টে গার্বেজ isomorphism polynomialy সময় wrt চেক করতে $f$ $G$ $n$ $f(n)$ $\mathcal{O}(\log n)$ $\mathcal{O}(\log n)$ $n$ $\mathcal{O}(\log n)$ $n$ কারণ আমরা সব অনুমতি চেষ্টা করতে পারি। সুতরাং ইনপুট গ্রাফের প্রতিটি এমসিসিকে রেফারেন্স গ্রাফের একটি এমসিসি নির্ধারণের জন্য লোভী অ্যালগরিদম ব্যবহার করে আমরা উভয় গ্রাফ আইসোমর্ফ কিনা তা নির্ধারণ করতে পারি।

— জন ডি।
সূত্র

f

$f$

n

$n$

G

$G$

Π_{f} \in P

$\Pi_{f} \in P$

প্রকৃতপক্ষে, এটি মনে করার চেয়ে সহজ যুক্তি বলে মনে হচ্ছে। আমি আমার উত্তরে এটি অন্তর্ভুক্ত করব।

— জন ডি

Π_{f}

$\Pi_f$

O (\log n / \log \log n)

$O(\log n / \log \log n)$

(\log n)!

$(\log n)!$

(\log n)^{\log n} = n^{\log \log n}

$(\log n)^{\log n} = n^{\log \log n}$

2^{\sqrt{v \log v}}

$2^{\sqrt{v \log v}}$

O (\log n / \log \log n)

$O(\log n/\log \log n)$

O (\log^{2} n)

$O(\log^2 n)$