গৌণ-বাদ দেওয়া গ্রাফগুলির জন্য কী সহজ?

Question

জং / শাহ দ্বারা অ্যালগোরিদম ব্যবহার করে ছোটখাটো-বাদ দেওয়া গ্রাফগুলিতে রঙিন্যের আনুমানিক সংখ্যাকে সহজ বলে মনে হচ্ছে । সাধারণ গ্রাফগুলিতে শক্ত তবে ছোটখাট-বাদ দেওয়া গ্রাফগুলিতে সহজ এমন সমস্যাগুলির অন্যান্য উদাহরণ কী কী?

আপডেট 10/24 আপডেটটি গ্রোহ-এর ফলাফল অনুসরণ করে মনে হচ্ছে যে সীমিত-বৃক্ষবৃদ্ধি গ্রাফগুলিতে পরীক্ষার জন্য এফপিটি হ'ল সূত্রটি অপ্রাপ্ত বাম গ্রাফগুলিতে পরীক্ষা করার জন্য এফপিটি। এখন প্রশ্ন হল - এটি এই জাতীয় সূত্রের সন্তোষজনক কার্যগুলি গণনা করার ট্র্যাকটেবিলিটির সাথে কীভাবে সম্পর্কিত?

উপরের বক্তব্যটি মিথ্যা। এমএসএল হ'ল বাউন্ডেড ট্রি-প্রস্থের গ্রাফগুলিতে এফপিটি, তবে 3-বর্ণযোগ্যতা প্ল্যানার গ্রাফগুলিতে এনপি-সম্পূর্ণ যা সামান্য-বাদ দেওয়া হয়।

Answer 1

সর্বাধিক সাধারণ ফলাফল গ্রোহ দ্বারা পরিচিত। জুলাই ২০১০ এ একটি সংক্ষিপ্তসার উপস্থাপন করা হয়েছিল:

• মার্টিন Grohe, ফিক্সড-পয়েন্ট Definability এবং বহুপদী সময় গ্রাফ উপর বহিষ্কৃত অপ্রাপ্তবয়স্কদের সঙ্গে , LICS 2010 ( পিডিএফ )

সংক্ষেপে, গণনা সহ স্থির-পয়েন্ট যুক্তিযুক্ত যে কোনও বিবৃতিতে কমপক্ষে একটি বাদ পড়ে থাকা নাবালক সহ গ্রাফের শ্রেণিতে বহু-কালীন অ্যালগরিদম থাকে। (এফপি + সি হ'ল প্রথম-ক্রমের যুক্তি একটি স্থির-পয়েন্ট অপারেটরের সাথে যুক্ত হয় এবং একটি প্রিডিকেট যা শিখুনের নির্দিষ্ট সেটগুলির কার্ডিনালিটি দেয়)। মূল ধারণাটি হ'ল একটি নাবালিকাকে বাদ দিয়ে ক্লাসের গ্রাফগুলিকে ট্রেলাইক পচনগুলি অর্ডার করতে দেয় যা স্থির-পয়েন্ট যুক্তিতে (গণনা ছাড়াই) নির্ধারিত হয়।

সুতরাং আপনার প্রশ্নের উত্তরের একটি বৃহত শ্রেণি এমন বৈশিষ্ট্য বিবেচনা করে প্রাপ্ত করা যেতে পারে যা এফপি + সিতে সংজ্ঞায়িত তবে এটি গণনা করা শক্ত।

---

সম্পাদনা: আমি নিশ্চিত নই যে এটি আসলে আপনার প্রশ্নের উত্তর দিয়েছে, এমনকি আপনার আপডেটের জন্য কম। গ্রোহের ফলাফলের পয়েন্টার এবং বিবৃতিটি সঠিক, তবে আমি মনে করি না যে স্ট্রাইক আউট লেখাটি আপনার প্রশ্নের জন্য প্রাসঙ্গিক। (এটি নির্দেশ করার জন্য স্টিফান ক্রেইতজারকে ধন্যবাদ।) এটি স্পষ্ট করে বলার অপেক্ষা রাখে: আপনি কি গণনা সমস্যাটি চান যা সাধারণভাবে কঠিন তবে নাবালিকা-বর্জনিত শ্রেণিতে সহজ, বা সিদ্ধান্তের সমস্যা?

Comments

আকর্ষণীয় ... আমি অবাক হই যে প্ল্যানার গ্রাফগুলির জন্য এই ট্রেলিক পচনটি কেমন দেখাচ্ছে

— ইয়ারোস্লাভ বুলাটোভ

একটি দরকারী উপপাদ্যটি আমি পেয়েছি হ'ল সম্পত্তিটি এফপি + সি-তে স্পষ্ট হয় যদি এটি সীমাবদ্ধ দ্বি গ্রাফের বহুবর্ষীয় সময়ে নির্ধারিত হয়। এখন প্রশ্নটি হল - এফপি + সি সিদ্ধান্ত সমস্যার জটিলতা কীভাবে আনুষাঙ্গিক গণনা সমস্যার জটিলতার সাথে সম্পর্কিত?

— ইয়ারোস্লাভ বুলাটোভ

@ ইয়ারোস্লাভ: একবার লেখা হয়ে গেলে আপনি কি এর জন্য একটি রেফারেন্স দিতে পারেন? ধন্যবাদ।

— gphilip

লল, আমি আসলে এটি আবিষ্কার করতে পারি নি, গ্রোহের "যুক্তি, গ্রাফিক্স এবং অ্যালগরিদম" এর পৃষ্ঠা 2 এ আমি এটি "পেয়েছি"

— ইয়ারোস্লাভ বুলাটোভ

Answer 2

অপ্রাপ্তবয়স্ক-বদ্ধ গ্রাফ পরিবারের একটি আকর্ষণীয় সম্পত্তি হ'ল তারা অবক্ষয়ের সীমাবদ্ধ । এর অর্থ হ'ল আবদ্ধ অবক্ষয়ের গ্রাফগুলিতে সহজ যে সমস্ত সমস্যাগুলি একটি নাবালক-বন্ধ পরিবার থেকে গ্রাফগুলিতে সহজ।

$O(n^k)$$O(k d(G)^k n)$

সীমিত অবক্ষয় সহ গ্রাফগুলি সম্পর্কে অনুরূপ প্রশ্নের ম্যাথওভারফ্লোতে ডেভিড এপস্টিনের এই উত্তরে অন্যান্য উদাহরণ পাওয়া যাবে ।

Comments

$O(dn3^{d/3})$

অপ্রাপ্তবয়স্ক-বদ্ধ (আপনার উত্তর) এবং অপ্রাপ্তবয়স্ক-বাদ দেওয়া গ্রাফগুলির (প্রশ্ন) মধ্যে কী সম্পর্ক তা আমি দেখতে পাচ্ছি না। সমস্ত সম্পূর্ণ গ্রাফের সেটও সামান্য বন্ধ, তবে সেগুলি সীমিত অবক্ষয়ের নয়।

— Saeed

অপ্রাপ্তবয়স্ক-বদ্ধ = অপ্রাপ্তবয়স্ক। সমস্ত অ-তুচ্ছ ছোটখাট-বন্ধ গ্রাফ পরিবারগুলি অবক্ষয়ের সীমাবদ্ধ। আমার মূল বক্তব্যটিতে "অ-তুচ্ছ" যুক্ত করা উচিত ছিল।

— রবিন কোঠারি

$\subset$

$H$$G$$H$$G$$F$$F$$G$$F$$G$$F$$k$$k$$f(|G|)$

Answer 3

পরিপূরক হিসাবে, নাবালক-বাদ দেওয়া গ্রাফগুলিতে অ্যালগরিদমের জন্য অন্য দরকারী সম্পত্তি হ'ল এই গ্রাফগুলির মধ্যে ছোট বিভাজক রয়েছে । আরও স্পষ্টভাবে, কারণে

নাবালিক , ব্রুস রিড এবং ডেভিড আর উডকে বাদ দিয়ে একটি গ্রাফে পৃথককারী খুঁজতে একটি লিনিয়ার টাইম অ্যালগরিদম, 2009, অ্যালগরিদমে এসিএম লেনদেন,

$O(n^{2/3})$$O(n^{3/2} + m)$$O(n^{1/2})$

বিভাজকগুলি গতিশীল প্রোগ্রামিং কৌশলগুলির জন্য ভাল , এবং অনেকগুলি এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যাগুলি ভাল আনুমানিকতা অনুপাত সহ দ্রুত অ্যালগরিদমগুলি দেখানো হয়, বলুন সমাধানটি সর্বোত্তমটির একটি ধ্রুবক ফ্যাক্টরের মধ্যে, এমনকি একটি পিটিএএস এর মধ্যেও রয়েছে। প্ল্যানার গ্রাফ এবং সাধারণভাবে সীমাবদ্ধ বাদ দেওয়া গ্রাফগুলিতে সমস্যাগুলি সমাধান করার চেষ্টা করার সময় সীমাবদ্ধ জেনাস গ্রাফগুলি ভাল সূচনা পয়েন্ট।

Comments

কোনও ধারণা যদি বিভাজনকারীরা সঠিক রঙের সংখ্যা গণনা করতে সহায়তা করে?

— ইয়ারোস্লাভ বুলাটোভ

আসলেই নয়, আয়ানের উল্লিখিত কাগজটি আরও ভালভাবে সহায়তা করে। ফলাফলের একটি বর্ধিতাংশ এসওডিএ'০7-এ একই লেখক দ্বারা "সংকোচন পচে যাওয়া দ্বারা আনুমানিক অ্যালগরিদমগুলিতে" হয়।

— হিশিয়ান-চিহ চাং 之 之

Answer 4

$O(1)$

অ্যালগরিদমিক গ্রাফ মাইনর থিয়োরি: ড্যামাইন, হাজিয়াঘাই এবং কাওরবায়াশি দ্বারা পচন, আনুমানিকতা এবং রঙ

এই কাগজটি রবার্টসন এবং সিউমোর উপপাদ্য দ্বারা গ্যারান্টিযুক্ত বর্জন-মাইনর গ্রাফগুলির জন্য নির্দিষ্ট (ব্যাখ্যা করার জন্য কিছুটা জটিল) পচে যাওয়ার একটি অ্যালগোরিদমিক সংস্করণ দেয় যা এই সংখ্যার উন্নত প্রায় অনুমানের ফলাফল দেয়। এর মধ্যে উল্লেখগুলিও পরীক্ষা করে দেখুন।

Comments

ধন্যবাদ, এটি বেশ আকর্ষণীয় ... গ্রোহের "লজিক, গ্রাফস এবং অ্যালগরিদমগুলিতে" পচন অ্যালগরিদমের আরও অ্যাক্সেসযোগ্য বর্ণনা পেয়েছি

— ইয়ারোস্লাভ বুলাটোভ

Answer 5

$K_5$$K_{3,3}$

$H$$H$

$K_t$$(t-1)$$K_t$$(t-1)$$t− 2$