কিউবিক হ্যামিলটনিয়ান গ্রাফগুলিতে হ্যামিল্টোনীয় চক্রের সংখ্যা গণনা করা হচ্ছে?

Question

এটা ঘন হ্যামিল্টনিয়ান গ্রাফ দীর্ঘতম চক্র একটি ধ্রুবক ফ্যাক্টর পড়তা এটি -hard। কিউবিক হ্যামিল্টোনীয় গ্রাফগুলিতে কমপক্ষে দুটি হ্যামিল্টোনীয় চক্র থাকে।$NP$

কিউবিক হ্যামিল্টোনীয় গ্রাফগুলিতে হ্যামিল্টোনীয় চক্রের সংখ্যার উপরের সর্বাধিক পরিচিত ওপেন বাউন্ড এবং নিম্ন সীমাটি কী? কিউবিক হ্যামিল্টোনীয় গ্রাফ দেওয়া হয়েছে, হ্যামিল্টোনীয় চক্রের সংখ্যা খুঁজে বের করার জটিলতা কী? এটা কি # -হার্ড?$P$

Answer 1

নিম্নরূপে 3-নিয়মিত হ্যামিল্টোনীয় গ্রাফে হ্যামিল্টোনীয় সার্কিট গণনা করা হচ্ছে # পি-সম্পূর্ণ।

প্রুফ স্কেচ । # পি-তে সদস্যতা তুচ্ছ, সুতরাং আমরা কেবল # পি-কঠোরতা প্রদর্শন করব।

লিউকিউইকিজ, ওগিহার এবং টোডা [LOT03] এর ধারা 3 দেখায় যে হ্যামিলটোনীয় সার্কিটগুলি 3-নিয়মিত (এবং একই সময়ে বাস্তবিকভাবে পরিকল্পনাকারী) গ্রাফে গণনা করা হচ্ছে # পি-সম্পূর্ণ। তদ্ব্যতীত, তাদের # 3SAT মানচিত্রের সন্তোষজনক 3CNF সূত্র থেকে হ্যামিলটোনীয় গ্রাফগুলিতে হ্রাস। অতএব, আপনি প্রথমে প্রদত্ত 3 সিএনএফ সূত্রে একটি তুচ্ছ সমাধান যোগ করে এবং [LOT03] হ্রাস ব্যবহার করে হ্যামিলটোনীয় সার্কিট গণনাতে এটি হ্রাস করে 3-নিয়মিত হ্যামিলটোনীয় গ্রাফটিতে হ্যামিলটোনীয় সার্কিট গণনাতে # 3SAT হ্রাস করতে পারবেন । Qed ।

[LOT03] ম্যাকিয়েজ লিককিউইচস, মিতসুনোরি ওগিহার এবং সাইনোসকে তোদা। দ্বি-মাত্রিক গ্রিড এবং হাইপারকিউবের উপগ্রহগুলিতে স্ব-পরিহারের পদচারণা গণনা করার জটিলতা। তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞান , 304 (1–3): 129–156, জুলাই 2003. http://dx.doi.org/10.1016/S0304-3975(03)00080-X

Comments

চমৎকার উত্তর. আপনি কি কিউবিক হ্যামিলটোনীয় গ্রাফগুলিতে হ্যামিল্টোনীয় চক্রের সংখ্যার উপরের কোনও উপরের বা নিম্ন সীমা সম্পর্কে অবগত আছেন?

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তানি

$\le^p_{\text{r-shift}}$

Answer 2

$2^{3n/8}$$2^{n/3}$$2^{n/3}$$1.276^n$

$2^{n/2}$

Comments

ধন্যবাদ সুন্দর উত্তর জন্য ডেভিড, আমি আশা করি আমি একাধিক উত্তর গ্রহণ করতে পারে।

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তানি

Answer 3

কিছু গ্রাফের ঠিক তিনটি হ্যামিল্টোনীয় সার্কিট রয়েছে:

http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/jgt.3190060218/abstract

যদি কেউ টেটারহেড্রনের প্লেন গ্রাফ দিয়ে শুরু হয়, যার মধ্যে ঠিক তিনটি হ্যামিল্টোনীয় সার্কিট রয়েছে এবং একটি একক ভার্সেক্স কেটে নতুন প্ল্যানার 3-সংযুক্ত গ্রাফ তৈরি করে তবে একটি নতুন গ্রাফ পায় যা ঠিক তিনটি হ্যামিলটোনীয় সার্কিট রয়েছে। যদি কেউ একবারে একটি শীর্ষে কেটে ফেলতে থাকে তবে একজনের ঠিক তিনটি হ্যামিল্টোনীয় সার্কিটের সাথে একটি গ্রাফের পরিবার পাওয়া যায়।

অতিরিক্ত মন্তব্য:

চক্র ব্যতীত কোন গ্রাফের ঠিক একটি হ্যামিলটনিয়ন সার্কিট রয়েছে তা নিয়েও কিছু কাজ হয়েছে:

http://www3.interscience.wiley.com/journal/113386600/abstract

বিশেষ ধরণের গ্রাফগুলিতে হ্যামলেটনিয়ান সার্কিট সম্পর্কে একটি দুর্দান্ত জরিপ পত্রিকা যা হ্যামিলটোনীয় সার্কিটগুলির সাথে সম্পর্কিত একটি বিভাগ রয়েছে এবং উপরের কাগজের সাথে কিছু সমস্যা সংশোধন করে:

http://ajc.maths.uq.edu.au/pdf/20/ajc-v20-p111.pdf