পরিপূরক আলস্যতা কেন গুরুত্বপূর্ণ?

Question

দ্বৈততার বিষয়ে কথা বলার সময় পরিপূরক স্লথতা (সিএস) সাধারণত শেখানো হয়। এটি গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে প্রাথমিক এবং দ্বৈত সীমাবদ্ধতা / ভেরিয়েবলের মধ্যে একটি দুর্দান্ত সম্পর্ক স্থাপন করে।

সিএস প্রয়োগের জন্য দুটি প্রাথমিক কারণ (স্নাতক কোর্স এবং পাঠ্যপুস্তক হিসাবে শেখানো হয়েছে):

1. এলপির অনুকূলতা যাচাই করতে
2. দ্বৈত সমাধান করতে সাহায্য করার জন্য

আজকের কম্পিউটিং শক্তি এবং এলপিগুলি সমাধানের জন্য বহুপদী আলগোরিদিমগুলি দেওয়া কি সিএস এখনও বাস্তবের দৃষ্টিকোণ থেকে প্রাসঙ্গিক? আমরা সবসময় কেবল দ্বৈত সমাধান করতে এবং উপরের উভয় পয়েন্টকে সম্বোধন করতে পারি। আমি সম্মত যে সিএস এর সাহায্যে দ্বৈত সমাধান করা "আরও দক্ষ" তবে এটি কি? নাকি সিএসের চেয়েও বেশি কিছু আছে চোখের দেখা? উপরোক্ত দুটি দফার বাইরে সিএস ঠিক কোথায় কার্যকর ? আনুমানিক অ্যালগরিদম সম্পর্কে কথা বলার সময় আমি সাধারণত সিএসের ধারণার প্রতিপন্ন পাঠ্য দেখেছি কিন্তু আমি সেখানে এর ভূমিকা বুঝতে ব্যর্থ হই।

Comments

আমার দক্ষতার ক্ষেত্র নয়, তবে মনে হচ্ছে আপনি X এর গুণাবলী কেন শিখছেন তা জিজ্ঞাসা করা সত্ত্বেও X নির্ধারণ করা সহজ। উদাহরণস্বরূপ, দ্বিপক্ষীয়তা যাচাই করার জন্য আমাদের বহু-কালীন অ্যালগরিদম থাকলেও আমরা কেন দ্বিপক্ষীয়ত্বের "কোনও বিজোড় চক্র = দ্বিদলীয়" বৈশিষ্ট্যটি শেখাই না? আপনি কি জিজ্ঞাসা করছেন, এক অর্থে?

— রবিন কোঠারি

বেপারটা এমন না. আমি বুঝতে পারি "কেন" আপনি এটি শেখাচ্ছেন। আমি একটি ব্যবহারিক পিওভের কাছ থেকে জানতে চাই যে এলপিগুলি সমাধান করার সময় এবং / অথবা আনুমানিক অ্যালগরিদমগুলি ডিজাইন করার সময় এটি কীভাবে ব্যবহৃত হয়। ভেরিয়েবল এবং সীমাবদ্ধতার মধ্যে গাণিতিক সম্পর্ক ছাড়া আমরা কী অন্তর্দৃষ্টি পাই।

— পিএইচডি

ঠিক আছে, আমি মনে করি এটি "বিশ্লেষণাত্মক" সমাধানগুলি পেতে সহায়তা করতে পারে ... এটি কম্পিউটারের সাথে পাওয়া আরও কঠিন হতে পারে।

— usul

আমি প্রশ্ন "পেতে" না। আমরা সংখ্যা সংযোজন এবং গুণিত করতে ক্যালকুলেটর এবং কম্পিউটারগুলি ব্যবহার করি বলে এখনও আমাদের কি সংখ্যার বৈশিষ্ট্যগুলি জানতে হবে?

— চন্দ্র চেকুরি

@ চন্দ্রচেকুরী - আমি এর অর্থ এই নয়। আমি এই উপপাদ্যটি সম্পর্কে এত দুর্দান্ত কী এবং কী এটি গুরুত্বপূর্ণ করে তোলে তা আমি খালি বের করার চেষ্টা করছি। আমি এটিকে "এটিই কেমন" হিসাবে গ্রহণ করতে চাই না তবে তার গুরুত্বের বিষয়ে এলপি দ্বৈততার গভীর ধারণা থাকতে চাই

— পিএইচডি

Answer 1

প্রাথমিক-দ্বৈত অ্যালগরিদম ডিজাইনের ক্ষেত্রে পরিপূরক সচ্ছলতা মূল বিষয়। মূল ধারণাটি হ'ল:

1. একটি সম্ভাব্য দ্বৈত সমাধান দিয়ে শুরু করুন $y$।
2. প্রাথমিক সম্ভাব্য খুঁজে পাওয়ার চেষ্টা করুন $x$ যেমন যে $(x, y)$ পরিপূরক আলস্যতা সন্তুষ্ট।
3. যদি পদক্ষেপ 2 সফল হয় আমরা সম্পন্ন করেছি। অন্যথায় সন্ধানে বাধা$x$ পরিবর্তনের জন্য একটি উপায় দেয় $y$যাতে দ্বৈত উদ্দেশ্য ফাংশনের মান বৃদ্ধি পায়। পদ্ধতি পুনরাবৃত্তি করুন।

একটি শাস্ত্রীয় উদাহরণ হাঙ্গেরিয়ান অ্যালগরিদম। ফোর্ড-ফুলকারসন অ্যালগরিদমকে অন্য একটি উদাহরণ হিসাবে দেখা যেতে পারে। নোট করুন যে পদক্ষেপ 2 একটি সম্ভাব্যতা সমস্যা যা মূল অপ্টিমাইজেশান সমস্যার চেয়ে প্রায়শই সহজ এবং প্রায়শই একত্রিতভাবে সমাধান করা যায়। এটি পরিপূরক আলস্যতার শক্তি। উদাহরণস্বরূপ, সর্বনিম্ন ব্যয়ের দ্বিপক্ষীয় মিলের ক্ষেত্রে, পদক্ষেপ 2 কেবলমাত্র শক্ত প্রান্ত ব্যবহার করে একটি নিখুঁত মিল রয়েছে কিনা তা যাচাইয়ের পরিমাণ। সর্বাধিক ক্ষেত্রে$s$-$t$ প্রবাহ, ধাপ 2 পরিমাণে পরিপূর্ণ প্রান্তগুলি পৃথক কিনা তা পরীক্ষা করে দেখুন $s$ এবং $t$।

প্রাথমিক-দ্বৈত অ্যালগরিদমগুলি অনেক কারণে দুর্দান্ত। দার্শনিকভাবে, তারা জেনেরিক অ্যালগরিদমের চেয়ে বেশি অন্তর্দৃষ্টি দেয়। তারা সাধারণত দৃ strongly়ভাবে বহুপদী সময় অ্যালগরিদম দেয়, যদিও আমাদের এখনও দৃ strongly়ভাবে বহুপদী এলপি সলভার নেই। এগুলি প্রায়শই জেনেরিক অ্যালগরিদমের চেয়ে বেশি ব্যবহারিক। এটি বিশেষত সত্য যদি আমরা এলপিকে স্পষ্টভাবে লিখতে না পারি এবং আমাদের কেবলমাত্র অন্য একটি পছন্দ হ'ল উপবৃত্তাকার এলগরিদম, যা নন-বাইপারটি মেলানো এবং এডমন্ডসের প্রাথমিক-দ্বৈত অ্যালগরিদমের ক্ষেত্রে।

প্রাকৃতিক-দ্বৈত পরিপূরক অলসতার স্বচ্ছ সংস্করণগুলি ব্যবহার করে আনুমানিক অ্যালগরিদমগুলির জন্য খুব দরকারী কাঠামো। এটি এনপি-হার্ড সমস্যাগুলির জন্য আনুমানিক অ্যালগরিদমগুলি ডিজাইন করতে (উদাহরণস্বরূপ উইলিয়ামসন-শময়েজ বইয়ের অধ্যায় see দেখুন ) এবং ভাল প্রতিযোগিতামূলক অনুপাত সহ অনলাইন অ্যালগরিদমগুলি ডিজাইনে ( বুচবিন্দর এবং নাওরের বইটি দেখুন ) দরকারী হয়েছে। এখানে বক্তব্যটি হ'ল আলগোরিদিম একটি সমাধান বজায় রাখে$y$একটি শক্ত সমস্যার এলপি শিথিলকরণ দ্বৈত, এবং প্রতিটি পদক্ষেপে হয় একটি অবিচ্ছেদ্য প্রাথমিক সম্ভাব্য খুঁজে পেতে$x$যেমন আনুমানিক পরিপূরক অলসতা সন্তুষ্ট হয়, বা দ্বৈত সমাধান উন্নত করে$y$। আনুমানিক পরিপূরক অলসতা নিম্নলিখিত ফর্মের একটি শর্ত: যদি$x_i > 0$ তাহলে সংশ্লিষ্ট দ্বৈত সীমাবদ্ধতা শক্ত, এবং যদি $y_j > 0$, সংশ্লিষ্ট প্রাথমিক সীমাবদ্ধতা শক্ত হবে যদি $x$ দ্বারা স্কেল করা হয় $\alpha$। এটি একটি আনুমানিক ফ্যাক্টর দেয়$\alpha$। উপরের দুটি উত্সে এগুলি সমস্ত খুব সুন্দরভাবে ব্যাখ্যা করা হয়েছে।